三角函数的性质求解参数问题

应用三角函数的性质求解参数问题

知识拓展 1．对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1

4

个周期．

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性

若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω≠0),则

(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π

2＋k π(k ∈Z)；

(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．

3．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移φ

ω个单位长度而非φ个单位长度．

4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π

2,k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝

k π,k ∈Z 确定其横坐标． 题型分析

(一) 与函数最值相关的问题

【例1】已知函数2()2cos 2

f x x x m =

--． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；

（2）若53,244x ππ⎡⎤

∈⎢

⎥⎣

⎦时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值． 【分析】（1）()f x 化为1sin(2)62x m π

-

--,可得周期22

T π

π==,由2222

6

2k x k π

π

π

ππ-

+≤-

≤

+可得单调递增区间；

（2）因为53,244x ππ⎡⎤

∈⎢⎥⎣

⎦,所以42,643x π

ππ⎡⎤

-

∈⎢⎥⎣⎦,进而()f x 的最大值为1102m --=,解得12

m =.

（2）因为53,244x ππ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

,所以42,643x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,则当262x ππ-=,3x π=时,函数取得最大

值0, 即1102m --

=,解得1

2

m =． 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值.

【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程

22sin sin 0x x m +-=在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围_____．

【答案】()11,38⎧⎫

⋃-⎨⎬⎩⎭

【解析】[]2

2

11

22,sin 1,148

m t t t t x ⎛⎫=+=+-=∈- ⎪⎝⎭

所以当(]11,38

m m =-∈或时， y m = 与2

2y t t =+ 只有一个交点，

当3m =时1t =，方程2

2sin sin 0x x m +-=只有一解

所以要使方程22sin sin 0x x m +-=在[

)0,2π上有且只有两解，实数m 的取值范围

()11,38⎧⎫

⋃-

⎨⎬⎩⎭

(二) 根据函数单调性求参数取值范围

如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.

【例2】已知ω＞0,函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π

2，π上单调递减,则ω的取值范围是________． 【分析】根据y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫

π2，3π2上递减,列出关于ω的不等式组 【解析】 由π2＜x ＜π,ω＞0得,ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4,

又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π

2上递减,所以⎩⎨⎧

ωπ2＋π4≥π

2，ωπ＋π4≤3π

2，解得12≤ω≤5

4

.

【答案】⎣⎡⎦⎤

12，54

【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．

【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若函数sin y x ω=在区间

[]0,2π上单调递增，则实数ω的取值范围是________．

【答案】10,4

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

【解析】由题意得][0,0,2,22x ππωωωπ⎡⎤

>∈⊂-⎢⎥⎣

⎦ ，所以1

02024

πωπω<≤⇒<≤ 5．

(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围 【例3】已知函数2()[2sin()sin ]cos 3sin 3

f x x x x x π

=+

+-．

(1)若函数)(x f y =的图像关于直线(0)x a a =>对称,求a 的最小值; (2)若存在05[0,

],12

x π

∈使0()20mf x -=成立,求实数m 的取值范围. 【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为

)3

2sin(2)(π

+

=x x f ,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可；

(2)根据05[0,

],12

x π

∈的范围求出320π+x 的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f (x 0)的值

域,从而可求出＝000

21

()20()sin(2)

3

mf x m f x x π-=⇒==

+的取值范围． (2)000

21

()20()sin(2)3

mf x m f x x π-=⇒=

=+

0057[0,],212336x x ππππ

∈≤+≤

Q 01sin(2)123

x π

∴-≤+≤

故(,2][1,)m ∈-∞-⋃+∞．

【点评】对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断．

【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,所得的图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值是 【答案】

8

π