上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章 线性系统的能控性和能观性4
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4.4 时变系统的能控性和能观性 一、能控性判据
1、有关线性系统能控性的几点说明
1）允许控制u(t)，其元在时间[t 0,t f ]上绝对平方可积。 2）能控状态和控制作用的关系式
τ
ττττ
τττττττd )(u )(B ),t (d )(u )(B ),t ()t ,t (X 0
d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X f
f
f
t t 0t t f 0f 1
0t t f 00f f ⎰⎰⎰-=-==+=-ΦΦΦΦΦ
)
8.3.4(d )(u )(B ),t (X f
t t 00τ
τττ⎰-=∴Φ
3）非奇异变换不改变系统的能控性
设系统在变换前是能控的，它必满足（4.3.8） 即 ττττd )(u )(B ),t (X f
t t 00⎰-=Φ
若取变换矩阵P ，对X 进行线性变换
X P X =
则有
B P B AP P A 11
--==
即 B P B P
A P A 1
==-
将上述关系式代入（4.3.8）式，有
τ
τττφ-=τ
τττφ-=τ
τττφ-=⎰⎰⎰-d )(u )(B ),t (X d )(u )(B P ),t (P X d )(u )(B P ),t (X P f
f
f
t t 00t t 010t t 00
上式表明非奇异变换不改变系统的能控性
4）如果0X 是能控状态，则0X α也是能控状态，α是任意非零实数。
5）如果01X 和02X 是能控状态，则0201X X +也是能控状态。 6）由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间，此子空间称为系统的能控子空间，记为c X 。
例：u 11x x 1001x x
2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
解：系统的能控状态为21x x =的状态，为两维状态空间中的一条450斜线。
2、线性连续时变系统的能控性判据 1）【定理】时变系统的状态方程为
)t (U )t (B )t (X )t (A )t (X
+= 系统在[t 0,t f ]上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵
⎰φφ=f
t t 0T T 0f 0c dt )t ,t ()t (B )t (B )t ,t ()t ,t (W
为非奇异。 证明：略
例：试判断下列系统的能控性
u 10x x 00t 0x x
2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
解：（1）首先求状态转移矩阵
...}d 000{!21d 000I )t ,0()
t (A )t (A )t (A )t (A 2
0t 0
t 1221+τ⎥⎦⎤⎢⎣⎡τ+τ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡τ+=φ∴=⎰⎰
＝⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡
-10
t 2112 （2）计算能控性判别阵)t ,0(Wc f
⎰φφ=f
t 0
T T f c dt )t ,0()t (B )t (B )t ,0()t ,0(W
[]⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰
f 3f
3f 5
f t 0224
2
t 0
2f c t t 6
1t 61t 201dt 1t 2
1t 21t 41dt 1t 2101101010t 211)t ,0(W f f
（3）判别)t ,0(Wc f 是否为非奇异
det 6
f 6f 6f f t 451t 361t 201)t ,0(Wc =-=
当0t 451)t ,0(Wc det ,0t 6
f f f >=>
所以系统在[0,t f ]上是能控的
2）【定理】（充分条件）设系统的状态方程为
)t (U )t (B )t (X )t (A )t (X
+= A(t),B(t)的元对时间t 分别是n －2和n －1次连续可微的。
记 1
n ,....,2,1k )
t (M dt
d )t (M )t (A )t (M )
t (B )t (M 1
k 1k k 0-=+-==--
令 )]t (M )t (M )t (M [)t (Q 1n 10c -=
如果存在某个时刻0t f >，使得在时间区间[t 0,t f ]上 如有
n )t (rankQ c =
则该系统在[t 0,t f ]上是状态完全能控的。 证明：略
例：（上例）试判断下列系统的能控性
u 10x x 00t 0x x
2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
解：
t
)t (Q det 01t 0)]t (M )t (M [)t (Q 0t 1000t 0)t (M )t (M )t (A )t (M 10B )t (M c 10c 0
010=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡==
只要t ≠0 rankQ c (t)=n=2
所以系统在时间区间[0,t f ]上是能控的 二、能观性判别
1、有关线性系统能观性的几点讨论 1）不能观测状态的数学表达式 ]t ,t [t 0)t (X )t ,t ()t (C f 000∈≡φ （4.3.9）
2) 非奇异变换不改变系统的能观性
3）如果0X 是不能观状态，则0X α也是不能观状态，α是任意非零实数。
4）如果01X 和02X 是不能观状态，则0201X X +也是不能观状态。
5）由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的不能观状态构成状态空间中的一个子空间，此子空间称为系统的不能观子空间，记为o X 。 例：