圆锥曲线定义的应用

高三复习备考后期提倡回归课本，抓住课本基本知识点，利用它解决有关数学问题，已是高考经常出现的题型。圆锥曲线的定义的应用在高考题每年必考。现将与圆锥曲线定义有关的题型总结如下：

一、利用定义求曲线方程

例1:[2008年湖北]如图，在以o为圆心，|ab|=4为直径的半圆adb中，od⊥ab，p是半圆弧上一点，∠pob=30°，曲线c是满足||ma|-|mb||为定值的动点m的轨迹，且曲线c过点p。

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线c的方程。

解析：以o为原点，ab、od所在直线为x轴，y轴建平面直角坐标系，则a（-2，0），b（2，0），d（0，2），p（，1）。

∵点p在曲线c上，∴||ma|-|mb||=|pa|-|pb|＜|ab|=4

∴由双曲线定义知：曲线c是a、b为焦点的双曲线

设双曲线方程为：-=1（a＞0,b＞0）

则由得∴曲线c的方程为

评注：此题主要考查双曲线的第一定义。

练习一：1、已知：双曲线过a（-2，4）和b（4，4），它的一个焦点为f（1，0），则它的另一个焦点轨迹方程是：_________。

2、动圆过定点(-4,0)与圆（x-4）2+y2=16相外切，则动圆的圆心的轨迹方程是：_________。

3、在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）

圆锥曲线定义的运用

圆锥曲线定义的运用》案例分析双鸭山31 中郭秀涛一、教学内容分析本课选自《全日制普通高级中学教科书（必修）?数学》（人教版）高二（上），第八章（圆锥曲线方程复习课）圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性, 它是无数次实践后的高度抽象. 恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁. 因此, 在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义, 熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略. 二、学生学习情况分析我所任教班级的学生是初中开始“课程改革”后的第一届毕业生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新课标”下的课程、教材，由于05 年高中“课改”还未全面推行，因此如今他们面对的高中教材还是旧教材。与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。三、设计思想由于这部分知识较为抽象, 难以理解. 如果离开感性认识, 容易使学生陷入困境,降低学习热情. 在教学时, 我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题, 进行点评, 强调“双主作用”的发挥. 借助多媒体动画, 引导学生主动发现问题、解决问题, 主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知, 提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性, 提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申, 精心设问, 引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助多媒体辅助教学, 激发学习数学的兴趣. 在民主、开放的课堂氛围中, 培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点与难点: 教学重点

圆锥曲线的定义及其应用

圆锥曲线的定义及其应用一、教学目标： 1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题； 2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力； 3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题．二、教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用．三、教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合．四、教学过程：（一）引入：问题1：平面内到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？ 121286PF PF F F +=>= ∴P 的轨迹是以12(3,0),(3,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22 1167 x y + = 问：（1）若到两定点距离之和为改为6，则点P 的轨迹是什么？（以12,F F 为端点的线段）（2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？（以12,F F 为焦点的双曲线的一支）（3）若改为到两定点距离之差为6，则P 点的轨迹是什么？（以12,F F 为端点的射线）（通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件）由学生总结椭圆和双曲线的定义问题2：已知定点F （1，0），定直线:1l x =-，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d =，则P 点的轨迹是什么？（F l ?，∴P 点的轨迹是以F （1，0）为焦点，以直线:1l x =-为准线的抛物线。）问：（1）若点F 改为（－1，0），则点P 的轨迹是什么？（2）当 PF d 为何值时，所求轨迹是椭圆？（3）当PF d 为何值时，所求轨迹是双曲线？ (通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，。

圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线定义的应用一、复习提问：（写成学案的形式由学生填写）先由学生讨论回答定义中应注意的几个问题及定义的作用教师总结：（1）注意将定义中的常数a 2与|F 1F 2|进行比较（2）注意双曲线定义中的绝对值对轨迹的影响（3）第一定义给出了圆锥曲线上的点与两焦点间距离的和（或差）的关系；第二定义是圆锥曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之间进行转化的依据一、思维点拨 1、涉及到圆锥曲线上的点与两焦点问题可考虑利用第一定义解决 2、涉及焦点、准线、离心率及圆锥曲线上的点中的三者，常用第二定义解决二、基础练习 1、已知21,F F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，A 、B 时过焦点的弦，则2ABF ?的周长为（）（A ） 2 a (B) 4 a (C) 8 a (D) 2 a + 2 b 2、已知两定点)0,5(1-F ，)0,5(2F ，动点P 满足-||1PF ,2||2a PF =当3=a 和 5=a 时，点P 的轨迹分别为（）（A ）两个双曲线 (B) 两条射线 (C) 双曲线的一支和一条射线 (D) 双曲线的两支

3、P 是双曲线136 642 2=-y x 上一点，21,F F 是它的两个焦点，且,17||1=PF 则=||2PF ____________ 4、椭圆116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到椭圆右准线的距离为_________，点P 到左右准线的距离比为_________。评注：（1）第3题学生往往忽视||1PF ≥a c -导致得出错误结论（2）第4题可利用第二定义将点P 到左右准线的距离比转化为到相应的两焦点的距离比三、典例解析例1、相距2000m 的两个哨所A 、B 听到远出传来的炮弹爆炸声。已知当时声速是330m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到的时间相差4s ，试判断爆炸点P 在什么样的曲线上，并求出曲线方程。思路分析：（1）什么原因导致在在A 哨所和在B 哨所听到爆炸声的时间不同？（2）应如何理解时间“相差”4s ？解答：（略）学生思考：如何改变条件轨迹变为双曲线的一支？评注：1、有关动点与两定点的距离和（或差）为定值的轨迹问题，应利用定义法求轨迹，并注意将定值与两定点间的距离进行比较 2、求轨迹的题目中若没有建系，则应建系设点，写出对应的轨迹方程，若轨迹为双曲线则更应注意绝对值对轨迹的影响练习1、在平面直角坐标系中，已知三角形ABC 中BC 边长为4，且三边AC 、 BC 、AB 长依次成等差数列，求顶点A 的轨迹方程。思考：若增加条件∣AC ∣>∣BC ∣>∣AB ∣顶点A 的轨迹方程会如何改变？练习2、已知定圆9)3(:,1)3(:222221=++=+-y x C y x C ，动圆C 与C 1、C 2 都相内切，求动圆圆心C 的轨迹方程。思考：若将条件改为与C 2相切，动圆圆心C 的轨迹方程回如何改变？

圆锥曲线的统一定义 (2)

§2.5圆锥曲线的统一定义教学目的： 1、知识与技能: 掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念 2.过程与方法类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的方程。 3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,探究能力，激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成教学难点：圆锥曲线方程的推导教学过程：一.情境设置复习回顾 1、抛物线的定义：探究与思考: 1≠d PF 呢 2、在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子：将其变形为: 你能解释这个式子的几何意义吗？二、知识建构例1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2 :=的距离的比是常数 c a (a>c>0),求 P 的轨迹. 变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2 := 的距离的比是常数 c a (c>a>0),求P 的轨迹. 222)(y c x a cx a +-=-a c x c a y c x =-+-22 2)(

圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点 F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上） (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是 (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率, 定点F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l 就是该圆锥曲线的准线. 思考 1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？ 2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？ 3、题中的|MF|=ed 的距离d 到底是到哪一条准线的距离？能否随意选一条？准线: 定义式: )0(12222>>=+b a b y a x ) 0,0(122 22>>=-b a b y a x

圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用(供参考)

圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用北京一零一中学数学组何效员圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下具有统一形式的基本保证。利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x =的距离之比为常数e 的点的轨迹讨论如下： ① 当1e =时，点的轨迹方程为1,(1)y x =≠，直线去掉一点； ② 当1e >时，点的轨迹方程为211(1),y e x -=±-- (1)x ≠，两条直线去掉一点； ③ 当1e <时，点的轨迹不存在。下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。例1 已知椭圆22 143 x y +=内一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使 ||2||MP MF +的值最小，求点M 的坐标。分析：若按常规思路，设点(,)M x y ，右焦点(1,0)F ，则2222 ||2||(1)(1)2(1)MP MF x y x y +=-+++-+，求其最小值无疑是困难，观察2||MF ，设M 点到右准线的距离d ， ||1 2 MF c e d a ===，2||MF d ∴=，这样 ||2||MP MF +就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P -的距离与到直线2 4a x c == M P F M x = 4 O y x

的距离和最小，当且仅当MP ⊥直线4x =时，点M 在点P 和直线4x =之间时取得，此时M 的坐标为26 ( ,1)3 -. 例2 已知椭圆方程为22 221(0)y x a b a b +=>>，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标，继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解。设所求双曲线方程为 22 2 21(,0)y x m n m n -=>，其中 22222c a b m n =-=+，设两曲线在第一象限内的交点111(,)P x y ，12,l l 分别为椭圆，双曲线的上准线，过1P 作11PQ l ⊥于Q ，1 2PR l ⊥于R ， 22 1211111||||||||||c a c m PF e PQ e PR y y a c m c === -=-， 2211()()a m m y a y c c ∴-=-，解得 1am y c =，代入椭圆方程22221y x a b +=，得 1bn x c = ，利用双曲线与椭圆的对称性知 22 1122 4422abmn m n S x y ab ab c c +==≤?=，等号当且仅当22m n c ==时取得，故所求双曲线方程为22 2 2 2 a b y x --=，相应的四个顶点坐标为22(,)b a ±±. 例3 已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，过点

高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用

高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用 1. 了解圆锥曲线的统一定义,能够运用定义求圆锥曲线的标准方程. 2. 理解圆锥曲线准线的意义,会利用准线进行相关的转化和计算. 1. 阅读：选修11第52～53页(理科阅读选修21相应内容)；阅读之前先独立书写出圆锥曲线的统一定义,并尝试根据圆锥曲线的统一定义推导出椭圆方程. 2. 解悟：①写出圆锥曲线的统一定义,写出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)和双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0,b>0)的准线方程；②椭圆、双曲线、抛物线各有几条准线？有什么特征？ 3. 在教材上的空白处完成选修11第54页练习第2题(理科完成选修21相应任务). 基础诊断 1. 点P 在椭圆x 225＋y 2 9＝1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 到左准线的距离为 25 3 . 解析：设椭圆的左,右焦点分别为F 1,F 2,由题意知PF 1＋PF 2＝2a ＝10,PF 1＝2PF 2,所以PF 1＝203,PF 2＝103.因为椭圆x 225＋y 29＝1的离心率为e ＝45,所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e ＝20 345＝253. 2. 已知椭圆x 225＋y 29＝1上一点的横坐标为2,则该点到左焦点的距离是 33 5 . 解析：椭圆x 225＋y 29＝1,则a ＝5,b ＝3,c ＝4,所以离心率e ＝c a ＝4 5.由焦半径公式可得该点到左焦点的距离为a ＋ex ＝5＋45×2＝33 5. 3. 焦点在x 轴上,且一个焦点到渐近线的距离为3,到相应准线的距离为9 5的双曲线的标准方程为 x 216－y 2 9＝1 . 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1,焦点为(－c,0),(c,0),渐近线方程为y ＝±b a x,准线方程为x ＝±a 2c ,由题意得焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋ b 2＝bc c ＝ b ＝3,所以b ＝3.因为焦点到相应准线的

圆锥曲线定义的运用(精)

圆锥曲线定义的运用一、教学内容分析本课选自《全日制普通高级中学教科书（必修）数学》(人教版)高二 (上)，第八章（圆锥曲线方程复习课）圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略. 二、学生学习情况分析我所任教班级的学生是初中开始“课程改革”后的第一届毕业生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新课标”下的课程、教材，由于05年高中“课改”还未全面推行，因此如今他们面对的高中教材还是旧教材。与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。三、设计思想由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程教学难点:

