随机变量及其分布期末练习题及答案
2020年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点(含答案)
解 (1)设乙厂生产的产品为 m 件，依题意得14＝ 5 ， 98 m
∴m＝35．
(2)∵上述样本数据中满足 x≥175 且 y≥75 的只有 2 件，
∴估计乙厂生产的优质品为 35×2＝14(件)． 5
(3)依题意，ξ可取 0,1,2，
则 P(ξ＝0)＝C33＝ 1 ，P(ξ＝1)＝C23C12＝ 6 ，
AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nAB． nA
例 3．(2019·山东济南模拟)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个
数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
A．1 8
B．1 4
C．2 5
D．1 2
【答案】B
解 由题意知，至少有一个豆沙粽的概率
P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ 7 ＋ 1 ＝ 8 ． 15 15 15
[变式探究 2] 若本例中的 X 表示取到的粽子的种类，求 X 的分布列．
解 由题意知 X 的所有可能值为 1,2,3，且
P(X＝1)＝C33＋C35＝1＋10＝ 11 ，
C310
＝2×3×
1－1 3
＋2×
1－3 4
×1＋
1－2 5
×3×1＝23．
54
5
3
4 3 60
3 人中只有 1 人被选中的概率
P3 ＝ P(A －B
－C ∪ －A B －C ∪ －A
－B C) ＝ 2 ×
1－3 4
×
1－1 3
＋
1－2 5
×3×
1－1 3
＋
5
4
1－2 5
×
(完整版)随机变量及其分布期末练习题及答案
随机变量及其分布期末练习题及答案1．在事件A 发生的概率为p 的伯努利试验中，若以ξ记第r 次A 发生时的试验的次数，求ξ的分布。
[解] {}发生次试验次而第恰好出现了次试验中前A k r A k P k P 11-)(-==ξ),1,(,)1()1(11111Λ+=-=⋅-=-------r r k p p C p p p C r k r r k r k r r k小结 求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。
为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。
2．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1;10.0,1)(2x x Ax x x F求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,31(内的概率；（3）X 的概率密度函数。
[解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A（2）由分布函数的性质知，41)1()21())21,1((=--=-∈F F X P ； 98311)31()2())2,31((2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-∈F F X P ； （3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取⎩⎨⎧≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或 则0)(≥x f ，且对一切x 有⎰∞-=x dt t f x F )()(，从而)(x f 为随机变量X 的密度函数。
3．设),2(~2σN X ，且3.0)42(=<<X P ，求)0(<X P[解] 因为 )0(2)42(3.0Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=<<=σX P 所以 8.05.03.02=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσ于是 2.0212202)0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=<σσσσX P X P 4．一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克）)5,55(~21N X ，一般品种蛋重)5,45(~22N X 。
随机变量及其分布列习题(含解析)
一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。
第5章 随机变量及分布函数 习题答案
解得 2 或 0
取 2 ，则 P ( X k )
2
k 2
e k！
, k 0 ,1 , 2 ,
查表得 P ( X 4 ) 0 .090224
a cos x , x 2 8. 随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 其他 0,
P ( X 1) P ( X 1) 1 P ( X 1) P ( X 1) 1 1 5 12 5 1 2 3 2
查表
1 1 2 1 3 2 3 1 0 . 9786
3l 2l l
3 (2) 解：P ( X 3 l ) P (向左三步 ) p
o
l
2l
3l
P ( X 3 l ) P (向右三步 ) q
3
P ( X 2l ) P ( X 2l ) P ( X 0) P ( ) 0
P ( X l ) P (向左两步 ) C 3 p q 3 p q
1 e x , x 0 16. 随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ， x0 0 , (1) 求 P { X 2 } , P { X 3 }
(2) 求概率密度 p ( x )
2 P (1) 解： { X 2 } F ( 2 ) 1 e
P { X 3} 1 F ( 3) e
若该城市每天的供电量仅80万度，求供电量不够需要的概率。 解： P ( 供电量不够需要 )
P ( X 0 .8 )
p ( x ) dx
1
第2章_随机变量及其分布练习题及答案
第2章 随机变量及其分布（练习、复习题及答案）一、填空题：1.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=a /N ，(k =1,2,…,N)，则a = 1 .2.射手每次射击击中目标的概率为p ,连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止,则射击次数ξ的分布列为 P(ξ=k )=p (1-p )k -1,k =1,2,….3.随机变量ξ服从参数为(2,p )的二项分布,随机变量η服从参数为(4,p )的二项分布,若P(ξ<1)=4/9,则P(η≥1)=_ 65/81_.4.离散型随机变量ξ的概率分布P(ξ=0)=0.2，P(ξ=1)=0.3，P(ξ=2)=0.5，则P(ξ≤1.5)=__0.5__.5.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=!k Ckλ,k =0,1,2,…(λ>0)，则C ＝ e -λ. *λλλλe =++++!3!2!11326.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=k a -λ,k =1,2,…，其中λ>1，则a ＝ λ-1 .7.一实习生用同一台机器接连独立地制造三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率3,2,1,11=+=i i p i ，以ξ表示三个零件中合格品的个数，则P{ξ=2}＝ 11/24 .8.随机变量ξ的分布函数为F(x ),则概率P(ξ≥a )用F(x )表示为__ 1-F(a )__. 9.随机变量ξ的分布函数为F(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥+--0 0 0)1(1x x ex x ,,,则P(ξ≤1)=_1-2e -1_. 10.随机变量ξ的概率密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-其他,), 0 2A(2x x ,则A=__1/4__.11.连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1, 110,0,0)(F 2x x x x x ,则ξ的概率密度f (x )=⎩⎨⎧<<其他, 1 10,2x x .12.连续型随机变量ξ的分布函数为)0(00,0B A )(F >⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-λλx x ex x ,, ，则常数A =_1 ,B =_-1;P{-1<ξ<1}= 1-e -λ.13.随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=-0, 00,)1(1)(x x ex x F x ,则相应的概率密度是⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0, 00,)(x x xex f x .14.随机变量ξ在[1,4]上服从均匀分布,现在对进行3次独立试验,则至少有2次观察值大于2的概率为_20/27_.15.随机变量ξ ~N(70,102)，则P(60<ξ<80)=_0.6826_.(已知Φ(1)=0.8413)16.随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(2<ξ<4)=0.3,则P(ξ<0)=_0.2_.17.随机变量服从正态分布N(μ,σ2)，已知P(ξ<9)=0.975，P(ξ<2)=0.062，则P(ξ>6)=_0.3228_. 18.若ξ~N(0,1)，则η=ξ3的密度函数为+∞<<-∞--y e yy,231322132π.19.统考成绩服从正态分布N(70,102),在参加统考的人中,及格者100人(及格分数为60分),则不及格人数约为_19_.二、选择题1.在下列结果中，构成概率分布的是( D ).{}{}{}{}),,(D.P ),,,(C.P ),,(B.P ),,,(A.P 2 132 2 1 032 2 131 2 1 031============k k ξk k ξk k ξk k ξkkkk2.随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k )=b λk (k =1,2,…), b >0，则( C ). A.λ为任意正实数 B.λ=b +1 C.b+=11λ D.11-=b λ3.常数b =( B )时，),,( 2 1)1(=+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布.A.2B.1C.0.5D.34.设ξ是一个离散型随机变量，则( D )可以成为ξ的分布列.{}{}, , , n n en ξn n en ξx x x x x R p p p nn210!32 1!30.22.0 .303.0 .10 ,1 0 1 3354321======⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---.D.P,,.C.P B.A.5.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪<1)的值为( B ).A.2[1-Φ(1)]B.2Φ(1)-1C.1-Φ(1)D.1-2Φ(1)6.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪>2)的值为( A ). A.2[1-Φ(2)] B.2Φ(2)-1 C.2-Φ(2) D.1-2Φ(2)7.设随机变量ξ的分布函数为F (x )，在下列概率中可表示为F (a +0) - F (a )的是( C ). A.P{ξ≤a } B. P{ξ>a } C. P{ξ=a } D. P{ξ≥a }8.下列函数可以作为某一随机变量ξ的密度函数的是( D ).⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎪⎩⎪⎨⎧-∈=⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎩⎨⎧∈=其他D. 其他C. 其他B.其他A., 0 ]2,0[,sin )(, 0 ]2,2[,sin )(, 0 ]23,0[,sin )( , 0 ],0[,sin )(πππππx x x f x x x f x x x f x x x f9.设ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 0 0)(1A )(4x x x x x f ,,，则A=( B ).A.3B.6C.2.5D.4 10.设随机变量ξ的密度函数为f (x )=)(21+∞<<-∞-x ex，则其分布函数的是( B ).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---1, 1 10,2110, 21 )(0, 1 0,211)(0,2110, 21 )( 0, 0 0,21)(x x e x e x F x x e x F x e x e x F x x e x F x xx x xx D. C. B.A.11.设f (x )是一连续型随机变量ξ的密度函数，其表达式为分段函数，则当x ∈( A )时，f (x )=cos x ，其余f (x )=0.]47,23[],0[],2[]2,0[ππππππ D. C. B.A.12.设随机变量ξ服从[0，5]上的均匀分布，则关于t 的方程4t 2+4ξt+ξ+2=0有实根的概率是( B ).A.0.4B.0.6C.1D.1/313.设随机变量ξ~N(μ, 62)，η~ N(μ, 82)，记p 1=P{ξ≤μ-6}，p 2=P{η≥μ+8}，则( A ).A. p 1=p 2B. p 1>p 2C. p 1<p 2D. p 1≤p 2 三、解答题：1.下列表格是概率分布吗？为什么？(1) ξ 1 2 3 4 不是 (2) ξ -1 0 1 4 是 P 0.2 0.3 0.3 0.4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 2.求常数C ,使下列函数成为概率分布:P(ξ=k )=Ck ,k =1,2,…, n ； )1(2+=n n C3.随机变量ξ~b (n , p )，已知P(ξ=1)=P(ξ=n -1)，试求 p 与P(ξ=2)的值.p =0.5，P(ξ=2)=122)1(21+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n C4.随机试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复地做两次。
随机变量及其分布习题解答
