概率的加法公式
概率的加法公式
U ∑
∑
(
)
∑
(
)
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例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题 (1) P( AB) = P( A) P( AB) = 0.7 0.1 = 0.6 (2) P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8 (3) P( AB) = P( A∪ B) = 0.2
第一章 概率论的基本概念
11.3 概率的加法公式
P( AU B) = P( A) + P(B) P( AB) 。
A
B S
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第一章 概率论的基本概念
加法公式的推广
1) P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)
课后同学问： 例1 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P( A A2 ) = P( A )P( A2 ) 我们上述等式成立的 条件是 ：事件 A , A2 相互独立. 1
2) 对任意 n 个事件 A1, A2 , L, An , 有 n n P( Ai ) P Ai = P Ai A j + P Ai A j Ak 1≤ i < j ≤ n 1≤ i < j < k ≤ n i =1 i =1 L + ( 1)n 1 P( A1 A2 L An )
考研概率论与数理统计公式大全
考研概率论与数理统计公式大全1.概率公式：-概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-概率的乘法公式：P(A∩B)=P(A)P(B，A)=P(B)P(A，B)-全概率公式：P(B)=P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+...+P(An)P(B，An)-贝叶斯公式：P(Ai，B)=P(B，Ai)P(Ai)/(P(B，A1)P(A1)+P(B，A2)P(A2)+...+P(B，An)P(An))2.随机变量与分布：- 期望：E(X) = ∑(xP(X=x))或E(X) = ∫(xf(x)dx)- 方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2- 协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]- 标准差：SD(X) = sqrt(Var(X))-二项分布：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)- 泊松分布：P(X = k) = (lambda^k)e^(-lambda) / k!- 正态分布：P(X = x) = (1 / (sqrt(2*pi)*sigma)) * e^(-(x-mu)^2 / (2*sigma^2))3.估计与检验：-极大似然估计：L(θ)=∏(f(x_i;θ))-似然比检验：λ=L(θ)/L(θ0)- 估计的无偏性：E(θ_hat) = θ- 估计的有效性：Var(θ_hat) ≤ Var(θ)- 中心极限定理：对于均值为μ、方差为σ^2的随机变量X，若样本容量n趋于无穷大，则样本均值X_bar的极限分布服从正态分布4.相关与回归：- 相关系数：r = Cov(X, Y) / (SD(X) * SD(Y))-简单线性回归方程：Y=β0+β1X+ε- 最小二乘估计：β1 = Cov(X, Y) / Var(X)- 线性回归预测：Y_hat = β0 + β1X5.抽样分布：- 样本均值分布：X_bar ~ N(μ, σ^2 / n)- 样本比例分布：p_hat ~ N(p, p(1-p) / n)-卡方分布：X^2~χ^2(k)-t分布：T~t(n)-F分布：F~F(m,n)以上是一些概率论与数理统计中常见的公式，希望对你的学习有所帮助。
数学运算 概率公式
数学运算概率公式数学运算是数学中的基本概念之一，它涉及到加法、减法、乘法、除法等操作。
在概率论中，概率公式是用来计算事件发生的可能性的数学公式。
常见的概率公式包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理。
首先，加法法则用于计算两个事件中至少发生一个的概率。
如果A和B是两个事件，那么它们的并集的概率可以用加法法则表示为P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
其次，乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
如果A和B是两个事件，那么它们的交集的概率可以用乘法法则表示为P(A∩B) = P(A) P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
全概率公式是一个重要的概率公式，用于计算一个事件的概率。
