分析1—2随机误差的正态分布
简述随机误差正态分布的主要规律
简述随机误差正态分布的主要规律
随机误差正态分布是指测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律。
其主要规律包括以下几点:
1. 平均数和方差呈正态分布：随机误差的正态分布以测量平均值为重心，其分布形状类似于一个钟形曲线。
随着测量次数的增加，随机误差的方差会趋近于平均值，使得正态分布的曲线更加平缓。
2. 极端值的出现概率较小：正态分布的规律表明，测量结果中极端值的出现概率较小，而大多数测量结果都分布在平均值附近。
3. 误差分布的离散程度与测量次数有关：随着测量次数的增加，随机误差的分布形状不变，但是其离散程度会越来越大。
这主要是因为多次测量的结果会趋近于平均值，使得随机误差的分布更加集中。
4. 误差分布的形状与测量方法有关：不同的测量方法可能会导致误差分布的形状不同。
例如，在回归分析中，残差的正态分布形状取决于回归模型的准确度。
随机误差正态分布的主要规律表明，测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律，而随机误差的分布形状、离散程度和形状取决于测量方法和测量次数等因素。
正态分布参考值抽样误差
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：
误差的统计概率
误差的统计概念一.随机误差的正态分布1. 正态分布随机误差的规律服从正态分布规律，可用正态分布曲线（高斯分布的正态概率密度函数）表示：(13)式中：y—概率密度；μ—总体平均值；σ—总体标准偏差。
正态分布曲线依赖于μ和σ两个基本参数，曲线随μ和σ的不同而不同。
为简便起见，使用一个新变数（u）来表达误差分布函数式：(14)u的涵义是：偏差值（x-μ）以标准偏差为单位来表示。
变换后的函数式为：(15)由此绘制的曲线称为“标准正态分布曲线”。
因为标准正态分布曲线横坐标是以σ为单位，所以对于不同的测定值μ及σ，都是适用的。
图1：两组精密度不同的测定值图2：标准正态分布曲线的正态分布曲线“标准正态分布曲线”清楚地反映了随机误差的分布性质：（1）集中趋势当x=μ时（u=0），，y此时最大，说明测定值x集中在μ附近，或者说，μ是最可信赖值。
（2）对称趋势曲线以x=μ这一直线为对称轴，表明：正负误差出现的概率相等。
大误差出现的概率小，小误差出现的概率大；很大误差出现的概率极小。
在无限多次测定时，误差的算术平均值极限为0 。
（3）总概率曲线与横坐标从-∝到+∝在之间所包围的面积代表具有各种大小误差的测定值出现的概率的总和，其值为1（100%）(16)用数理统计方法可以证明并求出测定值x出现在不同u区间的概率(不同u值时所占的面积)即x落在μ±uσ区间的概率：置信区间置信概率u= ± 1.00 x= μ± 1.00σ68.3%u= ± 1.96 x= μ± 1.96σ95.0%u= ± 3.00 x= μ± 3.00σ99.7%二. 有限数据随机误差的t分布在实际测定中，测定次数是有限的，只有和S，此时则用能合理地处理少量实验数据的方法—t分布1. t分布曲线（实际测定中，用、S代替μ、σ）t分布曲线与标准正态分布曲线相似，纵坐标仍为概率密度，纵坐标则是新的统计量t（17）无限次测定，u一定→P 就一定；有限次测定：t一定→P 随ν(自由度)不同而不同。
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
§1—2随机误差的正态分布
b.
-
0
+
x
X -
2.正态分布曲线的讨论
特点:
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准偏差
（1）y极大值在 x = μ 处；
于x = μ 对称；
x 轴为渐近线.
（2）拐点在 x = μ ± σ 处.
表示为N(, 2)
（1）测定值的正态分布
(u )du 1
同理，由标准正态分布曲线方程还 可求得在无限多次测量中，某一范围内测 量值或随机误差出现的机会（概率）的最 终趋势是多少. 2 u 即 u2 1
P
u1
2
e 2 du
标准正态分布曲线 N (0,1)
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
-3 -2 - -3 -2 -
对称性: 曲线以x =这条直线为对称轴.