圆锥曲线定义及其应用

圆锥曲线定义及其应用授课人：杨海芳一、教学目标 1、知识目标：能掌握圆锥曲线的二种定义及熟练灵活地应用定义求轨迹方程，距离，最值等问题。 2、能力目标：能够准确地运用圆锥曲线的定义来解决实际问题，培养学生应用意识，提高分析，解决问题的能力。二.、难点圆锥曲线定义的灵活应用三、教具多媒体教学课件四、教学过程第一环节：经典回顾圆锥曲线的定义：第一定义。第二定义。第二环节：定义的应用 1.距离问题例1、椭圆上一点P 到右焦点F2的距离为7，求P 到左焦点的距离思考：变式1:求点P 到左准线的距离? 变式2:求点P 到右准线的距离? 2.坐标问题例2．求抛物线y2=12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标由例2请大家在椭圆或双曲线上设计一道题目？？？注意：1、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义来解决; 116252 2=+y x y F2 P X O F1 L1 L2 P2 P1 · · F M l N x o y

2、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用统一定义解决问题. 第三环节：探究引申 1.轨迹问题例3、已知动圆A 和圆B ：(x+3)2+y2=81内切，并和圆C ：(x-3)2+y2=1外切，求动圆圆心A 的轨迹方程。分析：圆内外切时圆心与切点有何关系？变式1：求三角形ABC 面积的最大值； 2.最值问题变式2已知椭圆中B 、C 分别为其左、右焦点和点M (2,2) ，试在椭圆上找一点A ,使：（1）取得最小值; 点评： 1、在求轨迹方程时先利用定义判断曲线形状,可避免繁琐的计算; 2、一般，设A 为曲线含焦点F 的区域内一点在曲线上求一点P ，使|PF|+1/e|PA| 的值最小，都可以过点A 作与焦点F 相应准线的垂线，则垂线段与曲线的交点即为所求之点。四、小结反思： 1、本节的重点是掌握圆锥曲线的定义在解题中的应用，要注意两个定义的区别和联系。 2、利用圆锥曲线的定义解题时，要注意曲线之间的共性和个性 3、利用圆锥曲线的定义解题时，要用数形结合、化归思想，以得到解题的最佳途径 4、有些最值问题要灵活地利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面几何中的直线段最短来解决。 y B C O x A AB AM 35+1162522=+y x 变式3：已知椭圆中B 、C 分别为其左、右焦点；又点 M ，试在椭圆上找一点 A,使：取得最小值. 1162522=+y x )2,2(AC AM +

圆锥曲线的第三定义

圆锥曲线的第三定义及运用一、椭圆和双曲线的第三定义 1. 椭圆在椭圆()22 22C 10x y a b a b +=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2 2 2=1=PA PB b k k e a ?-- 证明：构造△PAB 的PA 边所对的中位线MO ，PA MO k k =，由点差法结论： 2 2 2=1=MO PB b k k e a ?--知此结论成立。 2. 双曲线在双曲线22 22C 1x y a b -=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、

B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2 2 2 =1=PA PB b k k e a ?- 证明：只需将椭圆中的2b 全部换成2b -就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。二、与角度有关的问题例题一：已知椭圆()22 22C 10x y a b a b +=：的离心率3 2 e = ，A 、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线22 178x y -=的一个交点，令PAB=APB=αβ∠∠，，则()cos =cos 2β αβ+ .

解答：令=PBx γ∠，由椭圆第三定义可知：21tan tan =1=4 e αγ?-- ()()()cos cos cos cos sin sin 1tan tan 3=== cos 2cos cos cos sin sin 1tan tan 5 γαβ γαγααγαβγαγαγααγ-++?=+++-? 点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）已知双曲线22C 2015x y -=：的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线右支一点，且 =4PAB APB ∠∠，求=PAB ∠ . 解答：令=02PAB πα?? ∠∈???? ，，=02PBA π β?? ∠∈???? ，，则=5βα，由双曲线的第三定义知： 2tan tan =tan tan5=1=1e αβαα??- 则：1tan = =tan 5=5=tan52212πππαααααα?? -?-? ???