如果B1, B2, ..., Bn是一个样本空间的一个划分，即它们互不相交且并集为整个样本空间，那么事件A的概率可以用全概率公式表示为P(A) = Σ P(A|Bi) P(Bi)，其中P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
最后，贝叶斯定理是用于计算在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
贝叶斯定理可以表示为P(B|A) = (P(A|B) P(B)) / P(A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A发生的概率。
综上所述，数学运算涉及到基本的加减乘除等操作，而概率公式包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理，它们在概率论中被广泛应用于计算事件发生的可能性。
希望这些信息能够帮助你更好地理解数学运算和概率公式。
概率加法公式的简单推导
概率加法公式的简单推导
概率加法公式是指两个事件A和B的概率之和等于A和B同时发生的概率加上A和B中至少一个事件发生的概率。
其推导过程如下：
首先，考虑两个事件A和B。
那么，根据事件的定义，事件A可以表示为：A = A∩B + A∩B'，其中A∩B表示A和B同时发生的概率，A∩B'表示A发生而B不发生的概率。
接下来，我们考虑事件A和事件B的并集，即A∪B。
根据事件的定义，A∪B可以表示为：A∪B = (A∩B) + (A∩B') +
(A'∩B)，其中A'表示A不发生的概率，B'表示B不发生的概率。
而根据概率的加法规则，我们有A'∩B = B - A∩B，即B 事件且A不发生的概率等于事件B发生的概率减去A和B同时发生的概率。
将上述等式代入A∪B的表达式中，可以得到：A∪B = A + B - A∩B
将A∪B的表达式进一步转化，我们可以得到：A∩B = A + B - A∪B
因此，概率加法公式可以推导为：P(A∪B) = P(A) + P(B) -
P(A∩B)
这就是概率加法公式的简单推导过程。
概率加法公式
概率加法公式
概率加法公式是应用频率概率理论的一种基本概率公式，它可以用来计算一组事件发生的概率。
这个公式表明，两个或多个独立事件发生的可能性总和比任何一个事件发生的可能性大。
概率加法公式可以表达为：P（A或B）=P（A）+P（B）-P（A和B）。
其中，P （A）和P（B）表示事件A和B发生的概率，而P（A和B）表示事件A和B同时发生的概率。
概率加法公式可以用来计算很多不同的类别的概率，包括交通事故、犯罪率、医疗疾病等。
例如，如果要计算一个城市发生交通事故的概率，可以使用概率加法公式：P（交通事故）=P（车辆撞毁）+P （车辆相撞）+P（车辆失控）-P（车辆同时撞毁和相撞）。
概率加法公式也可以用来计算不同概率事件发生的条件概率，即在某一条件下不同事件发生的概率。
例如，如果要计算受过驾驶培训的司机发生交通事故的概率，可以使用概率加法公式来计算：P（受过驾驶培训的司机发生交通事故）=P（受过驾驶培训的司机车辆撞毁）+P（受过驾驶培训的司机车辆相撞）+P（受过驾驶培训的司机车辆失控）-P（受过驾驶培训的司机车辆同时撞毁和相撞）。
总之，概率加法公式是一种非常实用的概率公式，可以用来计算多种不同类别的概率，也可以用来计算条件概率。
它是频率概率理论中一个重要的公式，在实际应用中有着重要的作用。
概率的加法公式与事件的独立性
A1 + A2 + L + An
n
∑A 或
n
i
U Ai
n =1
例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“正好一 个正面朝上”，B=“两个都是正面朝上”， C=“至少一个正面朝上”，则 C=A+B 又如，向一目标连续射击30次，设 30 Ai=“第i次击中目标” A=“至少有一次击中目标” 则
例如，掷两枚匀称的硬币，A=“两枚都是 正面朝上”，B=“两枚都是反面朝上”， 则A与B互不相容。再设C=“恰好一个正 面朝上”，则A，B，C互不相容。
事件的互不相容性相当于集合的互不相 交性。
概率的可加性： 若事件A与B互不相容，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
直观上，概率的可加性可由概率的统计 定义推得。
例7 从10件产品（7件正品，3件次品）中 每次取一件，有放回地取两次。设B=“第一 次取到正品”，A=“第二次取到正品”。问： P(A|B)=P(A)成立吗？
当P(A|B)=P(A)时，表明事件B的发生并不 影响事件A发生的概率。 而当P(B|A)=P(B)成立时，表明事件A的发 生并不影响事件B发生的概率。 这就是事件A与B的所谓独立性。
古典概型中的条件概率计算公式：
在B发生的前提下 A包含的基本事件数 P( A | B) = 在B发生的前提下基本事件 总数
AB包含的基本事件数 = B包含的基本事件数
例4 盒中装有16个球，其中6个玻璃球， 另外10个是木质球。而玻璃球中有2个是红 色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红 色的，7个是蓝色的。现从中任取一个。已 知取到的是蓝色球，求取到的是玻璃球的 概率。
