第6章平面电磁波

电场： Ex A e j( kz x1 ) A2me j( kz x 2 ) 1m
可见： k 反映的是随着波传播距离 z 的增加，波的相位
的变化情况，所以 k 称为相位常数。
k
1 已知：v 为波的传播速度。

2π f 2π k v f
电磁场的复数形式为： E Eme jkz e je
jkz jm H H me e
* 1 1 Sav Re( E H ) Em H m cos( e m ) 2 2
* 式中 H 表示 H 的共轭。
* jkz jm H H me e
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
二、均匀平面波的特性
1.均匀平面波满足一维波动方程 从麦克斯韦方程出发：
D H Jc t B E t D v B 0
在自由空间： Jc 0, v 0
D E B H
的复数表示形式；(7)波的平均功率密度。 解 (1)相对介电常数 由电场 E 强度的表达式可知:
k 0 0 r
r
109 rad/s, k 5 rad/m
0 0
25 1018 (3 108 )2 2.25
25 1018
(2)传播速度为 (3)本质阻抗为 (4)波长为
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
（3）平均坡印廷矢量
1 T Sav Sdt T 0 1 T1 Em H m [cos( e m ) cos(2t 2kz e m )]dt T 0 2 1 Em H m cos( e m ) 2
对第一方程两边取旋度， ： 得 H ( E ) t 根据矢量运算： 2 H ( H ) H
E H t H E t E 0 H 0 H 2 由此得： H ( ) t t
Hy Exm
第6章 平面电磁波

e
j( kz x )
Hx
E ym

e
j( kz y )
结论：E 与 H在空间是相互垂直的，在时间上是同相的，振 幅之比为本质阻抗。
电磁场与电磁波
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5. 坡印廷矢量
(1)坡印廷矢量的概念 电场能量密度: we 1 E 2 2
H y H x H z ˆ ˆ ˆ (ax ay az ) t t t
E y z

H x t
H y Ex z t H z 0 t
可见：HZ 与时间 t 无关，不属于时变场部分。 H z 0 结论： 对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵 向分量，这种电磁波称为横电磁波，简写为TEM 波。
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
t 2
运用矢量恒等式： E H H E (E H ) 1 2 1 2 ( E H ) E H E J c H E ( E H ) Jc E
H
2
O
所以： 2 H
z
2
y
E
2
t 2 2 E t 2
z
2
可见： 均匀平面波满足一维波动方程。
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
2.均匀平面波是横电磁波（TEM波）
根据麦克斯韦第一方程:
ˆ ax H 0 Hx ˆ ay 0 Hy ˆ az H y H x ˆx ˆ a ay z z z Hz
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
第6章 平面电磁波
引言
一、平面电磁波的概念 二、均匀平面波的特性
三、平面电磁波在无耗介质中的传播特性 四、均匀平面波在有耗媒质中的传播规律 五、均匀平面波的极化特性 六、均匀平面波对平面边界的垂直入射 七、多层介质分界面上的垂直入射 八、均匀平面波对平面边界的斜入射
电磁场与电磁波
109 vp m/s 2 108 k 5

m/s

0 120π 251.33 r 0 2.25
A1 A1me
A2 A2me jx 2
前向行波
Ex A1me j( kz x1 ) A2me j( kz x 2 )
后向行波
同理： Ey A1me
j( kz y1 )
A2me
j( kz y 2 )
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
2. 相位常数 k
上式两边在给定的体积V内积分,有
1 2 1 2 ( E H )dV ( E H )dV J c EdV V V t V 2 2
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波 欧姆功率损耗
由高斯定律得：
1 2 1 2 ( E H )dV ( E H ) dS J c EdV S V t V 2 2 ——坡印廷定理 坡印廷矢量：流出单位面积的功率密度。 S EH
（常数） 等相位面方程为： t kz x C
——瞬时表示形式
dz vp dt k
真空中的光速
1 c 所以：v p v r r
等于波速
d (t kz x ) 0 dt
dz k 0 dt
对于无限大、均匀、理想介质中的均匀平面波，相速
1 Ex jk Hy j j Exm e j( kz x ) z
令：

