§2.3.2_双曲线的简单几何性质(1)

x2 y2 a2 b2 1(a0,b0)
y2 x2 a2 b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1（- a，0），A2（a，0）
离心率 渐近线
e c (e 1) a
y b x a
-b B1
双曲线上的点与这两 直线有什么位置关系呢?
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
它与y b a
x的位置的变化:趋势A1
o
慢慢靠近
B1
ybx a
A2
a
x
y b x a
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y b a
x
怎样记忆？
ybx y a
y bx a
x2 a2
y2 b2
=1
x2 y2 a2 b2 =0
b
b B2
y x
a
A1
A2
o a
x
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
的渐近线为 y x
B1
x2 4
y2 3
1的渐进线为y：
3x 2
y x x2 y2 1的渐进线为：
22
等轴双曲线 y x
y ybx
2.椭圆的图像与性质:
标 方
准 程
x2 a2
y2 b2
1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性 关于X,Y轴,
原点对称
顶点 (±a,0),(0,±b)
焦 点 (±c,0)
A1 F1
长轴、
短轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e c a
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2
by22
1(a0,b0)
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
a
4
渐近线方程: y 4 x
3
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0 )
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
离心率 渐近线
e c (e 1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ya x b
▲思考：
①双曲线
y2 a2
x2 b2
1 的渐近线方程是什么？
a
y x
b
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？
x2 a2
y2 b2
=1
y2 a2
x2 b2
1
(3).双曲线的画法：
a
O
x
yb x a
5、离心率
(1)焦距与实轴长的比c叫做
ybx a
a
双 ⑵曲 e线 的的 范离 围心 :率 ,记 c>作 a>e.0e >1
⑶ e 的含义:
A1
同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.
y b x a
y
B2
b
o
a
A2
x
B1
tan b
a
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e
x2 y2 a2 b2 =0
y2 a2
x2 b2
0
①定顶点 ③画渐近线
ybx a
ya x b
y
B2
②画矩形 ④画双曲线
A1 O
A2
x
B1
例1 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程 y 2 x 2 1 16 9
可得:实半轴长a=4
顶A 点 1 ( a ,0 )、 是 A 2 (a ,0 )
（2）线段 A 1 A 2叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长； 线段B 1 B 2叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长 y
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（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线，即a=b
x2 y2 a2
x2y2m (m0)
b B2 A1 -a o a A2 x
e 74 5
y5x 7
结论：
1 ) 双 曲 线 a x 2 2 b y 2 2 的 渐 近 线 方 程 是 a x 2 2 b y 2 2 0 ,即 a x b y 0 . 2 ) 渐 近 线 方 程 为 a x b y 0 的 双 曲 线 方 程 是 a x 2 2 b y 2 2 .( 0 )
的简单几何性质
1、范围
x2 1,即x2 a2 a2
x a, x a
(-x,y)
y (x,y)
-a o a
x
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
2b
4
18
范围
|x|≥ 4 2 |x|≥3
顶点
4 2,0
(±3,0)
焦点
6,0
31,0 0
离心率 渐近线
e 3 2 2
y
2 x
4
e 10
y=±3x
x 2 y 2 4
4 4
|y|≥2 (0,±2)
0,2 2
e 2 yx
x 2 y 2 1 49 25
10 14
|y|≥5
(0,±5)
0, 74
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ya x b
两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？
x2 a2
y2 b2
=1
y2 a2
x2 b2
1
x2 y2 a2 b2 =0
y2 a2
x2 b2
0
ybx a
ya x b
巩固练习：填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32 程
2a
82
9x 2 y 2 81 6
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
x2 y2 a2 b2 1(a0,b0)
y2 x2 a2 b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1（- a，0），A2（a，0）
c
,叫做双曲线的离心率.
⑵ e 的范围: c>a>0 e >1 a
⑶ e 的含义: 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.
另外 t a n b = b c2a2 (c)21 e21
aa a
a
∴当 e (1, ) 时, b (0, ) ,且 e 增大, b 也增大.
a
a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
总结：
1、“共渐近线”的双曲线的应
与x2 a2
by22用1共渐近线的双曲线系
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
(4)等轴双曲线的离心率e= ?2 , 反过来也成立.
⑸在 a 、b 、c 、e 四个参数中,知二求二. ∵ e c , a2 b2 c2 a
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0 )
..
y