由条件概率计算公式不难知， P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) 这三个等式是相互等价的。 于是我们引入 定义 如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称 事件A与B相互独立（简称独立）。
概率加法公式
概率加法公式
概率加法公式是统计学中重要的概率公式，用于计算某事件发生的概率和。
它指的是一组独立事件中每个事件发生的概率和等于所有事件发生的概率之和。
概率加法公式也常称作概率和定理，也可以称作独立事件加法定理。
概率加法公式的数学形式为：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中P(A∪B)表示A和B事件发生的概率，P(A)表示A事件发生的概率，P(B)表示B事件发生的概率，P(A∩B)表示A和B事件同时发生的概率。
概率加法公式的核心思想是利用事件的独立性，计算出某个事件发生的概率。
如果某个事件和另一个事件独立，则两个事件发生的概率可以相加，而不必考虑两个事件之间的关联性。
概率加法公式用于计算某事件发生的概率，可以在多个不同的场景中应用。
例如，投掷两枚硬币，出现正反面概率各为50%，正反面同时出现的概率则为25%，可以用概率加法公式计算出投掷两枚硬币出现任意一面的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=50%+50%-25%=75%。
概率加法公式也可用于计算多种可能性的概率和。
例如，计算投掷三枚硬币出现任意一面的概率，可以用概率加法公式计算出
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-
P(B∩C)+P(A∩B∩C)=50%+50%+50%-25%-25%-25%+12.5%=87.5%。
总之，概率加法公式是统计学中重要的概率公式，它可以用于计算某事件发生的概率和以及多种可能性的概率和，它的核心思想是利用事件的独立性，计算出某个事件发生的概率。
概率相关公式
概率相关公式概率是现代数学中一个重要的分支，也是统计学、自然科学、社会科学等领域的重要工具。
它研究随机现象的规律性，是数学中研究不确定性的一种方法。
在此，我们将介绍概率相关的一些公式。
一、概念介绍在介绍概率公式之前，我们先来了解一些相关的概念。
概率通常用来描述一个随机事件的可能性大小。
例如，掷一颗骰子，我们想知道出现某个数字的可能性大小，这个可能性就可以用概率来描述。
概率的范围在0~1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
二、概率公式1.加法公式当两个事件A、B中至少发生一个时，概率可以用加法公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中P(A∩B)表示A和B同时发生的概率，称为A与B的交集。
2.条件概率公式当一个事件B发生的前提下，事件A发生的概率，称为条件概率。
它可以用条件概率公式计算：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)其中P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示A和B同时发生的概率。
3.乘法公式当两个事件A、B同时发生的概率，可以用乘法公式计算：P(A∩B)=P(B|A)*P(A)其中P(B|A)表示在A发生的条件下，B发生的概率。
三、概率应用1.赌博问题在概率应用中，赌博问题是一个比较常见的例子。
“掷色子游戏”就是一个典型的赌博游戏。
如果你抛一枚骰子，你获胜的概率是1/6，因为骰子有六个面，每个面出现的概率是相等的。
但如果你抛两个骰子，出现点数和是7的概率就是1/6，因为点数和是7的情况有6种可能：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种。
2.疾病诊断问题在医学诊断中，概率的应用也十分重要。
例如，在某种疾病患病率很低的情况下，如果一个人得到了这种疾病的检测结果为阳性，那么他真正患病的概率并不高，因为假阳性率也很高。
这个问题可以通过贝叶斯公式来解决。
四、结语概率公式在统计学、自然科学、社会科学等领域都有广泛的应用。
掌握这些公式，可以帮助我们更好地理解各种现象和事件。
概率的基本公式
概率的基本公式:
(1) 普通公式事件A 发生的概率:P(A)=n
m (m 在一次实验中事件A 发生的所有可能情况,n 在一次实验中
事件所有可能的结果)。
P(x=k)=n N k n M N k M C C C --
特别现象：超几何概率：X~H(n ，M ，N)
则：P(x=k)=n N k n M N k M C C C --
(2) 概率间的公式：
①加法公式：如果AB 是互斥事件：则A+B 称为互斥事件A 、B 只有一个发生，则P(A+B)=P(A)+P(B) ②加法公式（特别）：P(A)+P(B)=1
