多项式除以多项式ppt课件
多项式除以多项式
多项式除以多项式多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式通常以垂直形式计算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用除数的第一项去掉除数的第一项，得到商的第一项（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）将减少的差值作为一个新的除数，然后按照上述方法继续计算，直到余数为零或余数小于除数。
除数=除数×商+余数如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1计算(x?9x?20)?(x?4)规范解法2.∴（x2）?9x?20)?(x?4)?x?5.解算步骤说明：（1）将除法公式x（2）除以除法公式X22？9x？20和x组？按照字母的降序排列22?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．（3）商和除法的第一项x？乘以4得到x？4X，从x222开始用X（4）写？9x？20岁以下22?9x?20减去x?4x，得差5x?20，写在下面，就是被除式去掉x?4x后的一部分．（5） 5倍？将20的第一项5x除以除法的第一项x得到5x？十、5.这是商的第二项，以代数和的形式写在第一项x之后（6）以商式的第二项5与除式x?4相乘，得5x?20，写在上述的差5x?20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，(x542?9x?20)?(x?4)?x?5.22案例2计算（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）。
规范性解决方案-1-五千四百二十二∴(6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)32? 3倍？3倍？6x？1.你是9x吗？2．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）32?3x?3x?6x?1???????????余9x?2．什么是综合部？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．例如：计算（2x？3x？4）？（x？3）。
多项式除以多项式
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来． （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法． 但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-． 综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式除以多项式课件
强调了多项式除以多 项式在实际应用中的 重要性和应用场景。
通过实例演示了多项 式除以多项式的计算 方法和步骤。
下章预告
将介绍分式的概念和性质，包括分式的约分、通分、加减运算等。
通过实例演示分式的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握分式的运算。
强调分式在实际应用中的重要性和应用场景，进一步拓展读者的数学思维和计算能 力。
让学生理解在多项式除法中，系数和变量 如何变化，以及如何处理复杂的情况。
综合练习
多项式除法的实际应用
通过一些实际问题，让学生理解多项 式除法的实际应用，并能够解决一些 实际问题。
多项式除法的变种
让学生了解并掌握一些多项式除法的 变种，如带余除法等。
06
总结与展望
本章总结
介绍了多项式除以多 项式的概念和基本原 理。
多项式除以多项式课件
目录
• 引言 • 多项式除法的基本概念 • 多项式除法的基本步骤 • 多项式除法的应用 • 练习与巩固 • 总结与展望
01
引言
课程背景
数学是研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，具有 基础性和通用性。多项式是数学中的基本概念，多项式除以 多项式是数学中重要的运算技能之一。
培养学生的数学思维和解决问 题的能力。
02
多项式除法的基本概念
多项式的定义
总结词
多项式是由变量、数字和加、减、乘、除等基本运算组成的数学表达式。
详细描述
多项式是数学中一个基本的概念，它是由一个或多个单项式通过加法或减法连接而成的数学表达式。每个单项式 由一个或多个变量、数字和运算符组成。例如，$x^2 + 3x - 4$ 是一个多项式，因为它由三个单项式 $x^2$、 $3x$ 和 $-4$ 通过加法和减法连接而成。
14.1.4.6多项式除以多项式讲解
(15 x 2 y 10 x y 2 ) 5 x y;
(8a b 4ab ) 4ab;
2 3 3
( 4 c d c d ) ( 2 c d ).
1 2 -2- cd 2
解：
单项式相除
小结
1.系数相除； 2.同底数幂相除； 3.只在被除式里的幂不变.
多项式除以单项式
11
3 8 12 9 3 =- a b c ¸ (-8a 4 b5c) 27 1 12-4 9-5 3-1 = a b c 27 1 8 4 2 = abc. 27
(3)(5ab2c)4÷(-5ab2c2)2. (4)36x4y3z÷(5x2y)2.
(5ab2c)4÷(-5ab2c2)2 【解析】 =(54a4b8c4)÷(52a2b4c4)
3 2
4a 2a 1.
2
（2） (36x
4 3
y 24x y 3x y ) (6x y).
3 2
2
2 2
2
【解析】原式
1 6x y 4xy y. 2
2
【跟踪训练】
1.计算
(1)(2.2×1011)÷(4.4×109).
(3)(5ab2c)4÷(-5a-b 的值。 a b 2a-b 2.已知x =2，x =3，求x 的值。
同底数幂的除法可以逆用：
m-n m n a =a ÷a
多项式除以单项式，先把这个多项式的每 一项除以这个单项式，再把所得的商相加
表达式（a+b+c）÷m=a ÷ m +b ÷ m+c ÷ m。
先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加.