Ex
称为介质的本质阻抗，有阻抗的量纲。 在真空中：0
0 120π 377 0
Ex 可见： Hy
电磁场与电磁波
H 根据： E j H t j( kz y ) 若： Ex Exme j( kz x ) 若： Ey Eyme
则：
H
2
H
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t 2
——磁场的波动方程
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
2
同理可得： E
E
2
t
2
——电场的波动方程
对均匀平面波而言，选直角坐标系，假设电磁波沿 z 方向 传播，等相位面平面平行于xOy平面。如图所示：
x
0, x
z
0 y
2
E H 1 2 1 E H 2 ( E H ) E H E H t 2 2 t t t t E 由麦克斯韦方程: E H E J E c t H H E H t 1 2 1 2 ( E H ) E H E J c H E 可得： t 2 2
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
例1: 在介质 ( 0 , r 0 )中沿 y方向传播的均匀平面波电场强 度为 E 377cos(109 t 5y)az V/m ，求(1)相对介电常数；(2)传播速度； ˆ
(3)本质阻抗；(4)波长；(5)磁场强度； (6)电场强度和磁场强度
k 又称为波数。
j( kz x )
若只考虑前向的单行波，即：
Ex Exme
在这种表达形式中隐含了时间因子
e
j t。
——复数表示形式
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第6章 平面电磁波
3. 相速 vp
相速：等相位面运动的速度。 电场的另一种表示形式为：

v
Ex Re( Exme j( kz x )e j t ) Exm cos(t kz x )
2π 其中： 2πf 称为角频率。 T
令：
k 2 2
2 Ex 得到： k 2 Ex z 2
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
2 Ex k 2 Ex 方程： z 2
该方程的解为：
Ex A1e
jkz
A2e jkz
j x1
A 式中： 1 和 A2 为复常数。
vp
v 。
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
4. 介质的本质阻抗
磁场可由麦克斯韦方程求得： 若：
Ex Exme
ˆ ax ˆ ay 0 0 ˆ az
j( kz x )
H E jH t
E 0 Ex
E ˆ ˆ ˆ ˆ x a y j ( H x ax H y a y H z az ) z z 0
1 磁场能量密度: wm H 2 2
电磁场中任意体积V内储存的总电磁能量为：
1 1 W ( we wm )dV ( E 2 H 2 )dV V V 2 2
设空间某点的电磁能量密度随时间的变化率为：
E H 1 2 1 E H 2 ( E H ) E H E H t 2 2 t t t t
（2）瞬时坡印廷矢量
E Em cos(t kz e ) 电磁场的瞬时形式为： H Hm cos(t kz m ) S EH Em H m cos(t kz e ) cos(t kz m ) 1 Em H m [cos(e m ) cos(2t 2kz e m )] 2
Ez 0
结论：电场只有 Ex 和 Ey 分量，说明电场矢量位于xOy 平面上。
电场强度可表示为：
ˆ ˆ E ax Ex ay Ey
电磁场与电磁波
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H 根据麦克斯韦尔第二方程: E t ˆ ˆ ˆ ax a y az E y Ex ˆ ˆ E 0 0 ax ay z z z Ex E y 0
磁场强度可表示为： H a H a H ˆx x ˆ y y
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第6章 平面电磁波
三、平面电磁波在无耗介质中的传播特性
1. 波动方程的解
已知电场的波动方程为：
2 Ex 2 Ex 2 2 2 2 E E t 分解为标量方程： z z 2 t 2 2 Ey 2 Ey 2 z t 2 对于随时间按正弦变化的电 2 Ex 2 E x 磁场，因子为 e j t ，因此: z 2
E H t
Ex , z t E y H x , z t E 0 z t H y
E y Ex Ez E ˆ ˆ ˆ ( ax ay az ) t t t t
可见：EZ 与时间 t 无关，说明电场中没有EZ分量
第6章 平面电磁波
一、平面电磁波的概念
1.等相位面：
在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为 等相位面。
等相位面又称为波阵面。 2.球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。 3.平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。 4.均匀平面波： 任意时刻，如果在平面等相位面上，每一点的电场强 度均相同，这种电磁波称为均匀平面波。