144由参数方程所确定的函数的求导法则

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1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则二、典型例题三、小结
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一、求导法则
若参数方程
? ? ?
x y
? ?
? ?
(t (t
) )
确定
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数 .
例如
wenku.baidu.com
? x ? 2t ,
? ?
y
?
t2,
?
b
sin
t，求
d2 dx
y
2
.
解
dy
dy dx
?
dt dx
?
? b cot t， a
dt
d2y dx 2
?
d ? dy ?
dt
?? dx dx
??
?
? ??
?
b a
cot
t
?? ??
?
(a cost )?
?
b ?(? csc2 t) a ? a sin t
dt
?
?
b a2
csc3
t.
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2
即
y ? x ? a(2 ? ? ).
2
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例2 设由方程
? x ? t2 ? 2t,
? ?
t
2
?
y?
? sin
y
?
1,
(0 ? ? ? 1).
确定函数 y ? y( x ), 求
解方程组两边对 t求导, 得
dx ? 2 t ? 2,
dt
dy
dy
2t ? d t ? ? cos y d t ? 0.
d x ? 2( t ? 1), dt
dy
2t
?
.
d t 1 ? ? cos y
故
dy ? dx
dy dt
dx ?
t
.
d t (t ? 1)(1 ? ? cos y)
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例3
设
x
?
a cos t，y
? y ? ? [? ?1( x )]
再设函数 x ? ? (t), y ? ? (t )都可导, 且? ?(t) ? 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
?
dy ? dt dt dx
?
dy 1 dt ?dx
?
? ?
?(t ) ?( t )
dt
dy
即 dy dx
?
dt dx
? ??t ?
?
?
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三、小结参数方程求导法 : 实质上利用复合函数求导法则 . 求高阶导数时 ,从低到高每次都用参数方程求导公式 .
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作业
1.认真看书。 2.习题1.4中的相关练习题选做一道小题。
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t? x 2
消去参数 t
? y ? t2 ? (x)2? x 2 24
? y?? 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导 ?
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在方程
? ? ?
x y
? ?
? ?
(t )中, (t)
设函数 x ? ? (t )具有单调连续的反函数 t ? ? ?1( x ),
即
d2y dx 2
?
?
?(?t )?
?(t) ? ? ?(t)? ? ?3(t )
?(?t ) .
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二、典型例题
例1
求摆线
? ? ?
x y
? ?
a(t ? a(1 ?
sin t) 在t cos t )
?
?
2
处的切线方程
.
dy
解
dy dx
?
dt dx
.
??t ?
dt
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一阶导数
? x ? ? (t),
? ???y??
d d
y x
?
? ?(t)
,
??(t)
参数方程
若函数
? ? ?
x y
? ? (t ) 二阶可导 , ? ? (t)
利用同样方法可以得到
y对x的二阶导数公式： d 2 y
dx 2
?
d dx
dy () dx
?
d ( dy ) dt dx
dx
dt
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d ( dy ) d (? ?(t))
?
dt dx dx
? dt ? ?(t) ? ?(t)
dt
? ??(t)? ?(t ) ? ? ?(t)? ??(t) 1
?
? ?2 (t )
?
? ?(t)
? a sin t ? sin t a ? a cos t 1 ? cos t
dt
?
dy dx
t? ? 2
sin ?
?
2
1 ? cos ?
? 1.
2
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当 t ? ? 时, x ? a(? ? 1), y ? a.
2
2
所求切线方程为
y ? a ? x ? a(? ? 1)