人教课标版高中数学必修4《任意角》疑难点拨

《任意角》疑难点拨
一、终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}
360,S k k Z ββα︒==+⋅∈，即任一与角α终边相同的角， 都可以表示成角α与整数个周角的和.
其中几个要点需要注意：
1.k Z ∈有三层含义:①特殊性：每取一个整数值就有一个具体对应的角；②一般性:表示所有与角α终边相同的角（包括α自身）；③从几何意义上看，k 表示角的终边按一定的方向转动的圈数，k 取正整数时,按逆时针方向转动；k 取负整数时，按顺时针方向转动；0k =时,没有转动；
2.α是任意角；
3.360k ︒⋅与α之间用“+”连接，如36030k ︒︒⋅-应看成.()36030,k k Z ︒︒⋅-∈；
4.终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍，相等的角终边一定相同.
练1(★★☆)已知1845α︒=-,在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最小的正角；（2)最大的负角；（3)360720︒︒-之间的角.
思路分析 写出与角α终边相同的角的集合→确定满足题意的角
练2(★★☆)写出终边在直线y =上的角的集合.
思路分析 分别写出终边在射线()0y x =≤和射线()0y x =≥上的角的集合→合并集合
练3(★★☆)在与10030︒角终边相同的角中，求满足下列条件的角：
(1)最大的负角；（2)最小的正角；（3)在360720︒︒-范围内的角.
二、象限角及其判断
1.判断象限角的步骤
(1)当0360α︒︒<<时，直接写出结果:090α︒︒<<表示第一象限角，90180α︒︒<<表示第二象限角，180270α︒︒<<表示第三象 限角，270360α︒︒<<表示第四象限角；
(2)当0α︒≤或360α︒≥时，将α化为()360,0360k k Z ββ︒︒︒⋅+∈≤≤,转化为
判断角β所属的象限.
2.象限角的集合表示如下表
练4(★★★)已知α是第二象限角，试确定2,2αα的终边所在的位置. 思路分析 依题意写出α适合的不等式→按要求对不等式运算→解释运算的结论
练5(2016西南师大附中单元检测，★★★)如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且45AOx ︒∠=，点P 从点A 处出发，按逆时针方向匀速沿单位圆旋转.已知点P 在1s 内转过的角度为()0180θθ︒︒<<，经过2s 第一次到达第三象限，经 过14s 又回到出发点求θ,并判断其终边所在的象限. 三、终边相同角的应用
1.写出两条射线间的区域表示角的集合
(1)先在0360︒︒（含0︒的在180180︒︒-)上写出角的集合；
(2)再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合；
(3)集合能化简的还要化成最简.
2.角的对称问题
(1)终边与角α的终边关于x 轴对称的角构成的集合
{}
1360,S k k Z ββα︒==-+⋅∈. (2)终边与角α的终边关于y 轴对称的角构成的集合
{}
2180360,S k k Z ββα︒︒==-+⋅∈.
(3)终边与角α的终边关于坐标原点对称的角构成的集合
{}(){}
3180360,21180,S k k Z k k Z ββαββα︒︒︒==++⋅∈==++⋅∈. (4)若α与β的终边互相垂直，则90180,k k Z αβ︒︒-=+⋅∈.
(5)若α与β的终边在同一条直线上，则180,k k Z αβ︒-=⋅∈.
练6(★★☆)已知角,αβ的终边关于直线0x y +=对称，且60α︒=-，则_____β=.
思路分析 先作出图形确定对称终边→再写出终边确定的角→最后求出角的集合
练7(★★★)如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.
思路分析 分别表示两个阴影部分的角的集合，最后将两个集合合并.
参考答案
练1.
答案：见解析
解析：因为()1845455360︒︒︒-=-+-⨯，即1845︒-角与45︒-角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{}
45360,k k Z ββ︒︒=-+⋅∈
(1)最小的正角为315︒.
(2)最大的负角为45︒-.
(3)360720︒︒-之间的角分别是45,315,675︒︒︒-. 练2.
答案：见解析
解析：终边在射线()0y x =≤上的角的集合是{}
1120360,S k k Z αα︒︒==+⋅∈；
终边在射线()0y x =≥上的角的集合是{}
2300360,S k k Z αα︒︒==+⋅∈.
因此，终边在直线y =上的角的集合是 {}{}12120360,300360,S S S k k Z k k Z αααα︒︒︒︒===+⋅∈=+⋅∈
{}(){}1202180,12021180,k k Z k k Z αααα︒︒︒︒==+⋅∈=++⋅∈
{}120180,n n Z αα︒︒==+⋅∈.
故终边在直线y =上的角的集合是{}120180,S n n Z αα︒︒==+⋅∈. 点拨 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即对x 分情况讨论， 最后再进行合并.
练3.
答案：见解析
解析：与10030︒角终边相同的角的一般形式为()36010030,k k Z β︒︒=⋅+∈.
(1)由360360100300k ︒︒︒︒-<⋅+<得1039036010030k ︒︒︒-<⋅<-，解得28k =-，故所求的最大负角为103902836050β︒︒︒=-⨯=-.
(2)由036010030360k ︒︒︒︒<⋅+<得100303609670k ︒︒︒-<⋅<-，解得27k =-,故所
求的最小正角为1039027360310β︒︒︒=-⨯=.
(3)由36036010030720,k k Z ︒︒︒︒<⋅+<∈,解得26k =-.
故在360720︒︒范围内的角为2636010030670β︒︒︒=-⨯+=.
练4.
答案：见解析
解析：因为α是第二象限角，所以36090360180,k k k Z α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈. 所以236018022360360,k k k Z α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈,所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上.
因为36090360180,k k k Z α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈, 所以1804518090,2k k k Z α
︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈，
当2,k n n Z =∈时，3604536090,2n k α︒︒︒︒⋅+<<⋅+即
2
α的终边在第一象限； 当21,k n n Z =+∈时，360225360270,2n k α︒︒︒︒⋅+<<⋅+即2
α的终边在第三象限. 所以2
α的终边在第一或第三象限. 练5
答案：见解析 解析：由题意，得()144536045,n n Z θ︒︒︒
+=⋅+∈，所以()1807n n Z θ︒
⋅=∈. 又因为180245270θ︒︒︒<+<，即67.5112.5θ︒︒<<，
所以3n =或4n =.所以5407θ︒=或7207
θ︒
=. 易知540720090,9018077︒︒
︒
︒︒︒<<<<，所以θ的终边在第一象限或第二象限. 练6.
答案：见解析
解析：60︒-角的终边关于直线y x =-对称的射线的对应角为451530,30360,.k k Z β︒︒︒︒︒-+=-∴=-+⋅∈
练7.
答案：见解析
解析：设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成. ①{
}36030360105,k k k Z αα︒︒︒︒⋅+≤<⋅+∈. ②{}
360210360285,k k k Z αα︒︒︒︒⋅+≤<⋅+∈. ∴角α的集合应当是集合①与②的并集,即
{
}36030360105,S k k k Z αα︒︒︒︒=⋅+≤<⋅+∈ {360210360k k αα︒︒︒⋅+≤<⋅}285,k Z ︒+∈
{}
2180302180105,k k k Z αα︒︒︒︒=⋅+≤<⋅+∈()(){211803021180k k αα︒︒︒+⋅+≤<+⋅}105,k Z ︒+∈
{2180302180105,k k αα︒︒︒︒=⋅+≤<⋅+或()2118030k α︒︒+⋅+≤<()21k +180︒⋅105︒+},k Z ∈
}{
180********,n n n Z αα︒︒︒︒=⋅+≤<⋅+∈.。