+随机变量及其分布习题解答(共16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：的分布律为：2、一袋中有53、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,1013、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形.解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个.3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 351,3512,352224、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1)（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功} ,,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k －k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的.有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去.鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间.假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的.（1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律.（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次.以Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y 的分布律.（3）求试飞次数X 小于Y 的概率；求试飞次数Y 小于X 的概率. 解：（1）X 的可能取值为1，2，3，…，n ，…P {X=n }=P {前n －1次飞向了另2扇窗子，第n 次飞了出去}=31)32(1⋅-n ， n=1，2，……（2）Y 的可能取值为1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=31P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去} =312132=⨯P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去} =31!3!2=3∑∑===<===<==<3231}|{}{}|{}{}{)3(k k k Y Y X P k Y P k Y Y X P k Y P Y X P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==<0}1|{Y Y X P 全概率公式并注意到 278313231313131}{}{32=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯=<==∑=k k X P k Y P }{}|{,k X P k Y Y X P Y X <==<独立即注意到同上，∑======31}|{}{}{k k Y Y X P k Y P Y X P81192743192313131}{}{31=⨯+⨯+⨯====∑=k k X P k Y P故8138){}{1}{==-<-=<Y X P Y X P X Y P 6、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少0729.0)9.0()1.0()2(322525225=⨯⨯===-C q p C X P （2）至少有3个设备被使用的概率是多少00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(5554452335=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≥C C C X P （3）至多有3个设备被使用的概率是多少3225415505)9.0()1.0()9.0(1.0)9.0()3(⨯⨯+⨯⨯+=≤C C C X P99954.0)9.0()1.0(2335=⨯⨯+C（4）至少有一个设备被使用的概率是多少 40951.059049.01)0(1)1(=-==-=≥X P X P7、设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号.（1）进行了5 次独立试验，求指示灯发出信号的概率 .（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率解： 设X 为 A 发生的次数. 则()0.3,.X B n n=5，7B:“指示等发出信号“① (){}3P B P X =≥55530.30.70.163k k k k C -===∑②(){}3P B P X =≥={}{}7231k P X K P X K ===-=∑∑71622510.70.30.70.30.70.353G G =--⋅⨯-⨯≈ 8、甲、乙二人投篮，投中的概率各为, ，令各投三次.求4（1）二人投中次数相等的概率. 记X 表甲三次投篮中投中的次数 Y 表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立. P (X =Y )=P (X =0, Y=0)+P (X =2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X =0) P (Y=0)+ P (X =1) P (Y=1)+ P (X =2) P (Y=2)+ P (X =3) P (Y=3)= 3× 3+ [])3.0(7.0[])4.0(6.0213213⨯⨯⨯⨯⨯C C3223223)6.0(]3.)7.0([]4.0)6.0([+⨯⨯⨯⨯⨯+C C 321.0)7.0(3=⨯（2）甲比乙投中次数多的概率.P (X>Y )=P (X =1, Y=0)+P (X =2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X =3) P (Y=0)+ P (X =3) P (Y=1)+ P (X =3) P (Y=2) =P (X =1) P (Y=0) + P (X =2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X =3) P (Y=0)+ P (X =3) P (Y=1)+ P (X =3) P (Y=2)=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯82233213)3.0(]4.0)6.0([)3.0(])4.0(6.0[C C 3213223)6.0(])3.0(7.0[]4.0)6.0([+⨯⨯⨯⨯⨯C C321333)6.0(])3.0(7.0[)6.0()3.0(+⨯⨯⨯+⨯C 243.0]3.0)7.0([223=⨯⨯⨯C9、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概率解：X 表示10件中次品的个数，Y 表示5件中次品的个数，由于产品总数很大，故X~B （10，），Y~B （5，）（近似服从） （1）P {X =0}=≈（2）P {X ≤2}=P {X =2}+ P {X =1}=581.09.01.09.01.0911082210≈+C C （3）P {Y =0}= 5≈（4）P {0<X ≤2，Y=0} ({0<X ≤2}与{ Y=2}独立) = P {0<X ≤2}P {Y=0}=×≈（5）P {X =0}+ P {0<X ≤2，Y=0} ≈+=510、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次.（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次.试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的.）解：（1）P (一次成功)=701148=C（2）P (连续试验10次，成功3次)= 100003)7069()701(73310=C .此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力.11. 尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的.但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章.设某地区每年撰写此类文章的篇数X 服从参数为6的泊松分布.求明年没有此类文章的概率.解： ().6~πX 6=λ{}0025.01066≈===∴-ee X P12. 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布.求（1）每分钟恰有8次呼唤的概率.（2）某一分钟的呼唤次数大于3的概率.()4~πX 4=λ（1）{}∑∑∞=∞=--⋅-⋅==899484!!8r r r e r e X P λλ 029771.0021363.0051134.0=-= （2）566530.0}4{}3{=≥=>X P X P13. 某一公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率.（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解：2tλ= ()X πλ①32λ= {}3200.2231P X e -===②52λ= {} 2.512.510.918!k k e P X k -∞=≥==∑14、解：~(2)X t π（1）、10t =分钟时16t =小时，6{}131310.2388!1k ee P X k κλ--====（2）、{}00.5P X =≥故()0220.50.346571tt e t -≥⇒≥（小时）所以0.34657*6020.79t ≥≈（分钟） 15、解：{}()(){}10500005000100.001510.0015100.8622k kk P X k P X -=⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭≤≈∑ 16、解：{}{}{}011000,0.0001,0.12101110.99530.00470!1!n p np P X P X P X e e λλλλλ--====≥=-=-==--≈-=17、解：设X 服从()01分布，其分布率为{}()11,0,1kk P X k p p k -==-=，求X 的分布函数，并作出其图形.解一：X 0 1 k p1p - p()0,1XX 的分布函数为：()0010111x F x p x x , <⎧⎪=- , ≤<⎨⎪ , ≥⎩718．在区间[]0,a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标.设这个质点落在[]0,a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X 的分布函数.解：① 当0X <时.{}X x ≤是不可能事件，(){}0F X P X x =≤=②当0x a ≤≤时， {}0P X x kx ≤≤= 而 {}0X a ≤≤是必然事件 {}101P X x ka k a∴≤≤==⇒= {}0x P X x kx a∴≤≤==则 (){}{}{}00x F x P X x P X P X x a=≤=≤+≤≤=③当x a >时，{}X x ≤是必然事件，有(){}1F x P X x =≤=()0001x x F x x a a x a , < ⎧⎪⎪∴ , ≤≤⎨⎪ , >⎪⎩19、以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是⎩⎨⎧<≥-=-000,1)(4.0x x e x F x X求下述概率：（1）P {至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P {3分钟至4分钟之间}；（4）P {至多3分钟或至少4分钟}；（5）P {恰好分钟} 解：（1）P {至多3分钟}= P {X ≤3} =2.11)3(--=e F X （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =6.1)4(1-=-e F X（3）P {3分钟至4分钟之间}= P {3<X ≤4}=6.12.1)3()4(---=-e e F F X X （4）P {至多3分钟或至少4分钟}= P {至多3分钟}+P {至少4分钟} =6.12.11--+-e e （5）P {恰好分钟}= P (X ==020、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2), P {0<X ≤3}, P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ).解：（1）P (X ≤2)=F X (2)= ln2， P (0<X ≤3)= F X (3)－F X (0)=1，45ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<<X X F F X P8（2）⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,1,1)(')(e x x x F x f21、设随机变量X 的概率密度)(x f 为（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它01112)(2x x x f π（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其他021210)(x x x x x f求X 的分布函数F (x )，并作出（2）中的f (x )与F (x )的图形.解：（1）当－1≤x ≤1时：21arcsin 111arcsin 211212120)(212121++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-+=---∞-⎰⎰x πx x πx x x πdx x πdx x F Xx当1<x 时：10120)(11121=+-+=⎰⎰⎰--∞-xdx dx x πdx x F故分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<≤≤-++--<=x x x πx x πx x F 111121arcsin 11110)(2解：（2）⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+-++=<--=-++=≤≤=+=<≤==<∞-∞-∞-∞-122121120010)2(0)(,2122)2(0)(,2120)(,1000)(,0xxxxdt dt t dt t dt x F x xx dt t dt t dt x F x x dt t dt x F x dt x F x 时当时当时当时当故分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤≤--<≤<=xx x x x x x x F 212112210200)(22（2）中的f (x )与F (x )的图形如下f (x )(Maxwell)分布，其概率密度为()220xbAx e xf x-⎧⎪ , >=⎨,⎪⎩其它其中2b m kT=，k为Boltzmann常数，T为绝对温度，m是分子的质量.