③乘法公式：如果A 、B 是相互独立事件：则AB 称为A 、B 同时发生，则P(AB)=P(A)P(B)
④二项分布概率：进行n 次试验，如果满足以下条件：1,每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；2,每次“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为1-p ；3,各次试验是相互独立的；用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P （X=k ）=（k=0,1,2，…，n ）k n k k n p p C
--)1( ⑤P(A/B)=P(AB)/P(B)
⑥几何分布：n 次试验，前n-1次皆失败，第n 次才成功的概率：P(X=n)=p n-1(1-p)。
考研数学五大重要概率运算公式归纳
考研数学五大重要概率运算公式归纳概率论与数理统计在考研数学中占22%，约34分，在396经济联考中占14分，事件概率计算的五大公式是数一、数三，396考纲中都有要求的内容，所以比较基础也比较重要。
今天来和大家谈谈概率计算的五大公式。
五大公式包括减法公式、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。
1、减法公式，P(A-B)=P(A)-P(AB)。
此公式来自事件关系中的差事件，再结合概率的可列可加性总结出的公式。
2、加法公式，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
此公式来自于事件关系中的和事件，同样结合概率的可列可加性总结出来。
学生还应掌握三个事件相加的加法公式。
以上两个公式，在应用当中，有时要结合文氏图来解释会更清楚明白，同时这两个公式在考试中，更多的会出现在填空题当中。
所以记住公式的形式是基本要求。
3、乘法公式，是由条件概率公式变形得到，考试中较多的出现在计算题中。
在复习过程中，部分同学分不清楚什么时候用条件概率来求，什么时候用积事件概率来求。
比如“第一次抽到红球，第二次抽到黑球”时，因为第一次抽到红球也是未知事件，所以要考虑它的概率，这时候用积事件概率来求；如果“在第一次抽到红球已知的情况下，第二次抽到黑球的概率”，这时候因为已知抽到了红球，它已经是一个确定的事实，所以这时候不用考虑抽红球的概率，直接用条件概率，求第二次取到黑球的概率即可。
4、全概率公式5、贝叶斯公式以上两个公式是五大公式极为重要的两个公式。
结合起来学习比较容易理解。
首先，这两个公式首先背景是相同的，即，完成一件事情在逻辑或时间上是需要两个步骤的，通常把第一个步骤称为原因。
其次，如果是“由因求果”的问题用全概率公式；是“由果求因”的问题用贝叶斯公式。
例如；买零件，一个零件是由A、B、C三个厂家生产的，分别次品率是a%，b%，c%，现在求买到次品的概率时，就要用全概率公式；若已知买到次品了，问是A厂生产的概率，这就要用贝叶斯公式了。
第3讲概率的加法公式与乘法公式
第3讲概率的加法公式与乘法公式概率是描述事件发生的可能性的数学工具。
在概率论中，加法公式和乘法公式是两个基本的公式，用于计算复杂事件的概率。
1.加法公式加法公式简要地描述了两个事件同时发生的概率。
设A和B是两个事件，那么它们同时发生的概率为P(A∪B)，即事件A和事件B至少发生一个的概率。
加法公式可以用以下公式来表示：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B单独发生的概率。
可以看出，加法公式的基本思想是将两个事件单独发生的概率相加，然后减去它们同时发生的概率。
举个例子来说明加法公式的应用：假设一个班级有40个学生，其中30个学生喜欢篮球，20个学生喜欢足球。
问这些学生中至少有一项运动爱好的概率是多少？解：根据加法公式，这个问题可以转化为计算P(篮球∪足球)，即至少有一项运动爱好。
根据已知信息，P(篮球)=30/40，P(足球)=20/40。
同时，我们可以假设P(篮球∩足球)=x，即同时喜欢篮球和足球的学生数目为x。
根据加法公式，P(篮球∪足球)=P(篮球)+P(足球)-P(篮球∩足球)。
带入已知信息，我们有：P(篮球∪足球)=30/40+20/40-x由于问题中明确提到了这个班级共有40个学生，且每个学生只能属于篮球运动和足球运动中的一个或者两个，所以可以得到：x=30+20-40=10将x=10带回到公式中，我们可以计算出P(篮球∪足球)=30/40+20/40-10/40=40/40=1，即这些学生中至少有一项运动爱好的概率为1，也就是100%。
2.乘法公式乘法公式描述的是两个事件同时发生的概率。
设A和B是两个事件，那么它们同时发生的概率为P(A∩B)。
乘法公式可以用以下公式来表示：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
概率论公式
概率论公式
概率论中常用的公式有：
1. 总概率公式：对于事件A和B，如果A和B构成一个完备事件组，则P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B')，其中B'
表示事件B的补集。
（该公式可以推广到多个事件的情况）
