Chapter8静电场2(环路定理、电势)

R1 20r
20 R1

故有：


2 0U12
ln R2
R1
23
大学物理
三、电势叠加原理
点电荷系产生的电场中，任一点P的电势为：
V


E

dr

(E1

E2

En ) dr
P
P


E1 dr E2 dr ....... En dr
9
大学物理
电势的值随电势零点选取的不同而不同，
是相对的；而两点的电势差是绝对的，与
电势零点无关。
U12 V1 V2
P2
E

dr
P1
3.关系：EP q0V
W EP1 EP2 q0U12
10
大学物理
电势的计算方法之一：定义法
电场具有对称分布时使用方便
根据定义

rR V q r R V 4q0R
RA

RB
4 0 r
∴ r RA V q q
40RA 40RB
RA r RB
V
q q
40r 40RB
r RB V 0 28
大学物理
练习4、如图已知+q 、-q、R
①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
40RA 40RB
20
大学物理
RA r RB
V
E dr
RB
E

dr

E dr
q
q
RA
P
P
RB

RB P
q
40r 2
dr

q
4 0 r

q
4 0 RB

RB
r RB
V E dr 0
P
解：已知均匀带电球面的电场分布为：
r R时， E 0
r R 时， 则 r R时，
E

q
40r 2
er
R
R
V P E dr P E dr R E dr
r
L dr E

q
q

E dr
R
R 40r 2 dr

dW q0E dr q0E dr cos
q
q0Edr q0 40r 2 drq ra
W

rb qq0
ra 40r 2
dr

qq0
4 0
1 ( ra

1 rb
)
b
rb
r dr r
a
dr cdr cE

即：在点电荷的电场中，电场力做功只与 初、末位置有关，而与运动路径无关。
2
大学物理
2．在静止的点电荷系的电场中（包括连续带
电体）

E E1 E2 En
其中
E、1 E…2
E为n 各点电荷单独存在时的场
强
b
W a q0E dr

b a q0E1 dr
b a
q0
E2

dr



b a q0En dr
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§8.6 静电场的环路定理 电势能
一、静电场力所作的功
1．在固定点电荷q的电 场中，电荷 q0沿路径
L从点a运动到点b。 在这一过程中，电场
力所作的功为： q
b
W a q0E dr
b
r dr r
a
cdr cE

1
大学物理
b
W
aq0
E

dr
功为：
q0E dl q0Edl cos 0 此式恒成立，故 90o
35
大学物理
(2)两等势面相距较近的地方场强大，相距较 远处场强小；沿着电场线的方向，电势依 次降低；
画等势面时，相邻等势面的电势差为常数。
因此，沿着电场线积分，求相邻两等势面的
电势差可得：
U12
u2
u1
37
大学物理
二、电场强度与电势梯度
定义 V EP 为P点的电势，它反映了电场 q0本身的性质，与试验电荷 q0无关
8
大学物理
则有：V1 V2
P2
E

dr
P1
1.单位：V，1V 1J / C
2.通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有：
V EP
E dr
q0 P
即P点的电势等于场强沿任意路径从P点到 无穷远处的线积分。
b
E
dr
c

a
q0 E
b
dr
d

b
q0
E

dr
c
b
c
a
q0 E

dr
d
a q0E dr
0
d
a
4
大学物理
∵ q0 0
∴

LE dr
0
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线
积分等于零。叫做静电场的环路定理。这
说明了静电场是无旋场。即静电场的电场 线不构成闭合曲线。
思考：如图电场是静电场吗？
解：沿图中虚线环路
E

dr

0不是静电场
L
E
5
大学物理
三、电势能
静电场力是保守力，可引入电势能的概念。
静电场力做功等于电势能的减少。
在静电场中，试验电荷由点 P运1 动到点 ，P2 则电场力做功为：
W
P2 P1
q0 E
dr

EP1

EP2
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大学物理
讨论
V
0
q V
4 0r
点电荷周围空间 任一点的电势
V 1 r
r 若场源电荷q> 0，则空间各点电势
U>0 ，离点电荷越远电势越低，在
无穷远处电势为零，最小值
若场源电荷q < 0，则空间各点电 势U< 0 ，离点电荷越远电势越高 ， 在无穷远处电势为零，最大值
大学物理
例1．均匀带电球面产生的电场中的电势分布， 设球面半径为R、带电总量为q

dr

P E dr
P0
E

dr
P
P
P
P0 dr
P 20r ln r0
20 r

rP E
dr
r0 P P0
*当电荷分布扩展到无穷远处时，不能再选 取无穷远处为电势零点。
19
大学物理
练习1、求等量异号的同心带电球面的电势分布
已知+q 、-q、RA 、RB
两球面的电势差为：
UAB VA VB
B RB q
q11
E dr
dr ( )
A
RA 40r 2
40 RA RB
21
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练习2、两根同长的同轴圆柱面内外半径分别为 R1 和 R2，带有等量异号电荷，两圆柱面的电势差 为 U12。求(1)圆柱面上单位长度带有多少电荷？
P2
E

dl

P1
P2 E dl
P1
P2
P1 2
显然，两等势面相距越大，E越小。
1
36
大学物理
3 ．在实际中，往往先得出等势面分布，进而 分析电场分布
练习向、，由已等知势面确定a、b点E的a 场强大小及方Eb
u1 u2 u2 u3 0
a
bu 3
解：场强方向如图， Ea Eb
例2．无限长均匀带电直线的电势分布，设电
荷线密度为
解：已知无限长均匀带电直线的电场分布为：
E 2 0 r
场强方向垂直于直线向外
选取到直线垂直距离为 r0 的 P0点为电势零点，在电场中 任取一点P，则由定义可得：