试确定常数A.解: ①()1x dx+∞-∞=⎰即()22xbf x dx Ax e dx-+∞+∞-∞=⎰⎰222xbAb xxe db-+∞⎛⎫=--⎪⎝⎭⎰22200()|222x x xb b bAb Ab Abxd e xe e dx---+∞+∞+∞=-=-+⎰⎰2212002xbAbe dx d x--+∞+∞⎤==⎥⎦⎰1122Ab==221122uduπ+∞-⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎰A∴=②当0t<时，()00tTF t dt-∆=⋅=⎰当0t≥时，()()()2411241xt tT TF t f x dt F t e dt--∞=⋅==⎰⎰2411te-=-()2410,01,0tTtF te t-<⎧⎪∴=⎨⎪- ≥⎩{}{}{}()()501001005010050P T P T P T F F∴<<=<-≤=-50100e e--=-或{}()1005050100P T f t dt<<=⎰50100100241241241501241te dt e e---==-⎰xF (x)923、某种型号的电子的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧>=其它010001000)(2x x x f现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）.任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为32)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000150010002=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-=≤-=>⎰x dx x X P X P令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”.则)32,5(~B Y ，{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155=-=⨯+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P24、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,51)(5x e x F xX某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律.并求P （Y ≥1）.解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为21051051051)()10(-∞+-∞+-∞+=-===>⎰⎰e edx edx x f X P xx X因此5,4,3,2,1(,)1(5)().,5(~5222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛==----k e e k k Y P e B Y kk 即.5167.04833.018677.01)1353363.01(1)389.711(1)1(1)0(1)1(1)1(55552=-=-=--=--=--==-=<-=≥-e Y P Y P Y P 25、设K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率∵K 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他50051)(K K f要方程有根，就是要K 满足(4K )2－4×4× (K+2)≥0. 解不等式，得K ≥2时，方程有实根. ∴53051)()2(5522=+==≥⎰⎰⎰∞+∞+dx dx dx x f K P 26、设X ～N （）（1）求P (2<X ≤5)，P (－4)<X ≤10)，P {|X|>2}，P (X>3) ∵ 若X ～N （μ，σ2），则P (α<X ≤β)=φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμβφ⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμα∴P (2<X ≤5) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-235φ⎪⎭⎫ ⎝⎛-232=φ(1)－φ(－ =－=P (－4<X ≤10) =φ-⎪⎭⎫⎝⎛-2310φ⎪⎭⎫ ⎝⎛--234=φ－φ(－=－=P (|X |>2)=1－P (|X |<2)= 1－P (－2< P <2 )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-2322321 =1－φ(－ +φ(－ =1－+=P (X >3)=1－P (X ≤3)=1－φ⎪⎭⎫⎝⎛-233=1－= （2）决定C 使得P (X > C )=P (X ≤C )∵ P (X > C )=1－P (X ≤C )= P (X ≤C ) 得 P (X ≤C )=21=又P (X ≤C )=φ023,5.023=-=⎪⎭⎫⎝⎛-C C 查表可得∴ C =327、某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg 计）服从)12,110(2N 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X .求（1）P (X ≤105)，P (100<X ≤120). （2）确定最小的X 使P (X>x ) ≤ .解:3384.06616.01)4167.0(1)4167.0()12110105()105()1(=-=Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 5952.017976.021)8333.0(21)65(2)65()65()12110100()12110120()120100(=-⨯=-Φ=-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤<X P.74.129.74.12974.19110.645.112110.95.0)12110(05.0)12110(1)(1)()2(==+≥⇒≥-≥-Φ⇒≤-Φ-=≤-=>X x x x x x X P x X P 故最小的查表得28、由某机器生产的螺栓长度（cm ）服从参数为μ=，σ=的正态分布.规定长度在范围±内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少设螺栓长度为X P {X 不属于－, + =1－P －<X <+=1－⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--Φ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+Φ06.005.10)12.005.10(06.005.10)12.005.10( =1－{φ(2)－φ(－2)}=1－{－} =29、一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X ≤200＝=，允许σ最大为多少∵ P (120＜X ≤200)=80.04040160120160200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φσσσσ又对标准正态分布有φ(－x )=1－φ(x )∴ 上式变为80.040140≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ 解出9.040:40≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ便得 再查表，得25.31281.140281.140=≤≥σσ30、解：[]{}{}{}223120~(120,2) ~(0,1)2P 118,122P 1181222P 12(10.8413)0.31745(1)0.32042V V N X N V V V X p p -=∉=<⋃>=->=-=⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭则p=31、解：0 ,0()0.20.8/30 ,0301 ,30x F x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪≥⎩32、解：[]()0,()0,01()(1)()0()(1)()()(1)()(1)1f xg x a af x a g x af x a g x dx a f x dx a g x dx a a ∞∞∞-∞-∞-∞≥≥<<∴+-≥+-=+-=+-=⎰⎰⎰且所以()(1)()af x a g x +-为概率密度函数 33、设随机变量X 的分布律为： X ：－2， －1， 0， 1， 3P ：51，61， 51， 151，3011求Y=X 2的分布律 ∵ Y=X 2：(－2)2 (－1)2 (0)2(1)2(3)2 P ： 516151 1513011 再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y 的分布律为：∴ Y ： 0 1 4 9P ： 5115161+ 51301134、设随机变量X 在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=e X 的分布密度 ∵ X 的分布密度为：⎩⎨⎧<<=为其他x x x f 0101)(Y=g (X ) =e X 是单调增函数 又 X=h (Y )=lnY ，反函数存在 且 α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1 =βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅=⋅=为其他y e y yy h y h f y ψ0111|)('|)]([)(（2）求Y=－2lnX 的概率密度.∵ Y= g (X )=－2lnX 是单调减函数又 2)(Y e Y h X -== 反函数存在. 且 α = min [g (0), g (1)]=min (+∞, 0 )=0 β=max [g (0), g (1)]=max (+∞, 0 )= +∞∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<=-⋅=⋅=--为其他y y e ey h y h f y ψy y 0021211|)('|)]([)(2235、设X ～N （0，1） （1）求Y=e X 的概率密度 ∵ X 的概率密度是+∞<<∞-=-x e πx f x ,21)(22Y= g (X )=e X 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 且 α = min [g (－∞), g (+∞)]=min (0, +∞)=0 β = max [g (－∞), g (+∞)]= max (0, +∞)= +∞ ∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<⋅=⋅=-为其他y y y e πy h y h f y ψy 00121|)('|)]([)(2)(ln 2 （2）求Y=2X 2+1的概率密度.在这里，Y=2X 2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用. 设Y 的分布函数是F Y （y ）， 则 F Y ( y )=P (Y ≤y )=P (2X 2+1≤y ) =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤--2121y X y P 当y<1时：F Y ( y )=0当y ≥1时：⎰----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=212122212121)(y y x y dx e πy X y P y F故Y 的分布密度ψ( y )是：当y ≤1时：ψ( y )= [F Y ( y )]' = (0)' =0当y>1时，ψ( y )= [F Y ( y )]' ='⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰----21212221y y x dx eπ=41)1(21---y ey π（3）求Y=| X |的概率密度. ∵ Y 的分布函数为 F Y ( y )=P (Y ≤y )=P ( | X |≤y ) 当y<0时，F Y ( y )=0当y ≥0时，F Y ( y )=P (| X |≤y )=P (－y ≤X ≤y )=⎰--y yx dx e π2221∴ Y 的概率密度为：当y ≤0时：ψ( y )= [F Y ( y )]' = (0)' =0当y>0时：ψ( y )= [F Y ( y )]' =2222221y y yx e πdx e π---='⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰36、（1）设随机变量X 的概率密度为f (x )，求Y = X 3的概率密度. ∵ Y=g (X )= X 3 是X 单调增函数， 又 X =h (Y ) =31Y ，反函数存在， 且 α = min [g (－∞), g (+∞)]=min (0, +∞)=－∞ β = max [g (－∞), g (+∞)]= max (0, +∞)= +∞ ∴ Y 的分布密度为：ψ( y )= f [h ( h )]·| h' ( y )| = 0,,31)(3231≠+∞<<∞-⋅-y y y y f 但0)0(=ψ（2）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度.法一：∵ X 的分布密度为：⎩⎨⎧≤>=-00)(x x e x f xY =x 2是非单调函数当 x<0时 y =x 2 反函数是y x -= 当 x<0时 y =x 2y x =∴ Y ～ f Y (y ) = ))(())(('+'--y y f y y f －y y=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+--00,21210y y e ye yyy法二：)()()()()(~y X P y X P y X y P y Y P y Y F Y -≤-≤=≤<-=≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=+--⎰,00,100y y e dx e y y x∴ Y ～ f Y (y ) =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0.0,21y y e y y37、设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=为其他x πx πxx f 002)(2xOyy=x 2求Y =sin X 的概率密度. ∵ F Y ( y )=P (Y ≤y ) = P (sin X ≤y ) 当y<0时：F Y ( y )=0当0≤y ≤1时：F Y ( y ) = P (sin X ≤y ) = P (0≤X ≤arc sin y 或π－arc sin y ≤X ≤π)=⎰⎰-+πy πy dx πx dx πxarcsin 2arcsin 0222当1<y 时：F Y ( y )=1∴ Y 的概率密度ψ( y )为：y ≤0时，ψ( y )=[ F Y ( y )]' = (0 )' = 0 0<y <1时，ψ( y )=[ F Y ( y )]' ='⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰-πy πydx πx dx πxarcsin 2arcsin 0222=212yπ-1≤y 时，ψ( y )=[ F Y ( y )]' = )1(' = 038、设电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9安11安之间.