2. 乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B) = P(A|B)P(B) =
P(B|A)P(A)。
3. 加法公式：对于不互斥的事件A和B，P(A∪B) = P(A)
+ P(B) - P(A∩B)。
4. 条件概率公式：对于事件A和B，如果P(B) > 0，则
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
5. 贝叶斯公式：对于事件A和B，如果P(A) > 0和P(B) > 0，则P(A|B) = P(A)P(B|A) / P(B)。
6. 期望值公式：对于一个离散型随机变量X，其期望值E(X) = ΣxP(X=x)，其中x为X的所有可能取值。
7. 方差公式：对于一个离散型随机变量X，其方差Var(X) = E[(X-E(X))^2] = Σ(x-E(X))^2P(X=x)，其中E(X)为X的期望值。
请注意，以上公式只是概率论中的一部分常用公式，还有
许多其他公式可根据具体概率问题的性质和假设来使用。
概率的基本公式
发生, 故P(A|B)= 2×4!/ 5!=2/5.
解二: 用条件概率公式. P(A|B)=P(AB)/P(B)=(1/15)/(1/6)=6/15=2/5. 类似, P(B |A)=2/15. 由条件概率定义的表达式，很容易推导出
P ( AB) P( A) P( B A) P ( B ) P ( A B )
医用高等数学
例6-15 一批小白鼠中, 有30%注射过药物A, 25%注
射过药物B, 两种药物都注射过的占20%. 若取到是1只已知
没有注射过药物B小白鼠的条件下，它也没有注射过药物
A的可能性有多大?
P( AB ) 0.65 P( A | B ) 0.867 P( B ) 1 0.25
可以验证，条件概率具有无条件概率的所有性质. 例如：
概率的乘法公式还可能推广到有限多个事件的情况，即
P( A1 A2 An )=P( A1 )P( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )… P ( An A A A )
1 2 n 1
医用高等数学
例6-17 产妇分娩胎儿的存活率为P(L)=0.98. 又知活
解 根据医学常识，只有O型或B型的人方可给B型的
频率代替概率，有P( E1 )=0.46，P( E2 )=0.15，且 E1 与 E2 互
E1 不相容，而“可给B型病人输血”这一事件是与 E2 的事件
医用高等数学
病人输血，设 E1 =“被检者是O型”， E2 =“被检者是B型”，以
之和，由推论1，所求概率为：
P ( A2 | A1 ) 0.6 , P( A2 | A1 ) 1 P( A2 | A1 ) 0.4
两次患该病心肌未受损害的概率为
大学概率论必背公式
数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。
五、样本及抽样分布
1、常用统计量 （1）样本均值（样本平均数）
（2）样本方差
（3）k 阶样本矩
2、抽样分布 统计量的分布称为抽样分布。 （1） 2—分 布
性质： A. 可加性 若1 ~ 2(n1)，2~ 2(n2 )，1， 2 独立，则1 + 2 ~ 2(n1+n2 )。 B. 期望与方差 若 ~ 2(n)，则 E()= n，D()=2n。 （2）t—分布 若 ~ N(0, 1), ~ 2(n), 与独立，则
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；
称 X 服从参数为 p 的几何分布。 （3）二项分布 ( B(n, p) ) 以 X 记 n 重贝努里试验中 A 发生的次数，则其分布率为：
P( X k) C k p k (1 p)nk , (k 0,1, , n) n 称 X 服从参数为(n，p)的二项分布，记为 X~B(n，p)
（4）泊松(Poisson)分布 ( P() ) 若随机变量 X 的所有取值为一切非负整数，且其分布律为：
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
高中概率的加法与乘法公式
高中概率的加法与乘法公式概率是数学中的一个重要分支，用于描述事件发生的可能性。
在高中数学中，学生往往需要学习和应用概率的加法与乘法公式来解决各种概率问题。
本文将介绍高中概率的加法与乘法公式，并通过一些例子来说明其应用方法。
一、高中概率的加法公式在概率问题中，加法公式用于计算两个事件同时发生或其中一个事件发生的概率。
设事件A和事件B为两个相互独立的事件，其发生的概率分别为P(A)和P(B)，则两个事件至少发生一个的概率记为P(A∪B)，可以通过加法公式计算如下：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
例如，某班共有60人，其中40人喜欢听音乐，30人喜欢看电影，有20人既喜欢听音乐又喜欢看电影。
现在从这个班级中随机选择一名同学，求该同学既喜欢听音乐又喜欢看电影的概率。
解：设事件A为喜欢听音乐，事件B为喜欢看电影，则题目所求的概率为P(A∩B)。