rP E
dr
r0 P P0
18
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V
P0
E
dq
r P
电势的计算方法二：微元法
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大学物理
分立的点电荷系电势
V
qi
4 0 ri
物理意义：
点电荷系周围空间任一点的电势等于各点 电势单独存在时在该点产生的电势的代数 和。（这一点和场强的计算不同，场强的 叠加是矢量叠加。）
大学物理
例3．半径为R的均匀带电圆环，所带电量为q，求圆 环轴线上任一点P的电势
EP1 E即P2 分别为 在q0 、P1 点P的2 电势能。
6
大学物理
(1)单位：J、eV( 1eV 1.610)19 J
(2)通常选取无穷远处为电势能零点，则有：

EP P q0E dr
即电荷 q在0 P点的电势能等于把 q从0 P点移
动到无穷远处时电场力所做的功。 电势能的值随电势能零点选取的不同而不同，

V E dr E dr q
P
P
P

q
P 40r 2
dr

q
4 0 r
r
E
dr
积分路径选为沿径向的直线
在正点电荷的电场中，电势为正，随r的增大电
势逐渐减小；在负点电荷的电场中，电势为负，随 r的增大电势逐渐增大。并且，在点电荷的电场中， 电势也呈球对称分布。

4 0 R
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大学物理
r R 时，

R
V P E dr P E dr
r
L dr E

q
P 40r 2
dr

q
4 0 r
均匀带电球面内电势处
V
q
处相等，都等于球面表 面的电势；球面外电势
4 π0R
与点电荷情形一样。
oR
q
4 π 0r
r
17
大学物理
式中每一项都只与初、末位置有关，与运动
路径无关。
3
大学物理
因此，在任何静电场中，电场力做功都只
与运动初、末位置有关，而与运动路径无 关。也就是说，静电场力是保守力。
二、静电场的环路定理
在静电场中，令电荷 q0沿任一闭合路径运 动一周，则电场力所作功为：
b a
W
L
q0
是相对的；而电势能差是绝对的，与电势能零 点无关。 (3)电势能是相互作用能，属于整个系统。
7
大学物理
§8.7 电 势
一、电势差、电势
W
P2 P1
q0 E
dr

EP1

EP2
电势能差与 q0有关
W EP1 EP2
P2
E

dr
q0 q0 q0
P1
场强的线积分与 q0无关
U P E dl
1 、解决场强的分布问题（这在高斯定 理中已经解决）
2、选择积分路径（关键）
既然积分路径是任意的，为方便积分，常 常选择场强同电场线的夹角为特殊角。所 以一般情况下，沿着或逆着电场线
大学物理
3. 注意电势零点的选择问题
静电场中某点的电势与势能零点的选择有关
势能零点的选取原则 a. 当场源电荷分布在有限空间时，选择无穷 远为零电势点; b. 当场源电荷分布在无限空间时，不能选择 无穷远为零电势点，而应该选择场中一个有 限远的点.
(2)两圆柱面之间的场强为多少？ 解：由高斯定理可知，此带电体系的电场分布为：
r R时1 ， E 0
R1 r 时R2， E 20r
r R时2 ， E 0
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大学物理
由电势差的定义可知：
U12 V1 V2
R2
E

dr
R1
R2 dr ln R2
解: 由高斯定理
q q
0 r RA r RB
RA

E
q
RB
4 0r 2 RA r RB
r RA
V
E dr
RA
E

dr

RB
E

dr

E dr
P
P
RA
RB
RB q dr q q
RA 40r 2
大学物理
用 U的定义式 求 U 的步骤 分析出电场分布的对称性，利用Gauss Law求 E的分布 选择零电势点 选择容易计算的积分路径
“0”
处理定积分 U p E dl
注意有时要分区间进行计算
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二、点电荷电场的电势
在点电荷的电场中任取一点P，由电势的定义来
计算P的电势：
解：设OP间距离为x，P点电势为： y
V


dq
4 0 r

dq
40 R2 x2
dl

R

O
r
x

P
x

q

z
4 0 R2 x 2
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大学物理
练习3、求等量异号的同心带电球面的电势分布
已知+q 、-q、RA 、RB
解:已知带电球面的电势分布为： q q
d
Woc
Vo
Vc
0( q
4 0 3R

q )
4 0 R
a
bc
q
q 0 q
6 0 R
RRR
② 将单位负电荷由
O，电场力所作的功
WO V Vo 0
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大学物理
练习5、求不均匀带电球面球心处的电势，电 量为q，半径为R。
解：
VO
dq q
40R 40R
P
P
P
V1 V2 ...... Vn
V1 、V2 … Vn分别为各点电荷单独存在时在P点的电势
点电荷系的电场中，某点的电势等于各点电荷单独
存在时在该点电势的代数和。
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大学物理
点电荷系：
V
qi
4 0 ri
连续带电体：
q2 r1
q1
r2 P
qnrn
V


dq
4 0 r
百度文库
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大学物理
§8.8 电场强度与电势梯度 一、等势面 1．电场中电势相等的点所组成的面，叫做等
势面。
+
31
大学物理
电偶极子的等势面
+
32
大学物理
平行板电容器的电场线与等势面
++ ++ + + + + +
33
大学物理
人心脏的等电势 线，类似于电偶 极子。
34
大学物理
2．性质： (1)等设势电面荷与q0电沿场着线等处势处面正移交动；dl，则电场力做