类比的数学思想
【解析】 36x 4 y3z (5x 2 y) 2 =36x 4 y3z 25x 4 y 2 36 = yz. 25
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：(1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ,得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+,写在2092++x x 的下面．(4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面,就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘,得205+x ,写在上述的差205+x 的下面．(7)相减得差0，表示恰好能除尽．（8)写出运算结果,.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出;②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式,而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行,和x 无关，于是算式（1)就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2)就简化成了算式(30的形式：将算式(3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数,末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式,而一次项系数不是1时,需要把它变成1以后才能用综合除法．．例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2,化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2,被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式;余数没有变． ∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用723-+x x 除以21+x ,得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ,余数仍为437-．。
多项式除以多项式
多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式除以多项式
多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+多项式除法示例余式2例[编辑]编辑计算把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结果写在横线之上(x3÷ x = x2)...将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x2·(x−3) = x3−3x2)...从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。
((x3−12x2)−(x3−3x2) = −12x2+3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
..把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式）..重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
.横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。
3整除编辑如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除4应用编辑多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用Rational root theorem（英语：）得到的。
如果一个次多项式的一个根已知，那么可以使用多项式长除法因式分解为的形式，其中是一个次的多项式。
简单来说，就是长除法的商，而又知是的一个根、余式必定为零。
多项式除以多项式课件
多项式的加法和减法
1
减法
2
将减数的各项取反，然后进行加法运Βιβλιοθήκη 算。3加法
将同类项相加，即将相同次数的单项 式的系数相加。
例子
例如，(3x^2 - 2xy + 5) + (2xy - 4) = 3x^2 + 5 - 4。
多项式的乘法
将每个单项式的各项相乘，然后进行加法运算。
步骤
每个单项式的各项相乘，然后 将结果相加。
展开
将乘法进行展开，保证将每个 单项式和其他单项式相乘。
例子
例如，(x + y)(x - y) = x^2 - xy + xy - y^2 = x^2 - y^2。
一元多项式的除法
定义
一元多项式除法是将一个多 项式除以另一个多项式得到 商和余数。
长除法
使用长除法的步骤来进行一 元多项式的除法运算。
用长除法解决多项式除法
使用长除法来解决一元多项式的除法运算，将被除式逐步除以除式并求商和 余数。
多项式除法的基本性质
1
唯一性
同一个被除式和除式，得到的商和余数是唯一的。
2
次数
余数的次数比除式的次数低。
3
例子
例如，(3x^2 - 2x + 5) ÷ (x - 1) = 3x + 1 + 6/(x - 1)。
例子
例如，(2x^2 + 3x - 5) ÷ (x + 2) = 2x - 1 + (-7)/(x + 2)。
什么是多项式除法？
1 含义
多项式除法是一种将一个多项式整除另一个多项式并求商和余数的运算。
2 应用
多项式除法在数学中广泛应用，例如解方程和化简表达式等。
四年级数学精品课件《多项式的除法-多项式的除法》
解决本题应先把两个多项式相除表示成分式，然 后通过分解因式、约分等把分式化简，用整式或最简 分式表示所求的商．
（来自《点拨》）
知2－练
1 计算：
(1) (3ab2－2a2b)÷(2a－3b).
(2) (4a3b－12a2b2+9ab3)÷(4a2－9b2).
2
(m2－4mn＋4n2)÷(m2－4n2)＝
知识点 1 利用分式化简求值
例1 已知x－3y=0，求分式
x2 3 xy y2 x2 y2
的值.
知1－讲
解：由已知x－3y=0，得x=3y.
x2 3 xy y2 (3 y)2 3 3 y y y2
x2 y2
(3 y)2 y2
9y2 9y2 9y2 y2
y2
y2 10 y2
（来自《点拨》）
例3 计算：
(1) (4x2－9)÷(3－2x).
(2) (9a2+6ab+b2)÷(9a2b－b3).
解：(1) (4x2－9)÷(3－2x)
4x2 9 (2 x 3)(2 x 3)
3 2x
3 2x
=－(2x+3)
= －2x－3.
知2－讲
（来自《教材》）
知2－讲
(2) (9a2+6ab+b2)÷(9a2b－b3)
（来自《点拨》）
知2－讲
解：(1)(x 2－64)
(8－x)＝
x 2－64 8－x
(x
8)(x (x 8)
8)
(x 8) 8 x.