已知P(A) = 40/60，P(B) = 30/60，P(A∩B) = 20/60，代入加法公式可得：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)= 40/60 + 30/60 - 20/60= 50/60= 5/6所以，该同学既喜欢听音乐又喜欢看电影的概率为5/6。
二、高中概率的乘法公式在概率问题中，乘法公式用于计算两个或多个独立事件同时发生的概率。
设事件A和事件B为两个相互独立的事件，其发生的概率分别为P(A)和P(B)，则两个事件同时发生的概率记为P(A∩B)，可以通过乘法公式计算如下：P(A∩B) = P(A) * P(B)例如，一个有两个装有白球和黑球的箱子，其中箱子A有2个白球和1个黑球，箱子B有1个白球和2个黑球。
从中随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，求取出的球是白球的概率。
解：设事件A为选择箱子A，事件B为从所选箱子中取出白球。
已知P(A) = 1/2，P(B|A) = 2/3，代入乘法公式可得：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)= 1/2 * 2/3= 1/3所以，取出的球是白球的概率为1/3。
概率与概率的加法公式
概率与概率的加法公式概率是概率论的基础概念之一，是指事件发生的可能性。
在概率论中，我们通常使用概率来描述事件发生的程度或可能性的大小。
概率的概念与事件密切相关，事件是指可能发生或不发生的事情。
概率的计算方法中，概率的加法公式是重要的一种方法。
它用于计算两个或多个事件的并集的概率。
在概率的加法公式中，我们将多个事件的概率相加，得到它们的并集的概率。
概率的加法公式可以用以下方式表示：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B的并集的概率，P(A)表示事件A的概率，P(B)表示事件B的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B的交集的概率。
概率的加法公式可以用简单的实例来说明。
假设有一批产品，其中30%是产品A，40%是产品B，10%是既是产品A又是产品B的产品。
我们可以使用概率的加法公式计算出同时购买产品A或产品B的概率。
首先，我们知道P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(A∩B)=0.1、接下来，将这些值代入概率的加法公式中：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.4-0.1=0.6因此，同时购买产品A或产品B的概率是0.6概率的加法公式也适用于更复杂的情况。
假设有一批产品，其中25%是产品A，35%是产品B，10%是产品C，5%是既是产品A又是产品B的产品，3%是既是产品A又是产品C的产品，2%是既是产品B又是产品C的产品，1%是既是产品A又是产品B又是产品C的产品。
我们可以使用概率的加法公式计算同时购买任意两种或三种产品的概率。
首先，我们知道P(A)=0.25，P(B)=0.35，P(C)=0.1，P(A∩B)=0.05，P(A∩C)=0.03，P(B∩C)=0.02，P(A∩B∩C)=0.01、接下来，将这些值代入概率的加法公式中：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.25+0.35-0.05=0.55P(A∪C)=P(A)+P(C)-P(A∩C)=0.25+0.1-0.03=0.32P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)=0.35+0.1-0.02=0.43P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) =0.25+0.35+0.1-0.05-0.03-0.02+0.01=0.61因此，同时购买任意两种或三种产品的概率是0.55，0.32和0.61概率的加法公式在实际生活中有着广泛的应用。
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例4. 某战士射击一次，问： （1）若事件A=“中靶”的概率为0.95，则 A的概率为多少？ （2）若事件B=“中靶环数大于5”的概率为 0.7 ，那么事件C=“中靶环数小于6”的概率 为多少？ （3）在（1）（2)条件下，事件D=“中靶 环数大于0且小于6”的概率是多少？
解：因为A与A互为对立事件，
的概率是______________. 0.25
11.某射手在一次射击中射中10环、9环、8 环、7环、7环以下的概率分别为0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一 次射击中： （1）射中10环或9环的概率， 0.52 （2）至少射中7环的概率； 0.87 （3）射中环数不足8环的概率. 0.29
三、概率的一般加法公式
1、加法公式的推广： P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B).