若此电流通过2欧的电阻，在其上消耗22.W I =求W 的概率密度.解：I 在()9,11上服从均匀分布I ∴的概率密度为：()1,1120,q x f x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它22W I =的取值为162242W <<分布函数 (){}{}2222w w F w P W w P I w P I ⎧⎫=≤=≤=≤⎨⎬⎩⎭()q P Q i f x dx ⎧⎪=<≤=⎨⎪⎩12q q ⎫==⎪⎪⎭()()',1622420,w w w f w F w <<∴== ⎩其它 39、某物体的温度T (o F )是一个随机变量，且有T ～N （，2），试求θ(℃)的概率密度.[已知)32(95-=T θ]法一：∵ T 的概率密度为+∞<<∞-=⨯--t et f t ,221)(22)6.98(2π又 )32(95)(-==T T g θ 是单调增函数. 3259)(+==θθh T 反函数存在.且 α = min [g (－∞), g (+∞)]=min (－∞, +∞)=－∞ β = max [g (－∞), g (+∞)]= max (－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为59221|)('|)]([)(4)6.983259(2⋅=⋅=-+-θeπθh θh f θψ +∞<<∞-=--θeπθ,109100)37(812法二：根据定理：若X ～N （α1， σ1），则Y=aX+b ～N (aα1+b, a 2 σ2 ) 由于T ～N （, 2）故 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=295,9333295,91606.9895~91609522N N T θ故θ的概率密度为：+∞<<∞-==--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛--θππθψθθ,10929521)(100)37(8129529333222ee。
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。
解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
二、随机变量及其分布(答案)
概率论与数理统计练习题系第二章专业班姓名随机变量及其分布（一）学号一．选择题：1 ．设X是失散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是[B]X x1x2x3x4X x1x2x3x4（ A）1111（B）1111 p p248162488X x1x2x3x4（D）X x1x2x3x4（ C）1111p1111 p23412234122 ．设随机变量ξ的分布列为X0123C ] p0.10.30.4F ( x) 为其分布函数，则 F ( 2) = [0.2（ A）（B）（ C）（D）1二、填空题：1 ．设随机变量X的概率分布为X012，则 a = p a0.20.52 ．某产品 15 件，其中有次品 2 件。
现从中任取3 件，则抽得次品数X 的概率分布为P(X 0)C13366， P( x1)C21 C13236， P( xC22 C1313 C153105C1531052)105C1533 ．设射手每次击中目标的概率为, 连续射击10 次，则击中目标次数X 的概率分布为P( X k ) C10k(0.7)k (0.3)10 k(k0,1, 2,L ,10)三、计算题：1 ．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：（ 1）X的概率分布；（2）P( X3) ；（3）P( X12)解：（1）P( X2)1P( X3)2P( X4)3P(X 5)4，，，，36363636P( X6)5，P( X7) 6 ， P( X5 436 8)， P(X 9)363636P( X10)3 ，P( X11)2 ，P( X 1363612)36所以 X 的概率分布列：X 2 34 5 6 7 89 10 11 12P12 34 5 6 5 4 3 2 1363636363636 3636363636（2） P(X3) 336（ 3） P(X>12)=02 ．产品有一、 二、三等品及废品四种， 其中一、 二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20%及 10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。
第二章 《随机变量及其分布》练习题
第二章 《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．142．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．343．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.284．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( ) A ．0.4 B ．1.2 C ．0.43D ．0.66．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.1257．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( ) A.14 B ．－14 C.54 D ．－549．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6 10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.411．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：D ．无法确定 13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.614.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.556415．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.117.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.4.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．4.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．第二章 《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．14[解析] 抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫122×12＝38. 2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．34[解析] 事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13， 3．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A ． 4．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )[解析] 只要认识到E (X )是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0. [答案] B5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6[解析] ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. [答案] B 6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.125解析：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35，E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.答案：C7．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化解析：∵0.2＋0.5＋m ＝1，∴m ＝0.3，∴E (ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：B8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( )A.14 B ．－14 C.54 D ．－54 解析：∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－54，故选D.9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6解析：X 的取值为6,9,12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.答案：A10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.4解析：根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，0×0.1＋a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3b ＝0.5.所以a －b ＝－0.2.答案C11．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：依题意ξ服从两点分布，∴D (ξ)＝m (1－m )，故选D.12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：A ．甲B ．乙C ．甲、乙均可D ．无法确定解析：E (ξ1)＝E (ξ2)＝1.1，D (ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D (ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D (ξ1)<D (ξ2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选A.13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6解析：由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.∵ξ＋η＝8，∴η＝8－ξ.∴E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (ξ)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B 14.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.5564解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 答案：D15．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：由于分布列中，概率和为1，则a ＋13＝1，a ＝23. ∵E (ξ)＝2，∴m 3＋2n3＝2.∴m ＝6－2n .∴D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝23×(n －2)2＋13×(6－2n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2.∴n ＝2时，D (ξ)取最小值0.答案：A16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2D ．1.1[解析] X 的取值为0、1、2，P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3， P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. [答案] A17.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6[解析] X 的取值为6、9、12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115. E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8. [答案] A二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.解析：每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，则E (X )＝4×35＝125. 3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，则ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25. 答案：254.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， 所以E (η)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)． 三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）3A 设“选出的名同学来自互不相同的系”为事件，1203373731049()60C C C C P A C346310()(0,1,2,3)k k c c p xk k c （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.随机变量X 的分布列为数学期望113161236210305E X ．