笛卡尔与费马解析思想的主要区别

1．费马的思想方法．

费马是十七世纪伟大的数学家之一．他出身于商人家庭，在都鲁斯学过法律，并以当律师谋生．研究数学是他的业余爱好．他自小喜欢博览群书，不仅精通多国语言和文学，而且喜欢自然科学，三十岁左右对数学发生强烈兴趣，特别注重于数论、几何、分析、概率论等方面的研究．他谦虚好静，平生很少发表文章，其研究成果大都是去世后在他的遗物中发现的，也有一些是他与朋友的通信中发现的．费马在数论方面发现了很多定理．他是一个伟大的直观天才，他提出的许多命题只有一个是错误的，其中还有一个尚未证明的定理——费马大定理．费马曾说他用自己首创的无穷下推法证明了这个定理，后人一直没有找到他的证明．费马的著作有《平面和立体轨迹引论》、《求最大和最小的方法》等．

(1)引进坐标，系统地研究曲线的方程．1629年费马写成《平面和立体轨迹引论》，在这篇文章中他把希腊数学中使用立体图而苦心研究发现的曲线的特征，通过引进坐标译成了代数语言，从而使各种不同的曲线有了代数方程一般的表示方法．费马还具体地研究了直线、圆和其它圆锥曲线的方程．

(2)通过坐标的平移和旋转化简方程．费马注意到了坐标可以平移或旋转．他曾给出一些较复杂的二次方程，然后通过平移或旋转将它们化为简单的形式．

(3)空间解析几何思想的萌芽．1643年，费马在一封信中，曾简短地描述了三维解析几何的思想．

2．笛卡尔的思想方法．

笛卡尔1596年3月31日生于土伦的拉哈耶，父亲是个相当富有的律师．笛卡尔20岁毕业于普瓦界大学，去巴黎当了律师．在巴黎他认识了米道奇和梅森，花了一年时间和他们一起研究数学．当时有一种风气，即有志之士不是致力于宗教就是献身于军事．因此，笛卡尔赶了时髦，应征入伍，遍历欧洲．笛卡尔献身数学，完全出于一个偶然的机会．1617年服役期间，在荷兰布莱达遇到一张数学难题招贴，他看不懂上面的佛来米语，一位中年人热心地给他作了翻译，第二天他把解答交给那个中年人．中年人对笛卡尔的解答非常吃惊：巧妙的解题方法，准确无误的计算，说明了这位年轻士兵的数学造诣不浅．原来这位中年人就是当时有名的荷兰数学家别克曼教授．这使他自信有数学才能，从此开始在别克曼教授指导下认真地钻研数学．1628年，他移居荷兰，在较为安静自由的学术环境里住了二十年，写出了他的名著．笛卡尔的著作主要有《思想的指导法则》、《世界体

系》、《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》等．《方法论》的附录之一《几何》中包括了他关于解析几何和代数的思想．

笛卡尔的中心思想是要建立起一种普遍的数，使算术、代数和几何统一起来．其思想方法主要表现在以下几方面：

(1)引入坐标观念．笛卡尔从自古已知的天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x，y)的对应关系，从而建立起坐标的观念．

(2)用方程表示曲线的思想．笛卡尔把互相关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线．考虑二元方程F(x，y)=0的性质，满足这方程的x，y值无穷多，当x变化时，y值也跟着变化，x，y的不同的数值所确定平面上许多不同的点，便构成了一条曲线．具有某种性质的点之间有某种关系，笛卡尔说：“这关系可用一个方程来表示”，这就是用方程来表示曲线的思想．这样，就可以用一个二元方程来表示平面曲线，并根据方程的代数性质来研究相应曲线的几何性质；反过来，可以根据已知曲线的几何性质，确定曲线的方程，并用几何的观点来考察方程的代数性质．

(3)推广了曲线的概念．笛卡尔不但接纳以前被排斥的曲线，而且开辟了整个的曲线领域．笛卡尔所说的曲线，

是指具有代数方程的那一种．他认为，几何曲线是那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程来表示的曲线。这就取消了曲线是否存在看它是否可以画出这个判别标准。但是，笛卡尔关于曲线概念的推广并不彻底，几何曲线未必都能用代数方程表示出来．莱布尼兹把有代数方程的曲线叫代数曲线，否则叫超越曲线．实际上笛卡尔及其同时代人都以同样的热情去研究旋轮线、对数曲线、对数螺线(logρ=aθ)和其它非代数曲线．

(4)按方程的次数对几何曲线分类．按照笛卡尔的观点，含x和y的一次和二次曲线属于第一类，即最简单的类；三次和四次方程的曲线构成第二类；五次和六次方程的曲线构成第三类；余类推．之所以如此分类，是因为笛卡尔相信每一类中高次的可以化为低次的．如四次方程的解可以通过三次方程的解来求出．然而他这个信念是不对的．笛卡尔的成就是与他的思想奔放、善于独立思考、敢于大胆质疑的精神分不开的．还是在少年时代，他就有强烈的求知欲，除了学校规定的课程外，还大量地阅读了课外书籍．尤其可贵的是，他对书本知识从不盲从．他说：“决不可过分相信自己单单从例证和传统说法中所学到的东西．”正是这种在传统观念面前敢于破除迷信的精神，使他不仅在数学中开拓了新领域,同时还在物理学、生理学、哲学等学科中也作出了重要贡献．