2、加法公式的推广：
例3. 在数学考试中，小明的成绩在90分以 上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51, 在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概 率是0.09，计算小明在数学考试中取得80 分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.
0 P ( A) 1
问题. 抛掷一颗骰子，观察掷出的点数. 设 事件A为“出现奇数点”，B为“出现2 1 1 点”. 已知P(A)= ，P(B)= ，求“出现 6 2 奇数点或2点”的概率。 问题中事件C：“出现奇数点或2点” 的概率是事件A：“出现奇数点”的概 率与事件B：“出现2点”的概率之和， 1 1 2 即 P(C)=P(A)+P(B)= 2 6 3
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
5.抽查10件产品，设事件A：至少有两件
次品，则A的对立事件为（ B ） A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品
D. 至少两件正品
6. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量
小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的 概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85) (g)范 围内的概率是 （ C ） A.0.62 B.0.38
3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是 乙获胜的概率是 （B ）
1 1 3 5 6 2 3
1 2
,
，则甲不胜的概率是
A.
C.
2 1 6
B.
D.
4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任 取两个球，那么互斥而不对立的两个事件 是（ C ） A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红 球”
C.0.02
D.0.68
7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙
两级均属次品，若生产中出现乙级品的概 率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成 品抽查一件抽得正品的概率为（ D ） A.0.09 B.0.98
C.0.97
D.0.96
8.某射手射击一次击中10环、9环、8环的
概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一 次不够8环的概率是 0.2 。 9. 某人在打靶中，连续射击2次，事件
P(A∪B)=P(A)+P(B)。 一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互 斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2) +…+P(An)，即彼此互斥的事件和的概率 等于各个事件概率的和.
在求某些较为复杂事件的概率时，先 将它分解为一些较为简单的、并且概率 已知（或较容易求出）的彼此互斥的事 件，然后利用概率的加法公式求出概率. 因此互斥事件的概率加法公式具有“化 整为零、化难为易”的功效，但需要注 意的是使用该公式时必须检验是否满足 它的前提条件“彼此互斥”.
解：记“他乘火车去”为事件A，，“他 乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为 事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四 个事件不可能同时发生，故它们彼此互 斥， （1）故P(A∪C)=0.4； （2）设他不乘轮船去的概率为P，则 P=1－P(B)=0.8； （3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有 可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽 车或乘飞机去。
3．对立事件：不能同时发生且必有一个 发生的两个事件叫做互为对立事件。 事件A的对立事件记作. 所以对立事件一定是互斥事件，而互 斥事件不一定是对立事件。
例1.判断下列各对事件是否是互斥事件， 并说明理由。 某小组有3名男生和2名女生，从中任选 2名同学去参加演讲比赛，其中 （1）恰有1名男生和恰有2名男生； 是互斥事件 不是 （2）至少有1名男生和至少有1名女生； 不是 （3）至少有1名男生和全是男生； （4）至少有1名男生和全是女生。 是互斥事件
解：（1）“取出红球或黑球”的概率为
P(A∪B)=P(A)+P(B)=
3 4
；
11 12
（2）“取出红或黑或白球”的概率为 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 。
又（2）A∪B∪C的对立事件为D， 所以P(A∪B∪C)=1－P(D)=
11 12
即为所求.