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C ．事件B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ．所以该射手通过测试的概率P (A )＝P (B )＋P (C )＝⎝⎛⎭⎫342＋C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·23＝1316. (2)由题意知，X ＝0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－342＝116；P (X ＝1)＝C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·⎝⎛⎭⎫1－23＝18；P (X ＝2)＝P (A )＝1316. 所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数X 的数学期望为E (X )＝0×116＋1×18＋2×1316＝74.3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．[分析] (1)设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P (A )，P (B )，由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号歌手且媒体乙未选中3号歌手的概率．(2)先由等可能事件概率计算公式求出P (C )，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设A 表示事件“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”， P (A )＝C 14C 25＝25，P (B )＝C 24C 35＝35，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )(1－P (B ))＝25×(1－35)＝425.(2)P (C )＝C 25C 36＝12，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝P (A B C )＝(1－25)(1－35)(1－12)＝325，P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝25(1－35)(1－12)＋(1－25)×35×(1－12)＋(1－25)(1－35)×12＝1950， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×35×(1－12)＋25(1－35)×12＋(1－25)×35×12＝1950，P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×35×12＝325，∴X 的分布列为E (X )＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝32.114.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] 设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，A －、B －、C －、D－分别为A 、B 、C 、D 的对立事件(例如A －表示甲同学第一题回答错误)．由题设条件知，P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，P (A －)＝14，P (B －)＝12，P (C －)＝23，P (D －)＝34. (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W ，则由题设条件知W ＝ABC ＋AB C －D ＋A B －CD ＋A －BCD ＋A－B C －D ，∵A 、B 、C 、D 各事件相互独立，∴P (W )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)·P (D )＋P (A )·P (B －)·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C －)·P (D )＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14. (2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则P (ξ＝2)＝P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝14×12＝18， P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B －C －)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C －)＝34×12×13＋34×12×23＝38. P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。
随机变量及其概率分布练习题
随机变量及其概率分布练习题(共90分)一．选择题(每题2分共20分)2．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ ）A.≤0F(x )1≤B.F(x )=P{X=x }C.F(x )=P{X x ≤}D.F(∞+)=1, F(∞-)=03．设随机变量X 的分布律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( ) X0 2 4 6 P 0.1 0.2 0.3 0.4A.0.3B.0.5C.0.6D.0.44．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ ） 4x 01≤≤x 2x 10<≤xA.F(x)=B.F(x)=1 其它2 其它-1 x<0 0 x<0C.F(x)= 2x 10<≤xD.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.54x 31<<-x 5．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2<x<2}=( ) 0, 其它A. 0B.83C. 43D. 856. 以下函数可作为随机变量X 的概率密度的是（ ）A.f(x)=.;11,0,其它<<-⎩⎨⎧x xB.f(x)=.;11,,02其它<<-⎩⎨⎧x xC.f(x)=.;11,0,21其它<<-⎪⎩⎪⎨⎧x D.f(x)=.;11,0,2其它<<-⎩⎨⎧x7.设随机变量X~N(1，4)，5.0)0(,8413.0)1(=Φ=Φ，则事件{13X ≤≤}的概率为（） A.0.1385 B.0.2413 C.0.2934 D.0.34138．已知随机变量X 的分布函数为（ ）F(x)= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<313132102100x x x x ，则P }{1X ==A ． 61B ．21C ．32D ．19．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X P ( )A ．0B ．31C ．32D ．110、设随机变量X 在区间[2，6]上服从均匀分布，则P{2<x<4}=( )A.P{5<x<7}B.p{1<x<3}C.P{3<x<5}D.P{4.5<x<6.5}二．填空题(每题2分共20分)2．设连续型随机变量X 的分布函数为如下F(x), 则X 的概率密度)(x f 为（ ） 0 x<0F(x)= 2x, 5.00<≤x1 x ≥0.53．设随机变量X 的分布为P{X=k}=10k，k=0,1，2,3,4,则P{0.5<X ≤2}=( )4．设随机变量X ～N(2,9)，已知标准正态分布函数值=Φ)1(0.8413，为使P{X<a}<0.8413,则常数a<( )5．某人掷五次骰子，则在五次中得到点为6的次数X 的分布率为P{X=i}=( ) i=0,1,2,3,4,56．设随机变量X 服从区间[]10,0上的均匀分布，则P （X>4）=_ _．7．在[]T ,0内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知P{X=4}=3P{X=3}，则在[]T ,0内至少有一辆汽车通过的概率为_ _．8.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<3x 13x 1321x 0210x 0 则P{2<X ≤4}=_ _．9.已知随机变量X 的概率密度为f(x)=ce -|x|，-∞<x<+∞，则c=_ _．10．设随机变量X 的概率分布为F (x )为其分布函数，则F (3)=_ _．三．计算题。
随机变量及其分布练习试卷1(题后含答案及解析)
随机变量及其分布练习试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 多项选择题 3. 综合分析题单项选择题每题1分。
每题的备选项中，只有1个符合题意。
1．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值的样本标准差S皆为正数，如果每个观测值扩大到2倍，则下列说法正确的是()。
A．和S都扩大2倍B．和S都不变C．扩大2倍，S扩大4倍D．扩大4倍，S扩大2倍正确答案：C解析：由E(aX+b)＝aE(X)+b var(ax+b)＝a2var(X)可知。
知识模块：随机变量及其分布2．以下分别用来表示分布的中心位置和散布的大小的特征值是()。
A．均值、方差B．方差、均值C．标准差、均值D．方差、标准差正确答案：A解析：均值表示了分布的中心位置，方差和标准差表示分布的散布的大小。
知识模块：随机变量及其分布设随机变量Z的分布列为：X：0 1 2 3 4 P：0.50.20.10.15 0.05则3．E(X)为()。
A．0.105B．2.0C．1.6D．1.0正确答案：A解析：(1)E(X)=0×0.5+1×0.2+2×0.1+3×0.15+4×0.05＝0.105知识模块：随机变量及其分布4．P(0≤X＜3)为()。
A．0.9C．0.4D．0.7正确答案：B解析：(2)P(0≤X＜3)＝0.5+0.2+0.1＝0.8知识模块：随机变量及其分布5．设X为[a、b)上的连续型随机变量，已知a＜c＜d＜b，且c-a＝d-c＝b-d，则下列结论成立的是()。
A．P(a＜X≤d)＝2P(a＜X≤c)B．P(c＜X≤d)＝P(d＜X≤b)C．P(a≤X＜b)＝1/3D．P(X＝a)＝P(X＝b)正确答案：D解析：对于连续型随机变量，在给定区间上取值的概率P是以在取值区间上，概率密度分布曲线与X轴所夹的曲边梯形的面积。
对于连续随机变量X取一点的概率为0，所以选D。
知识模块：随机变量及其分布6．设X～N(1，4)，则P(0≤X＜2)可表示为()。
专题07 随机变量及其分布【专项训练】高二数学下学期期末专项复习(新人教A版2019)
专题07 随机变量及其分布【专项训练】一、单选题1．若随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=，则p =（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A 【详解】解：因为随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=， 所以28(1)5np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1015n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：A2．学校从高一､高二､高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5､6､7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A ．718B ．730C ．915D ．13【答案】A 【详解】设事件A 为“30人中抽出一名女同学”，事件B 为“30人中抽出一名高三同学”， 则56718()3030P A ++==，7()30P AB =， 所以()()7()18P AB P B A P A ==，故选：A.3．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2.5D ．1.7【详解】()10.420.530.1 1.7E X=⨯+⨯+⨯=.故选：D.4．某次市教学质量检测，甲､乙､丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A．三科总体的标准差相同B．甲､乙､丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小【答案】D【详解】解：由图象知甲､乙､丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙.故选：D．5．已知P(B|A)=13，P(A)=25，则P(AB)等于（）A．56B．910C．215D．115【答案】C 【详解】由题意，知()()(122315 )5P AB P B A P A==⨯=故选：C6．随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝－2)＝14，P(X＝3)＝12，P(X＝5)＝112，则P(X＝0)的值为（）A．0 B．14C．16D．18【详解】由各个变量概率和为1可得：P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1， 所以111(0)14212P X +=++=，解得1(0)6P X == 故选：C7．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为（ ）A ．1，2，3，…，6B ．1，2，3，…，7C ．0，1，2，…，5D ．1，2，…，5 【答案】B 【详解】由于取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球； 最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后再取到白球. 所以取球次数可以是1，2，3，…，7. 故选：B8．若离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()E X 和()D X 分别为（ ） A ．83，169 B ．83，89C ．89，83D ．169，83【答案】B 【详解】因为离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()28433E X =⨯=， ()22841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.9．设随机变量()24,N ζδ，若()10.4P a ζ>+=，则()7P a ζ>-=（ ）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.7【答案】C随机变量2~(4,8)N ζ，对称轴为：4μ= 因为(1)0.40.5P a ζ>+=<，所以14a +>， 根据对称性可得(1)(7)0.4P a P a ζζ>+=<-=， 则(7)0.6P a ζ>-=. 