表明测量数据具有明显的向 总体平均值集中的趋势；
决定正态分布曲线的中心位置。
测量值出现正,负误差的机会相等. 单峰性:
1 y 2π
x =时,y值最大,表现为一个峰形.
σ决定正态分布曲线的形状；
σ越小，数据越集中，测定值落在
附近的概率越大。
当 σ ，µ 确定，正态分布曲线的位置和形状也确定，
P=95.5% ½ a
=0.47%
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
u
α=4.5%
P 置信度
a 显著性水平
P+ a = 1
-3
-2
-1
0
68.3% 95.5% 99.7%
0
2 3 + +2 +3
随机误差的正态分布特点
随机误差的正态分布特点1.均值：正态分布的均值为μ，表示数据的中心位置。
在随机误差中，均值可以理解为误差的总体偏差。
如果误差呈现正态分布，均值为0，则表示误差的总体平均值接近于真值，没有系统性偏差。
2.方差：正态分布的方差为σ^2，表示数据的分布范围。
在随机误差中，方差可以理解为误差的离散程度。
方差越大，数据点越分散，说明误差范围更广，反之亦然。
随机误差的正态分布特点是方差相等，即具有同一水平的离散程度。
3.形状：正态分布的形状呈钟形曲线，两侧对称。
随机误差的正态分布特点是呈正态分布曲线，即误差集中在均值附近，偏离均值的概率较小。
该特点反映了随机误差的分布规律，即大部分误差相对较小，极端误差的发生概率较低。
4.中心极限定理：中心极限定理指出，当样本容量足够大时，不论总体分布形态如何，样本的均值分布将近似服从正态分布。
这意味着随机误差的正态分布特点成为了统计学中很重要的前提条件。
由于中心极限定理的存在，可以使用正态分布来进行统计推断和置信区间估计等分析。
在实际应用中，随机误差的正态分布特点有着重要的意义：1.基于随机误差的正态分布特点，可以进行参数估计和假设检验等统计推断。
通过对误差进行统计分析，可以对总体特征进行估计，并利用置信区间判断总体特征是否显著。
2.正态分布的特点使得随机误差具有较好的可控性和可预测性。
通过对误差的分布特征的研究，可以提供对误差的限制和控制方法，从而提高实验的精度。
3.正态分布假设简化了许多统计模型的建立和推断过程。
在许多情况下，我们可以假设随机误差符合正态分布，从而简化了模型的复杂度和计算的难度。
然而，需要注意的是，随机误差的正态分布特点并不意味着所有数据都遵循正态分布。
实际数据可能会受到多种因素的影响，导致偏离正态分布。
因此，在实际应用中，需要通过实际数据分布的分析和统计检验来验证数据是否符合正态分布。
同时，也需要对数据进行预处理和适当的转换，以满足正态分布的假设前提条件。
随机误差的统计分布实验报告
随机误差的统计分布实验报告随机误差的统计分布实验报告引言：在科学研究和实验中，我们经常会遇到各种误差。
其中，随机误差是不可避免的，它是由于实验条件的不完美、测量仪器的误差以及实验者的技术水平等因素引起的。
为了更好地理解随机误差的特性和分布规律，我们进行了一系列的实验。
实验目的：本次实验的主要目的是通过对一组数据的收集和分析，探究随机误差的统计分布规律，并验证中心极限定理的适用性。
实验步骤：1. 实验器材准备：我们准备了一台精密天平，用于测量实验中所需的物品的质量。
2. 实验样本选择：我们随机选择了50个物品作为实验样本，这些物品的质量在一定范围内波动。
3. 实验数据收集：我们使用天平测量了每个样本的质量，并记录下来。
4. 数据处理与分析：在收集完实验数据后，我们进行了一系列的数据处理和分析，以探究随机误差的统计分布规律。
实验结果：通过对实验数据的分析，我们得到了以下结果：1. 随机误差的分布呈现正态分布的趋势：我们将实验数据绘制成直方图，发现其呈现出典型的钟形曲线，符合正态分布的特征。
这表明随机误差在一定程度上服从正态分布。
2. 中心极限定理的适用性：我们对实验数据进行了多次抽样，并计算了每次抽样的均值。