例6. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、 汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、 0.4， （1）求他乘火车或乘飞机去的概率； （2）求他不乘轮船去的概率； （3）如果他乘某种交通工具去开会的概 率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具 去的？
例2.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是 否为对立事件，并说明理由。 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从 1~10各4张）中，任取1张： （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； 解：是互斥事件，不是对立事件； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； 是对立事件，也是互斥事件； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数 大 于9”。 不是互斥事件，当然不可能是对立事件；
解： 分别记小明的成绩在90分以上，在 80~89分，在70~79分，在60~69分为事件B， C，D，E，这四个事件是彼此互斥的. 根据概率的加法公式，小明的考试成 绩在80分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
两个事件的关系
互斥事件
对立事件
（B）
一、互斥事件、事件的并、对立事件 1．互斥事件：不可能同时发生的两个事 件叫做互斥事件（或称为互不相容事件）; 2．事件的并：由事件A和B至少有一个发 生（即A发生，或B发生，或A、B都发生） 所构成的事件C，称为事件A与B的并（或 和）。记作C=A∪B（或C=A+B）。 事件A∪B是由事件A或B所包含的基本 事件所组成的集合。
“至少有一次中靶”的互斥事件
是 . 两次都不中靶
10. 我国西部一个地区的年降水量在下列 区间内的概率如下表所示：
年降水量 /mm 概率 ［100， 150） 0.21 ［150， 200） 0.16 ［200， 250） 0.13 ［250， 300］ 0.12
则年降水量在[200，300]（mm）范围内
知识回顾
1、事件 试验的结果称为事件。 分类：
① 不可能事件 ② 必然事件 ③ 随机事件
2、基本事件 试验中不能再分的最简单的随机事 件(结果)。 3、基本事件空间 所有基本事件构成的集合。
4、概率
一般地，在n次重复进行的试验中，事 件A发生的频率
m n
ห้องสมุดไป่ตู้，当n很大时，总在某
个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅 度越来越小，这时就把这个常数叫做事件 A的概率，记为P(A).
对立事件的概率 若事件A的对立事件为A，则
P(A)=1－P(A). 证明：事件A与A是互斥事件，所以 P(A∪A)=P(A)+P(A)，又A∪A=Ω， 而由必然事件得到P(Ω)=1, 故P(A)=1－P(A).
在上面的例题中，若令A=“小明考试及 格”,则A=“小明考试不及格”
如果求小明考试不及格的概率，则由公 式得 P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07. 即小明考试不及格的概率是0.07.
（1）P(A)=1－P(A)=0.05；
（2）事件B与事件C也是互为对立事件， 所以P(C)=1－P(B)=0.3； （3）事件D的概率应等于中靶环数小于6 的概率减去未中靶的概率，即 P(D)=P(C)－P(A)=0.3－0.05=0.25
例5.盒内装有各色球12只，其中5红、4黑、 2白、1绿，从中取1球，设事件A为“取出 1只红球”，事件B为“取出1只黑球”， 事件C为“取出1只白球”，事件D为“取 5 1 1 出1只绿球”.已知P(A)= ，P(B)= , 12 3 6 1 P(C)= ，P(D)= ， 12 求：（1）“取出1球为红或黑”的概率； （2）“取出1球为红或黑或白”的概率.
练习题：
1．每道选择题有4个选择项，其中只有1 个选择项是正确的。某次考试共有12道选 择题，某人说：“每题选择正确的概率是 1/4，我每题都选择第一个选择项，则一 定有3题选择结果正确”这句话（B ） （A）正确 （B）错误 （C）不一定 （D）无法解释
2．从1，2，…，9中任取两数，其中：① 恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有 一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个 奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数 和至少有一个偶数。在上述事件中，是对 立事件的是（ C ） （A）① （B）②④ （C）③ （D）①③
二、互斥事件的概率加法公式
假定事件A与B互斥，则
P(A∪B)=P(A)+P(B)。
证明：假定A、B为互斥事件，在n次试验 中，事件A出现的频数为n1，事件B出现的 频数为n2，则事件A∪B出现的频数正好是 n1+n2，所以事件A∪B的频率为