故选：C.10．设()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）A ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥B ．()()21P X P X σσ≤≤≤C ．函数()()F t P X t =>在R 上单调递增D ．()()111122222222P X P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+ 【答案】D 【详解】由正态分布密度曲线的性质得：X ，Y 的正态分布密度曲线分别关于直线12,x x μμ==对称， 对于A ：由图象得12μμ<，所以()()21P Y P Y μμ≥<≥，故A 不正确；对于B ：由图象得X 的正态分布密度曲线较Y 的正态分布密度曲线“廋高”，所以12σσ<，所以()()21>P X P X σσ≤≤，故B 不正确；对于C ：由图象得：当1>t μ时，函数()()F t P X t =>在()t +∞，上单调递减，故C 不正确； 对于D ：根据3σ原则：()111168.3%P X μσμσ-<<+=，()11112295.4%P X μσμσ-<<+=，()11113399.7%P X μσμσ-<<+=，无论σ 取何值时，有()()111122222222P X P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+，故D 正确，故选：D.二、多选题11．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布()2,30N μ和()2280,40N ，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．若红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.3413 【答案】ABD 【详解】对于A ，因为红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826， 故30280μ+≈即250μ≈，故A 正确.对于B ，因为3040<，故红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B 对，C 错. 白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.68260.34132=，故D 正确. 故选：ABD.12．已知三个正态分布密度函数()()()222,1,2,3i i x i f x x R i μσ--=∈=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．123σσσ==B ．123σσσ=<C ．123μμμ=>D ．123μμμ<=【答案】BD 【详解】正态密度曲线关于直线x μ=对称，且μ越大图象越靠近右边，σ越小图象越瘦长. 因此，123μμμ<=，123σσσ=<.13．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）A ．目标恰好被命中一次的概率为1123+ B ．目标恰好被命中两次的概率为1123⨯C ．目标被命中的概率为12112323⨯+⨯D ．目标被命中的概率为12123-⨯【答案】BD 【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次， 在A 中，目标恰好被命中一次的概率为1112123232⨯+⨯=，故A 错误； 在B 中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为111236⨯=，故B 正确； 在CD 中，目标被命中的概率为112111233⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误，D 正确． 故选：BD ．14．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（ ） A ．2~4,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．8(2)81P X ==C ．X 的期望8()3E X =D ．X 的方差8()9D X =【答案】ACD 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响， 并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分， 取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X 服从二项分布2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确；2X =，记其概率为22242124(2)3381P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的期望28()433E X =⨯=，故C 正确； 因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的方差218()4339D X =⨯⨯=，故D 正确． 故选：ACD ． 15．已知()2~,X N μσ，22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，则（ ）A ．曲线()y f x =与x 轴围成的几何图形的面积小于1B ．函数()f x 图象关于直线=x μ对称C ．()2()()P X P X P X μσμμσμσ>-=<<++≥+D ．函数()()F x P X x =>在R 上单调递增 【答案】BC 【详解】选项A. 曲线()y f x =与x 轴围成的几何图形的面积等于1， 所以A 不正确.选项B. 222()x f x σμ-+=,222()x f x σμ--=所以()()f x f x μμ+=-，所以函数()f x 图象关于直线x μ=对称，所以选项B 正确.选项C. 因为()()P X P X μμσμμσ>>-=<>+所以()()()P X P X P X μσμσμσμσ>-=-<<++≥+2()()P X P X μμσμσ=<<++≥+ 所以选项C 正确.选项D. 由正态分布曲线可知，当x 越大时，其概率越小.即函数()()F x P X x =>随x 的增大而减小，是减函数，所以选项D 不正确. 故选：BC三、解答题16．设离散型随机变量X 的分布列为求：（1）21X +的分布列； （2）求(14)P X <≤的值. 【详解】由分布列的性质知：0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m = （1）由题意可知(211)(0)0.2P X P X +====，(213)(1)0.1P X P X +====，(215)(2)0.1P X P X +==== (217)(3)0.3P X P X +====，(219)(4)0.3P X P X +====所以21X +的分布列为：（2）(14)(2)(3)(4)0.10.30.30.7P X P X P X P X <≤==+=+==++=17．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为16，第二种检测不合格的概率为110，两种检测是否合格相互独立．（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利80-元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X 表示这3台产品的获利，求X 的分布列及数学期望． 【详解】（1）设事件A 表示“每台新型防雾霾产品不能销售” 事件A 表示“每台新型防雾霾产品能销售” 所以()113116104P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()()114P A P A =-= （2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为34 “每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为14X 所有的可能取值为：240-，120-，0，120则()30311240464P X C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ ()2131391204464P X C ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1223132704464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()333327120464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以X 的分布列为所以()()1927240120120646464EX =-⨯+-⨯+⨯ 则30EX =18．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是35. （1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X 的分布列及期望. 【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为44153234865553125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，恰好打了6局，乙获胜的概率为14125322965553125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为1248696582312531253125P P P =+=+=. （2）X 的可能取值为2，3，4，5，()2392525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()12233363555125P X C ==⨯⨯⨯=，()2413323212445555625P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()331344323232965555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列如下：故()936124961966234525125625625625E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。
第2章 随机变量及其分布课后习题答案(高教出版社,浙江大学)
第2章 随机变量及其分布1，设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。
解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因此有116.04.0)4.01(4.0}{--⨯=-⨯==k k k Y P ， （ ,3,2,1=k ）上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。
2，水自A 处流至B 处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。
当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X 表示当信号发出时水自A 流至B 的通路条数，求X 的分布律。
设各阀门的工作相互独立。
解：X 只能取值0，1，2。
设以)3,2,1(=i A i记第i个阀门没有打开这一事件。
则)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ⋃=⋃==)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P XP ，416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X 表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。
问X 服从什么分布？写出分布律。
并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。
解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为15,2,1,0,8.02.0)(1515 =⨯⨯==-k C k X P k k k。
第二章----随机变量及其分布标准答案
第二章 随机变量及其分布§2.1-2.2一、填空题1. 设随机变量X 的分布律是{}),4,3,2,1(10===k kk X P 则 {}{}103102101112521=+==+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤X P X P X P2. 设随机变量X 的分布律是{},0),,3,2,1(!>===λλ k k ak X P k为常数，λ-=e a3. 已知随机变量X 只能取-1，0，1，2这四个值，其相应的概率依次为c c c c 162,85,43,21，则2=c 因为21163216210128162854321=⇒==+++=+++c cc c c c c4. 设5个产品中有3个正品2个次品，如果每次从中任取1 个进行测试，测试后不放回，直到把2个次品都取出来为止，用X 表示需要进行的测试次数，则{}{}525,1012====X P X P 解：:i A “第i 次取到次品”{},1014152)|()()()(21212121=⨯=====A A P A P A A P A A P X P {}()=+++==543215432154321543215A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A P X P()=+++=54321543215432154321()()()A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P5221314253213242532132425321324352=+++=5. 若{}{},1,112αβ-=≥-=≤x X P x X P 其中21x x <，则{}βα--=≤≤121x X x P 。