圆锥曲线的定义及其应用(精)

圆锥曲线的定义及其应用教学目标： 1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题； 2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力； 3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题。教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用。教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合。教学过程：一.引入：问题1：到定点12(2,0),(2,0) F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？ 121284 PF PF F F +=>= ∴P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22 11614x y += 问：（1）若到两定点距离之和为改为4，则点P 的轨迹是什么？（以 12 ,F F 为端点的线段）（2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？（以 12 ,F F 为焦点的双曲线的一支）（3）若改为到两定点距离之差为4，则P 点的轨迹是什么？（以 12 ,F F 为端点的射线）（通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件）由学生总结椭圆和双曲线的定义（打出幻灯片）问题2：已知定点F （1，2），定直线:210l x y +-=，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d =，则P 点的轨迹是什么？（ F l ?，∴P 点的轨迹是以F （1，2）为焦点，以直线:210l x y +-=的抛物线。）问：（1）若点F 改为（3，－1），则点P 的轨迹是什么？（2）当PF d 为何值时，所求轨迹是椭圆？（3）当PF d 为何值时，所求轨迹是双曲线？ (通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，打出幻灯片。二.圆锥曲线定义的应用（一）利用圆锥曲线定义求轨迹例1.设动圆M 过定点A （－3，0），并且在定圆B ：22 (3)64x y -+=的内部与其内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程。

圆锥曲线的定义考点大全

圆锥曲线定义、标准方程及性质一．椭圆定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0>b a 取值范围：}{a x a x ≤≤-， }{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2，短轴长=2b 焦距：2c 准线方程：c a x 2 ±= 焦半径： )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=，2 12PF a PF -=，c a PF c a +≤≤-1等（注意：涉及焦半径时①用点P 坐标表示，②第一定义，第二定义。）注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A += =等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。（2）21F PF ?中经常利用余弦定理．．．．、三角形面．．．．积公式．．．将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角2 1PF F ∠结合起来，建立1 PF +2PF 、1 PF ? 2PF 等关系（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：?? ?θ =θ =sin cos b y a x ；（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其相应的性质。二、双曲线（一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。 Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。（二）图形：

圆锥曲线的第三定义

2015.1.23 JZX 圆锥曲线的第三定义及运用成都石室中学蒋宗汛一、椭圆和双曲线的第三定义 1. 椭圆 x y 2 2 在椭圆：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于 A 、B 的一 C 1 a b 0 a b 2 2 点，若k 、k 存在，则有： PA PB k k = e 1= 2 PA PB b 2 a 2 证明：构造△PAB 的 PA 边所对的中位线 MO ，k k ，由点差法结论： k k = e 1= 2 PA MO MO PB b 2 a 2 知此结论成立。 2. 双曲线 x y 2 2 在双曲线C ： 1中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于 A 、B 的一点，若k 、k 2 2 PA PB a b

存在，则有： k k =e 1= 2 PA PB b 2 a 2 证明：只需将椭圆中的b2 全部换成b2 就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。 1 / 11

2015.1.23 JZX 二、与角度有关的问题 x y 3 2 2 例题一：已知椭圆： a b 的离心率e ，A、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲C 1 0 a b 2 2 2 线x y 2 2 1的一个交点，令PAB=， APB=，则 7 8 cos = cos 2 . 解答：令PBx =，由椭圆第三定义可知： 2 1 tan tan =e 1= 4 cos cos cos cos sin sin 1 tan tan 3 = = = cos 2cos cos cos sin sin 1 tan tan 5 点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联