(2)[(m－n)2－2(n－m
)]
(m－n)＝
(m－n)2－2(n－m m－n
)
(m－n)(m－n)+2
多项式除以多项式ppt课件
课后练习: 利用竖式除法进行多项式求值
(1).已知x3 x2 x 1,求x4 1的值
(2).已知x2 x 1 0,求2009 x3 2008 x2 2010 x 2011
17
当余式的次数小于除式的 次数时，我們应该停止运 算。
商式为 3x + 2
余式为 1
7
练一练:
例写1出.求被除(3x式2、+ 除4x式– 9、+商2式x3、) 余(–式1之+ 间2x的) 的关商系式式和。余
式。被除式=除式 商式+余式
x2 + 2x + 3
2x 1 2x3 3x2 4x 9
(3x2 15x) 3x 商式 = x + 5
3x2 3x
x +5
15x 3x
3x 3x2 15x
3x2
除式 = 3x
15x
15x
被除式 = 3x2 + 15x
余式 = 0
0
3
探究新知:两个多项式相除
如果用多项式除以多项式，我们 使用逐项相除的方法,容易实现 计算吗?
不容易，可以试试竖式除法。 我们以 (6x2 + 7x + 3) (2x + 1) 作为例子。
2x3 – x2
4x2 + 4x 4x2 – 2x
6x – 9 6x – 3
–6
商式为 x2 + 2x + 3 余式为–6
还可以写作 : 3x 2 4x 9 2x3 (2x 1)( x2 2x 3) 6
8
变式探究
().( x3 1) (x2 x 1)
(B).( x4 x3 x2 2x 6) (x2 2)
多项式除以多项式法则与方法
多项式除以多项式法则与方法
多项式除以多项式的基本法则是使用长除法或者分子除法。
首先，将被除数和除数按照次数从高到低排列。
然后，将被除数的最高次项与除数的最高次项相除得到商。
将此商乘以除数，得到一个中间结果。
将这个中间结果与被除数相减，得到一个新的多项式。
将这个新的多项式再与除数相除，得到一个新的商。
将此商乘以除数，得到另一个中间结果。
将这个中间结果再与被除数相减，得到一个更小的余数或者为零，这个过程便是长除法。
另一种方法是使用分子除法。
首先，将被除数和除数都写成标准形式，然后将除数前面的系数对被除数每一项进行乘法。
将相乘的结果写在被除数的上方，然后进行相减。
重复这个过程，直至被除数的次数小于除数，得到最终的商和余数。
无论是长除法还是分子除法，最终的结果都是得到商和余数。
这两种方法可以帮助我们方便地将多项式除以多项式，解决多项式的除法运算问题。
多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式摘要：一、多项式除以多项式的基本原理二、多项式除以多项式的具体步骤1.提取公因式2.利用长除法进行除法运算3.整理结果三、实例演示四、注意事项五、总结正文：多项式除以多项式是数学中常见的运算，它在代数、几何等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍多项式除以多项式的基本原理、具体步骤以及注意事项，帮助读者更好地理解和掌握这一运算方法。
一、多项式除以多项式的基本原理多项式除以多项式，实际上就是将一个多项式分解为另一个多项式与一个常数的乘积。
在这个过程中，我们需要找到一个合适的方法，将一个多项式的每一项都与另一个多项式的对应项相除，从而得到商和余数。
二、多项式除以多项式的具体步骤1.提取公因式：首先，我们需要找到两个多项式中的公因式，将其提取出来。
这有助于简化后续的计算过程。
2.利用长除法进行除法运算：将第一个多项式的每一项除以第二个多项式的每一项，得到商和余数。
将商再作为新的多项式，与第二个多项式进行除法运算，直到无法继续除为止。
3.整理结果：将得到的商多项式中的各项按照次数从高到低排列，并将余数加到最低次数的项上，得到最终的结果。
三、实例演示为了更好地理解多项式除以多项式的过程，我们以一个简单的实例进行演示：假设我们有一个多项式：f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 1，另一个多项式为：g(x) = x^2 - 2x + 1。
首先，提取公因式：我们可以发现，f(x)中的各项都可以被x^2 - 2x + 1整除。
然后，进行长除法运算：f(x) = (x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x - 1)我们可以得到：2x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = (x^2 - 2x + 1) * 2x + 3x - 12x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 2x^3 - 4x^2 + 2x + 3x - 12x^3 - 4x^2 + 5x - 1 = 0接下来，我们继续进行除法运算，直到无法继续除为止。
关于多项式除以多项式
关于多项式除以多项式两个多项式相除,可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列,然后再仿照两个多位数相除得计算方法,用竖式进行计算.例如,我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1),仿照672÷21,计算如下:∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2.由上面得计算可知计算步骤大体就是,先用除式得第一项2x去除被除式得第一项6x2,得商式得第一项3x,然后用3x去乘除式,把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积,得4x＋2,再把4x＋2当作新得被除式,按照上面得方法继续计算,直到得出余式为止.上式得计算结果,余式等于0.