解：{}{}{}{}==+≤-≤=≤≤11221x X P x X P x X P x X x P{}{}{}{}{}βα--=≤+-≤==+<+-≤=11112112x X P x X P x X P x X P x X P6. 一颗均匀骰子重复掷10次，用X 表示3出现的次数，则X 服从参数为61,10==p n 的二项分布，X 的分布律为{}kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==101061161，10,,2,1,0 =k7. 一电话交换每分钟接到呼叫次数，X ～)4(P ，则每分钟恰好有8次呼叫的概率为8448!e -，每分钟呼次数大于8的概率为{}021363.0!418804=-=>∑=-k k e k X p8. 一实习生用一台机器接连独立的制造了3个相同的零件，第)3,2,1(=i i 个零件是不合格品的概率为),3,2,1(11=+=i i p i 以X 表示3个零件中合格品的次数，在{}24112==X P 设i A ：“第i 个零件合格”，3,2,1=i ；则{}==2X P()()()()321321321321321321A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A P ++= =)()()()()()()()()(321321321A p A P A P A p A P A P A p A P A P ++=24111218141413221433121433221=++=++ 二、车从某校到火车站途中，要经过3个设有红绿灯的十字路口中，遇到 红灯是相互独立的，并概率都是31。
随机变量及其分布练习题
第二章随机变量及其分布练习题1．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是（ ）Ａ．1.4 Ｂ．0.9Ｃ．0.6 Ｄ．0.48 2．设随机变量1~62X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则(3)P X =等于（ ） Ａ．516 Ｂ．316 Ｃ．58 Ｄ．7163．设随机变量X 的概率分布列为X1 2 3P 则E (X ＋2)A.B ．9C.D.4．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为（ ）Ａ．ab Ｂ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b --5．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9,0.8,0.75，则三人中至少有一人达标的概率为( )A ．0.015B ．0.0056．设随机变量~()X B n p ，，则22()()DX EX 等于（ ） Ａ．2p Ｂ．2(1)p - Ｃ．np Ｄ．2(1)p p -7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )．A.B.C.D.8．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()．A.B.C.D.9．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)等于()．A.p B．1－p C．1－2p D.－p10．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826.若μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝()A．0.1359 B．0.1358C．0.2718 D．0.271611．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是()．A．0.216B．0.36C．0.432D．0.64812．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x 12 3P(ξ＝x)？！？处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．13．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________．14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为个，方差为．15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．16．在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，求在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率．17．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．18．某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：电话同时打入个数x0 1 2 3 4 5 6 7 8概率p 0．130．350．270．14 0．08 0．02 0．01 0 0（1）若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话）①求至少一路电话不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”．（2）求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数X的均值．19．某仪表厂从供应商处购置元器件20件，双方协商的验货规则是：从中任取3件进行质量检测，若3件中无不合格品，则这批元器件被接受，否则就要重新对这批元器件逐个检查．(1)若该批元器件的不合格率为10%，求需对这批元器件逐个检查的概率；(2)若该批元器件的不合格率为20%，求3件中不合格元器件个数的分布列与期望．20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)012 3频数159 5商品3件，当天营业结束后检查存货．若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数．求X的分布列和数学期望．21.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.。
随机变量及其分布习题解答
第2章随机变量及其分布习题解答一．选择题1．若定义分布函数(){}F x P X x =≤，则函数()F x 是某一随机变量X 的分布函数的充要条件是( D )．A ．0()1F x ≤≤．B ．0()1F x ≤≤，且()0,()1F F -∞=+∞=．C ．()F x 单调不减，且()0,()1F F -∞=+∞=．D ．()F x 单调不减，函数()F x 右连续，且()0,()1F F -∞=+∞=．2．函数()0 212021 0x F x x x <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩是( A )．A ．某一离散型随机变量X 的分布函数．B ．某一连续型随机变量X 的分布函数．C ．既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数．D ．不可能为某一随机变量的分布函数．3．函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩( D )．A ．是某一离散型随机变量的分布函数．B ．是某一连续型随机变量的分布函数．C ．既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数．D ．不可能为某一随机变量的分布函数．4．设X 的分布函数为1()F x ，Y 的分布函数为2()F x ，而12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量Z 的分布函数，则, a b 可取( A )．A ．32, 55a b ==-． B ．2 3a b ==．C ．13 , 22a b =-=． D ．13 , 22a b ==-．5．设X 的分布律为而(){}F x P X x =≤，则F =( A )．A ．0.6．B ．0.35．C ．0.25．D ．0．6．设连续型变量X 的概率密度为()p x ，分布函数为()F x ，则对于任意x 值有( A )． A ．(0)0P X ==． B ．()()F x p x '=． C ．()()P X x p x ==．D ．()()P X x F x ==．7．任一个连续型的随机变量X 的概率密度为()p x ，则()p x 必满足( C )．A ．0()1p x ≤≤． B ．单调不减． C ．()1p x dx +∞-∞=⎰．D ．lim ()1x p x →+∞=．8．为使 x 1()0 1p x x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩成为某个随机变量X 的概率密度，则c 应满足( B )．A ．1+∞=⎰．B ．11-=⎰．C ．11=． D ．1+∞-=⎰．9．设随机变量X 的概率密度为2()x p x Ae -=，则A = ( D )．A ．2．B ．1．C ．12． D ．14．10．设X 的概率密度函数为1() ,2xp x e x -=-∞<<+∞，又{}()F x P X x =≤，则0x <时，()F x =( D )．A ．112-e x． B ．112x e --． C ．12x e -．D ．12e x ．11．设220()00x cx e x p x cx -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩是随机变量X 的概率密度，则常数c ( B )．A ．可以是任意非零常数．B ．只能是任意正常数．C ．仅取1．D ．仅取- 1． 12．设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则112Y X =-分布函数为( D )． A ．(22)F y -． B ．1(1)22yF -． C ．2(22)F y -． D ．1(22)F y --． 13．设随机变量X 的概率密度为()p x ，12Y X =-，则Y 的分布密度为( A )．A ．1122y p -⎛⎫ ⎪⎝⎭． B ．112y p -⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．12y p -⎛⎫- ⎪⎝⎭． D ．2(12)p y -． 14．设随机变量X 的密度函数()p x 是连续的偶函数(即()()p x p x =-)，而()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a 有( C )．A ．()()F a F a =-．B ．0()1()aF a p x dx -=-⎰．C ．01()()2aF a p x dx -=-⎰ ． D ．()()F a F a -=． 二．填空题15．欲使2103()103xx e x F x A e x -⎧<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩为某随机变量的分布函数，则要求A =____1_____．16．若随机变量X 的分布函数2()0616x F x Axx x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则必有A =____1/36______． 17．从装有4件合格品及1件次品的口袋中连取两次，每次取一件，取出后不放回，求取出次品数X 的分布律为{0}3/5,{1}2/5P X P X ==== ．18．独立重复地掷一枚均匀硬币，直到出现正面为止，设X 表示首次出现正面的试验次数，则X 的分布列{}P X k ==1111{},1,2,222k kP X k k -⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．19．设某离散型随机变量X 的分布列是{},1,2,,10kP X k k C===⋅⋅⋅，则C =____55_____．20．设离散型随机变量X 的分布函数是(){}F x P X x =≤，用()F x 表示概率{}0P X x ==00()(0)F x F x --．21．设X 是连续型随机变量，则{3}P X ==___0____．22． 设随机变量X 的分布函数为20,2()(2),231,3x F x x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩ ，则(2.54)P X <≤=(4)(2.5)0.75F F -=．23．设随机变量X 的分布函数102()1102xx e x F x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则{}1P X <=11e --．24．设连续型随机变量X的分布函数为20()021x xF x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩X 的概率密度()p x=00 ()x x ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它．25．设随机变量X 的分布密度为2(1),(0,1)()0,(0,1)Ax x x p x x ⎧-∈=⎨∉⎩，则常数A =__12____．26．若X的概率密度为()p x ，则31Y X =+的概率密度()Y p y =1133y p -⎛⎫⎪⎝⎭．27．设电子管使用寿命的密度函数()21001000100x p x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(单位：小时)，则在150小时内独立使用的三只管子中恰有一个损坏的概率为_____4/9_____． 三．应用计算题28． 设随机变量X 的分布律为求（1）{14}P X <≤；(2)X 的分布函数()F x ．解：（1）{14}{2}{3}{4}0.30.30.10.7P X P X P X P X <≤==+=+==++=(2)X 的分布函数()F x 为0,00.1,010.3,12()0.6,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩29. 设连续随机变量X 的概率密度,10(),010,||1c x x p x c x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩试求： (1)常数c ； (2) 概率{||0.5}P X ≤；(3) X 的分布函数()F x . 解：（1）由0111()()()21p x dx c x dx c x dx c +∞-∞-==++-=-⎰⎰⎰，得1c =（2）{||0.5}{0.50.5}P X P X ≤=-≤≤00.50.5(1)(1)0.75x dx x dx -=++-=⎰⎰（3）X 的分布函数为1010,1(1),10()(1)(1),011,1xxx t dt x F x t dt t dt x x --<-⎧⎪+-≤<⎪⎪=⎨⎪++-≤<⎪≥⎪⎩⎰⎰⎰220,11(1),10211(1),0121,1x x x x x x <-⎧⎪⎪+-≤<⎪=⎨⎪--≤<⎪⎪≥⎩30．设顾客到某银行窗口等待服务的时间X (单位：分钟)的概率密度函数为51,0()50,0xe x p x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待，如超过10分钟，他就离开，求他离开的概率. 解：他离开的概率为/52101{10}5x P X e dx e +∞--≥==⎰31．已知随机变量X 的分布函数为()1,x 0211, 02241,2xe F x x x x ⎧<⎪⎪⎪=+≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩，求其分布密度()p x .解：()1 021()0240 2xe x p x F x x x ⎧<⎪⎪⎪'==≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩32. 设X 是离散型随机变量，其分布律为（1）求常数a ；（2）23Y X =+的分布律．解：（1）由0.330.10.21a a ++++=得0.1a = （2）由于所以，23Y X =+的分布律为33.设随机变量X 的密度函数为,0()0,0x X e x p x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，0λ>，求XY e =的密度函数()Y p y .解：（1）XY e =的分布函数为(ln ),0()()(ln )0,0X XY F y y F y P e y P X y y >⎧=≤=≤=⎨≤⎩（2）XY e =的密度函数()Y p y 为ln 1,ln 0,1(ln )(ln ),01()()0,ln 00,00,10,0y X Y Y e y y p y y y y p y F y y y y y y λλλλ-+⎧>⎧'>⋅>⎧⎪⎪'===⋅≤=⎨⎨⎨≤⎩⎪⎪≤≤⎩⎩。