圆锥曲线第三定义及扩展

圆锥曲线第三定义在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则22 a b k k PB PA -=?。（反之亦成立）在双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则22 a b k k PB PA =?。（反之亦成立） ★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22b a k k PB PA -=?，双曲线满足22b a k k PB PA =? 例、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的长轴长为4，若点P 是椭圆上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为k1、k2。若k1?k2=4 1 -，则椭圆的方程为。变式： 1、设点A ，B 的坐标为（-2，0），（2，0），点P 是曲线C 上任意一点，且直线PA 与PB 的斜率之积为4 1 -，则曲线C 的方程为。 2、设点P 是曲线C 上任意一点，坐标原点是O ，曲线C 与X 轴相交于两点M （-2，0）， N （2，0），直线PM ，PN 的斜率之积为4 3 -，则OP 的最小值是。 3、已知ABC ?的两个顶点坐标分别是（-8，0），（8，0），且AC ，BC 所在直线斜率之积为m

（0≠m ），求顶点C 的轨迹。 4、P 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点，M ，N 分别是双曲线的左右顶点，直线PM ， PN 的斜率之积为5 1 ，则双曲线离心率为。 5、已知椭圆1232 2=+y x 的左右顶点分别是A 、B ，M 是椭圆上异于A 、B 的动点，求证：MB MA k k ?为定值。 6、平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；

《圆锥曲线定义的运用》教学设计

《圆锥曲线定义的运用》教学设计一、教学内容分析本课系理科选修课程中圆锥曲线方程复习课。圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略. 二、学生学习情况分析本班学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。三、设计思想由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,有意识地引导学生利用一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程教学难点: 巧用圆锥曲线定义解题六、教学过程设计【设计思路】由于这是一堂习题课, 加上班级学生有较好的数学基础，学习积极性较高，领悟能力较好，所以在教学中,拟采用师生共同参与的谈话法：由教师提出问题，激

圆锥曲线第二定义72673

圆锥曲线的二个定义（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如： ①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B． C． D．（答：C）； ②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离

与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）一、求焦点弦长例 1 过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若 6x x 21=+，求|AB|的长。解：设AB 的中点为E ，点A 、E 、B 在抛物线准线l ：1x -=上的射影分别为G 、H 、M 。由第二定义知： 8)1(2 x x 2 |EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |2 1=--+==+=+=。二、求离心率例2 设椭圆22 22b y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。解：如图，AB 是过F 1垂直于x 轴的弦，|C F |1为F 1到准线l 1的距离，AD ⊥l 1于D ，则

高中数学-圆锥曲线的统一定义

高中数学圆锥曲线的统一定义教材：苏教版《选修2-1》2.5（Page 51 —52）江苏省泰州中学宋健一．教材分析：《圆锥曲线的统一定义》是选修2-1（苏教版）2.5节的内容。教材对本章总体设计思路是“总—分—总”，即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。本节从抛物线的定义出发，创设问题情境，提出类比、猜想，得到圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线之间内在的关系，使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美意识。二．目标分析：鉴于以上对教材的分析及学生的实际情况，确定如下几个方面为本课的教学目标：（一）知识和技能：通过本节的学习，了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。（二）过程与方法通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，让学生观察、类比、归纳自主总结得出圆锥曲线的统一定义，并能初步运用；（三）情感与价值观通过本节的学习，培养学生观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。三．教法分析：教学重点：圆锥曲线统一定义的推导教学难点：如何设出定直线方程（准线方程）教学手段：多媒体辅助教学教学方法：设置适当情景，观察发现、探究合作、启发引导四．过程实录： F 的距离和到一条定直线(l F 不在l 上)的距离的比等于常数1的动点P 的轨迹是抛物线．边说边在黑板上画出定点和定直线（如图）. （等待1分钟）设计意图：由一个简单问题引出话题，激发学生学习兴趣，同时逐步解决本节的学习障碍。生: (多名同学合作) 1. 若定点F 在定直线l 上，轨迹会是什么呢？ 2. 平面内到两个定点F 1、F 2的距离相等的点的轨迹会是什么呢？ PF d =常数1

圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线定义的运用

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