高考数学分段函数绝对值函数

2．11分段函数与绝对值函数

——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之

一、明确复习目标

了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法

二．建构知识网络

1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。

2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.

3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。

4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.

三、双基题目练练手

1.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨

⎧≥--<+,

11

4,1)

1(2

x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( )

A.（－∞，－2］∪［0，10］

B.（－∞，－2］∪［0，1］

C.（－∞，－2］∪［1，10］

D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2

2,0

,0

x x y x x ≥⎧=⎨

-<⎩ 的反函数是 （ ） A

．,0

20

x

x y x ⎧≥⎪=< B

．2,00x x y x ≥⎧⎪=<

C

．,020

x

x y x ⎧≥⎪

=⎨⎪<⎩

D

．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩

3．(2007启东质检)已知2

1[1,0)()1[0,1]

x x f x x x +∈-⎧=⎨

+∈⎩，，，则下列函数图象错误．．

的是( )

4.（2006全国Ⅱ）函数19

1

()n f x x n ==

-∑的最小值为 ( )

（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45

5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=⎩⎨

⎧<-≥-),

2(2

),

2(2

x x x 则f （lg30－lg3）

=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.

6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}⎩

⎨⎧≥=b a b b

a a

b a ＜,,,max 则函数

(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .

7.

已知函数1

3

2

(0)()(01)log (1)

x

x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,当a <0时,f {f [f (a )]}=

8.函数2

21(0)

()(0)

x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的值域 。

简答:1-4.ACDC;

4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19| =|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x| ≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10| ≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:…

5. f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2，

f （x －1）=⎩⎨

⎧<-≥-.

32

,33

x x x

当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜

5.

当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3.解集 {x |－5＜x ＜5} 6. 由()()2

121212

2

≥

⇒-≥+⇒-≥+x x x x x ， ()112122x x f x x x ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩

如右图()min 13

22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭

7.12

-;8. 当x ≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，－x 2

<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。

四、经典例题做一做

【例1】设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩

⎨⎧-+)]18([13

n f f n ),2000(),2000(>≤n n 求f （2002）.

解：∵2002＞2000，

∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.

【例2】判断函数22(1)(0)

()(1)(0)

x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性。

解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)；

当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。

提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x 的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否

是奇偶函数的结论。

【例3】(2007启东质检)已知函数1

()|1|f x x

=-

,(0)x > （1）当0,()()a b f a f b <<=且时，求证：1ab >；

（2）是否存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ，若

存在，则求出,a b 的值，若不存在，请说明理由；

（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为

[,](0)ma mb m ≠，求m 的取值范围．