如果一个多项式除以另一个多项式得余式为0,我们就说这个多项式能被另一个多项式整除,这时也可说除式能整除被除式.整式除法也有不能整除得情况.按照某个字母降幂排列得整式除法,当余式不就是0而次数低于除式得次数时,除法计算就不能继续进行了,这说明除式不能整除被除式.例如,计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2).解:所以商式为2x＋1,余式为2x＋8.与数得带余除法类似,上面得计算结果有下面得关系:9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8).这里应当注意,按照x得降幂排列,如果被除式有缺项,一定要留出空位.当然,也可用补0得办法补足缺项.当除式、被除式都按降幂排列时,各项得位置就可以表示所含字母得次数.因此,计算时,只须写出系数,算出结果后,再把字母与相应得指数补上去.这种方法叫做分离系数法.按照分离系数法,上面例题得计算过程如下:于就是得到商式=2x＋1,余式=2x＋8.对于多项式得乘法也可用分离系数法进行计算,例如,(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下:所以,(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32.如果您有兴趣,作为练习,可用上面得方法计算下面各题.1.(6x3＋x2－1)÷(2x－1).2.(2x3＋3x－4)÷(x－3).3.(x3－2x2－5)(x－2x2－1).4.(x＋y)(x2－xy＋y2).【本讲教育信息】一、教学内容:单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二、重点、难点整式得除法与我们以前所学得整式得加法、减法、乘法有很多不同,特别就是多项式除以多项式,虽然就是选学内容,但多项式除以多项式在解决代数式求值,及复杂得因式分解都有很大得用处。
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9 x2 3x 5) ( x2 4 x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7 x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.( x4 3x3 2 x2 1) ( x2 1) 5.(8x4 6 x3 13x2 4) (2 x2 x 2) 6.(10 xy 2 7 x2 y 2 x3 10 y3 ) ( x 2 y)
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
例 1 ： (5x22x3 1 )(12x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 ： 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式
多项式除以多项式——长除法
被除式=除式×商式+余式
注意：1.余算
例 1 ： (5x22x3 1 )(12x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 ： 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(a3b34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
当余式不是零而次数低于除式的次数时除法演算就不能继续进行这说明除式不能整除被除式101327验算多项式除以多项式的法则如下
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式
两个多项式相除，可以先把这两个多项式都 按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多
位数相除的演算方法，用竖式进行演算
如 ： (10xx246x3)(2x1)
被除式=除式×商式+余式
验算
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动脑筋
• 若多项式 x4 x3 ax2 bx c 能被 x3 3x2 3x 1 整除，试求a、b、c的值
6
拓展阅读
• 整式的除法，在只有一个字母时，也常用 竖式进行，其中的字母省去（要注意按降 幂排列，缺项补零）.这称为“分离系数法”
4. 把所得余式当做新的被除式，再按上面的
方法继续演算直到余式为0或者余式的次
数低于除式的次数为止.
4
例题讲解
例题2： 被除式=除式×商式+余式
2x3 3x2 4x 9 2x 1 3x4 5x3 x2 2 x2 3 练习2： x3 6x2 11x 6 x 2
7
例如：3x4 5x3 x2 2 x2 3
3 -5 -8
103 3510 2
309
580
5 0 15
8 15 2
8 0 24
15 26
8
试一试
用分离系数法完成：
5x3 7x 1 2x 1 3x3 4x2 5x 1 x2 3x 1
9
谢谢！
10
注：降幂排列，缺项补0，同次项对齐
练习1： 5x2 2x3 1 1 2x 3
多项式除以多项式的法则
1. 把被除式、除式按某一字母的降幂排列 （缺项用0补足）
2. 用除式的第一项除被除式的第一项，得商 式的第一项
3. 用商式的第一项去乘除式，把积写在被除 式下面（同类项对齐），从被除式减去这 个积，得第一余式
多项式除以多项式
长除法
1
想一想
x 12x 1 _2_x_2___3_x__1_
那么 2x2 3x 1 x 1 等于多少呢？
你是用什么办法解答的？因式分解
2x2 3x 1 x 1
x 12x 1 x 1
2x 1
2
新课引入
多项式除以多项式——长除法
例题1： 2x2 3x 1 x 1 你会计算 3x3 7x2 4 x 1 吗？