第二章随机变量及其分布作业册习题解答
§1 随机变量 一、单项选择题
§2 随机变量的分布函数
§3 离散性随机变量及其分布律
（1）解应选（B）。
方法一由于在选项（A）中， F(+) = 0 1，在选项（C）中， F (+) = 1 1，在选项（D） 2
−1, 中，取 f (x) = 2,
0,
1 x 2
+
3 x 4 ，则 f (x)dx = 1，但当1 x 2 时， F(x) =1− x 0 ，因此选 −
~19~
此所求的概率为
P
1 2
X
2
=
2
f (x)dx =
1 2
21
5
xdx =
6 1
2
16
（3）当 x 0 时， F(x) = 0 ；当 0 x 2
3 时， F(x) =
x
f (t)dt =
x 1 xdx = x2 ；当
−
06
12
x 2 3 时， F(x) = 1，即 X 的分布函数为
= P( −4) + P( 4) = + 2e−2xdx = e−8 4
故填 e−8 。
三、解（1）由
+
f (x)dx = 1 ，得1 =
2
3
3Cxdx = 18C ，故 C =
1
。
−
0
18
（2）由（1）知
X
的概率密度为
f
(x)
=
1 6
x,
0 x2
3 ，由于 X 是连续型随机变量，因
0, 其他
a
+
+
a
F(−a) = − (−t)dt = (t)dt = (t)dt − (t)dt
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随机变量及其分布期末练习题及答案1．在事件A 发生的概率为p 的伯努利试验中，若以ξ记第r 次A 发生时的试验的次数，求ξ的分布。
[解]{}发生次试验次而第恰好出现了次试验中前A k r A k P k P 11-)(-==ξ),1,(,)1()1(11111 +=-=⋅-=-------r r k p p C p p p C r k r r k r k r r k小结 求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。
为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。
2．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1;10.0,1)(2x x Ax x x F求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,31(内的概率；（3）X 的概率密度函数。
[解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A（2）由分布函数的性质知，41)1()21())21,1((=--=-∈F F X P ； 98311)31()2())2,31((2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-∈F F X P ； （3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取 ⎩⎨⎧≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或 则0)(≥x f ，且对一切x 有⎰∞-=x dt t f x F )()(，从而)(x f 为随机变量X 的密度函数。
3．设),2(~2σN X ，且3.0)42(=<<X P ，求)0(<X P[解] 因为 )0(2)42(3.0Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=<<=σX P 所以 8.05.03.02=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσ于是 2.0212202)0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=<σσσσX P X P 4．一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克）)5,55(~21N X ，一般品种蛋重)5,45(~22N X 。
（1）从中任取一个，求其重量大于50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都小于50克的概率。
[解] （1）设A ：任取一蛋其重量大于50克。
1B ：任取一蛋为优良品种2B ：任取一蛋为一般品种则21,B B 互斥，且S B B =21 ，31)(,32)(21==B P B P 8413.0555501)50()(11=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=>=X P B A P 1587.0545501)50()(22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=>=X P B A P 由全概率公式得)()()()()(2211B A P B P B A P B P A P +=6138.01587.0318413.032=⨯+⨯= （2）从中任取2个，每个蛋重大于50克的概率6138.0=p ，小于50克的概率6138.011-=-=p q设任取2个，有Y 个大于50克，则),2(~p B Y于是所求概率为1492.0)6138.01()0(22002=-===q p C Y P问题与思考1．以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗？2．非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗？3．设X 为连续型随机变量，而)(x g 为连续函数，)(X g Y =还是连续型随机变量吗？4．不同的随机变量其分布函数可能相同吗？5．连续型随机变量的密度函数连续吗？练习与答案1．一批产品，其中有9件正品，3件次品。
现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。
2．重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为)10(<<p p ，出现反面的概率为p q -=1，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。
3．对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。
4．已知某元件使用寿命T 服从参数100001=λ的指数分布（单位：小时）。
（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数X 的分布律5．某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间)8,40(~2N X ；若采用乙工艺条件，则完成时间)4,50(~2N X 。
（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件？6．设某批零件的长度服从),(~2σμN X ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于μ的概率。
7．设X 分别为服从⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππU ，[]π,0U ，[]π2,0U 的随机变量，求X Y sin =的概率密度函数8．设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7。
，超过7的水要溢出，求水库存水量Y 的分布函数参考答案：1．分布列 X 0123Y 75.0204.0041.005.02．)4,3,2(11 =+--n qp pq n n3．956.0)1()0(1)2(==-=-=≥X P X P X P4．（1）61.0；（2）10,,3,2,1,0,)1()(10212110 =-==---k e e C k X P k k5．（1）两种工艺均可；（2）选甲为好6．3125.02121)2(3225=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P 7．（1）1,11)(21<-=x x x f π；（2）10,12)(22<<-=x x x f π；（3）1,11)(23<-=x x x f π；8．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.7,1;74,44;4,0)(y y y y y F y⒈连续型随机变量X 的密度函数是f x ()，则P a X b ()<<=。
答案：f x x a b()d ⎰，⒉设X 为随机变量，已知D x ()=2，那么D X ()35-=。
答案： 183、设随机变量X ~...012060301⎛⎝ ⎫⎭⎪，则E X ()=（ ）。
A. 1；B. 13； C. 0D. 05.答案： D4、设随机变量X N ~(,)522，求()8X P <<3。
解 X N ~(,)522∴-X N 5201~(,))25825253()83(-<-<-=<<X P X P＝)1()5.1(-Φ-Φ（查表）7745.08413.019322.0=+-=5. 设随机变量X 的密度函数是⎩⎨⎧<<-=03)2(3)(2x a x x f求 (1) 常数a ; (2)P (X <2.5)解 (1) 根据密度函数的性质1＝⎰⎰-=+∞∞-32d )2(3d )(a x x x x f =1－(a －2)3所以a =2 ⎩⎨⎧<<-=∴032)2(3)(2x x x f(2)P (X <2.5)=⎰-5.222d )2(3x x=125.05.0)2(35.223==-x6．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1;10.0,0)(2x x Ax x x F求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,31(内的概率；（3）X 的概率密度函数。
[解] （1）有分布函数的右连续性，在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A（2）由分布函数的性质知，41)1()21())21,1((=--=-∈F F X P ；98311)31()2())2,31((2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-∈F F X P ；（3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取⎩⎨⎧≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或7．设),2(~2σN X ，且3.0)42(=<<X P ，求)0(<X P[解] 因为)0(2)24222()42(3.0Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=---=<<=σσσσ x P X P 所以8.05.03.02=+=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ于是2.0212202)0(=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-<-=<σσσσX P X P8．设随机变量X 的密度函数为f x x x ()()=-≤≤⎧⎨⎩311202其它，求：⑴P X (..)1525<<；⑵E X ().解⑴P X (..)1525<<=⎰5.21.5d )(x x f =⎰-21.52d )1(3x x=25.13)1(-x = 0.875 ⑵E X ()=⎰+∞∞-d )(x x xf =⎰-212d )1(3x x x=21234)23243(x x x +-=74 9．盒中装有分别标12345,,,,数字的球，从中任取2个，用X 表示所取2球中最大的数字. 求X 的概率分布.．解)2(=X P =101251111=C C C ，)3(=X P =102251211=C C C ， )4(=X P =103251311=C C C ，)5(=X P =104251411=C C C ，所以X 的概率分布为：二）、例题分析1、（1）“C B A ,,三个事件中至少两个发生”，这一事件可以表示为。
答案：AC BC AB ++。
（2）事件B A ,满足,8.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P 则________)(=+B A P 。
答案：分析根据概率的加法公式与乘法公式，我们有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+)()()()(A B P A P B P A P -+==7.08.05.06.05.0=⨯-+（3）对于任意事件C B A ,,，则________)(=++C B A P 。
答案：)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++分析))(()(C B A P C B A P ++=++])[()()(C B A P C P B A P +-++=)()()()()(BC AC P C P AB P B P A P +-+-+==)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++ 2 、事件B A ,若满足1)()(>+B P A P ，则A 与B 一定（）（A ）不相互独立；（B ）互不相容；（C ）相互独立；（D ）不互斥答案：D分析由加法公式，有1)()()()(≤-+=+AB P B P A P B A P而且1)()(>+B P A P 时，只有0)(≠AB P 时，才能保证上式成立，即≠AB φ， 故选择D 正确。