第七章 立体几何

[例1]
如图所示，已知三棱锥的底面是直角
三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱
长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是(
)
[解析] 结合三视图的画法规则可知B正确． [答案] B
2．由三视图还原几何体
此类问题主要考查对空间几何体的认识及空间想象能
力．由几何体的三视图还原几何体，一般如下处理： 首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利 用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整 实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状．
与圆柱、圆锥、球有关，结合正视图是一个直 角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个 圆锥，将剖面放置在桌面上，如图，由条件知， 半圆锥的母线长为 2a， 底面半径为 a， 故半圆锥的高为 2a2－a2
1 1 3 3 2 ×πa × 3a＝ ＝ 3a，几何体的体积 V＝2× 3 6 πa .
3．割补法：把不能直接计算其体积的空间几何体进行适 当的分割或补形，转化为可以计算体积的空间几何体，通过 这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积．
[例6]
如图所示，若正方体的棱长为，
则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面 体的体积为 2 A. 6 ( 2 B. 3 )
3 C. 3
2 D.3
俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中 的宽就是空间几何体的最大宽度． [例3] 如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长
为2a的直角三角形，侧视图是半径为a的半圆，则该几何体的
体积是
(
)
3 3 A. 6 πa 3 3 C. 4 πa
B. 3πa3 D．2 3πa3
[解析]
由侧视图为半圆可知，该几何体
转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过
多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出截面图．
[例 1]
四棱锥 S－ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，
点 S， B， D 都在同一个球面上， A， C， 则该球的体积为________．
[解析]
如图所示，根据对称性，只要在
四棱锥的高线 SE 上找到一个点 O 使得 OA＝ OS，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上． 在 Rt△SEA 中，SA＝ 2，AE＝1，故 SE＝1.设球的半径 为 r，则 OA＝OS＝r，OE＝1－r.在 Rt△OAE 中，r2＝(1－r)2 4π ＋1，解得 r＝1，即点 O 为球心，故这个球的体积是 3 . 4π [答案] 3
[解析]
如图所示，平面 ABCD 把该多面体分割成两个体
积相等的正四棱锥． 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正 四棱锥，该正四棱锥的高是正方体边长的一半，底面面积是正
1 1 1 2 × 2× 2× × 2＝ 方体一个面面积的一半，V＝2×3× 2 3. 2
[答案] B
立体几何中的几个重要问题
一、空间几何体的三视图及其表面积、体积 柱、锥、台、球及其简单组合体，三视图，直观图等内容是 立体几何的基础，是研究空间问题的基本载体，也是高考对立体 几何考查的一个重要方面，其中几何体的结构特征和三视图是高 考的热点． (一)高考对三视图的三个考查角度 1．由几何体画三视图或识别简单几何体的三视图 解答此类问题的关键是：一要掌握各种基本几何体的三视图， 注意简单组合体的构成；二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相 等”的法则．
中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥 P－GAC体积之比为 A．1∶1 ( B．1∶2 )
C．2∶1
D．3∶2
[解析] 根据三棱锥的特点，可以采用等体积转化的方法解
决． 法一：如图所示，由于点G为PB的中点，故点P，B到平面 GAC的距离相等，故三棱锥P－GAC的体积等于三棱锥B－AGC的 体积，根据三棱锥的特点，所要解决的两个三棱锥的体积之比就等 于三棱锥G－ACD与三棱锥G－ABC的体积之比，由于这两个三棱 锥的高相等，体积之比等于其底面积之比，即△ACD与△ABC的面 积之比，这个面积之比是2∶1. 法二：如图所示，连接BD交AC于H，则点D，B到平面GAC的 距离之比等于DH∶BH，因为△AHD∽△CHB，故DH∶BH＝ AD∶BC＝2∶1，三棱锥D－GAC与三棱锥B－GAC底面积相等， 故其体积之比等于其高的比，即所求比值是2∶1. [答案] C
依题意知正方体的体对角线长等于球的直径，设球的半
4 则 4 3π＝3πR3， 所以 R＝ 3，于是正方体的体对角线长为 2 3. 设正方体的棱长为 a， 则有 2 3＝ 3a， 于是 a＝2，因此正方体的表面积为 6a2＝24.
[答案] 24
2．转化法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的
底面和高，从而使得体积计算更容易，或是可以求出一些体积 比等． [例5] 如图所示，在正六棱锥P－ABCDEF
[例2]
三视图如图所示的几何体是(
Байду номын сангаас
)
A．三棱锥
B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台 [解析] 由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱
垂直于底面，底面为一直角梯形． [答案] B
3．借助于三视图研究几何体的表面积、体积 解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何 量的关系
其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、
二、破解高考中立体几何的三个难点问题 破解难点一：与球有关的组合体问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时 要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量
关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各
个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方 体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋
破解难点二：平面图形翻折问题 将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间
[答案] A
(二)求体积的几种方法
空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一，求空
间几何体的体积的常用方法主要有：公式法、转化法、割补 法． 1．公式法：直接根据相关的体积公式计算．
[例 4]
一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若
该球的体积为 4 3π，则该正方体的表面积为________．
[解析] 径为 R，