平面向量的正交分解

(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的 条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、 e2唯一确定的数量。
向量夹角
b
B
a
b

思考：
O
aA
已知∠AOB是两个非零向量a，b的夹角
2.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示
1.学会利用平面向量的正交分解解题 2.学会利用坐标表示平面向量
复习
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
复习
a= λ1 e1+ λ2 e2
（1）∠AOB的取值范围什么？
（2）若a，b同向，则∠AOB=？
（3）若a，b反向，则∠AOB=？
向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b 垂直，记作a⊥b.
思考： 互相垂直的两个向量能否作为平 面内所有向量的一组基底？
Hale Waihona Puke Baidu
b
a
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂
直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
y yj a
分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底.
任作一个向量a,
j
由平面向量基本定理知,有且
O i xi x 只有一对实数x、 y, 使得
a= x i+y j
把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标， y叫做a在y轴上的坐标
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
F1
F2
G
正交分解
练习:如图，向量i、j是两个互相垂直的 单位向量， |a|=4，向量a与i的夹角是30°， 用向量i、j为基底，表示向量a
a 2 3i 2j
B
P
a
j
Oi
A
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
a = ( x, y )
y yj a j O i xi x
y
yj yj
a
j O i xi
向量a、b有什么关系? a＝b
b 能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi x
相等的向量坐标相同
y
a
y
A(x,y)
j
Oi x
x
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
r
a
o
x
y
B(1, 2.)
r b
ox
例.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
r rr
y
b 2i 3 j r
5
(2,3)
b
4
3
B
uuur AB

r 2i

r 3j
r
a (2,3)
rr
r-4 -3 -2
c 2i 3 j
r
(2, 3)
A、x=1,y=3
B、x=3,y=1
C、x=1,y=-3
D、x=5,y=-1
小结 平面向量的正交分解
平面向量的坐标表示
c
2
1r
-1 O -1
jr i
1
-2
A
2 34
x
ur d
ur r
r
d 2i 3 j
(2, 3)
随堂练习
r
rr r
1、a=4,6,且a=2b,那么b的坐标是 B
A、(3,2)r B、(2,3) C、r (-3,-2) D、(-2,-3)
2、若向量a=x-2,3与向量b=1,y+2相等，那么 B
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； 反过来，点A的坐标（x,y)也就是 向量OA的坐标。
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
r
r
(1)a (1, 2) (2)b (1, 2)
解：
.y A(1, 2)