结果显示，随着抽样次数的增加，抽样均值的分布逐渐接近正态分布。
这验证了中心极限定理的适用性，即当样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
3. 随机误差的大小与分布：通过对实验数据的统计分析，我们发现随机误差的大小与分布与所测量的物理量有关。
在某些情况下，随机误差的大小与物理量的大小成正比，而在其他情况下，则呈现出不同的关系。
这表明随机误差的大小和分布是一个复杂的问题，需要进一步研究和探索。
结论：通过本次实验，我们得出了以下结论：1. 随机误差在一定程度上服从正态分布。
2. 中心极限定理适用于随机误差的分布，当样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
3. 随机误差的大小和分布与所测量的物理量有关，需要进行更深入的研究和探索。
第3章 分析化学中的误差及数据处理
b：如何确定滴定体积消耗？(滴定的相对误差
小于0.1% )
0～10ml； 20～30ml； 40～50ml
万分之一的分析天平可称准至±0.1mg
常量滴定管可估计到±0.01mL
一般常量分析中，分析结果的精密度以平均相 对偏差来衡量，要求小于0.3%；准确度以相对误差 来表示，要求小于0.3%。
误差传递，每一个测定步骤应控制相对误差更小 如，称量相对误差小于0.1%
使用计算器作连续运算时，过程中可不必对每一步 的计算结果进行修约，但要注意根据准确度要求，正确 保留最后结果的有效数字位数。
四、有效数字在分析化学中的应用
1. 正确地记录数据 2. 正确地选取用量和适当的仪器 3. 正确表示分析结果
问题: 分析煤中含硫量时，称样量为3.5g，甲、乙 两人各测2次，甲报结果为0.042％和0.041％，乙报结 果为0.04201％和0.04199％，谁报的结果合理？
5. 大多数情况下，表示误差或偏差时，结果取一位 有效数字，最多取两位有效数字。
6. 对于组分含量＞10%的，一般要求分析结果保留4 位有效数字；对于组分含量1%～10%的，一般要求分析 结果保留3位有效数字；对于组分含量＜1%的，一般要 求分析结果保留2位有效数字。
7. 为提高计算的准确性，在计算过程中每个数据可 暂时多保留一位有效数字，计算完后再修约。
3）pH，lgK等对数值 有效数字的位数仅取决于小数部分数字（尾数）的位数。
4）不是测量得到的倍数、比率、原子量、化合价、 π、e等可看作无限多位有效数字。
5）不能因为变换单位而改变有效数字的位数。
二、有效数字的修约规则
应保留的有效数字位数确定之后，舍弃多余数字的 过程称为数字修约
修约规则：“四舍六入五成双”
1002随机误差
14 3.08
0.07
2
0.0133
频率密度 fi / x
11 8 8 7 5 3 1
x 3.01
fivi 0
n=150 fi 0.9999
10
2、统计直方图 根据表1-1的数据可按下列步骤作出统计直方图。
以xi为横坐标，以fi 或 fi /x为纵坐标建立坐标系。
2 i
vi2
n
2 x
2
x
vi
vi2
n
2 x
i1
i1
i1
i1
n
n
i
vi
n x
i 1
i 1
n
n
n
i vi i
i1 i1 i1
x
n
n
n
n
2
i
n
i2
n
2 i j
2 x
i 1
n
i1 n2
1
2
单峰性
A、对称性 f ( ) 0 f ( ) f ( )
B、抵偿性 C、单峰性 D、有界性
n
随着测量次数的增加， lim
i
i 1
0
n n
δ=0时, fmax ( ) f (0) f ( ) f (0)
随机误差δ出现在一个有限的区间
内，即[-kσ,+kσ]的可能性较大。
1879.64
li
vi
-0.01
0
+0.04
+0.05
-0.05
-0.04
+0.04
随机误差的正态分布特点
随机误差的正态分布特点随机误差是指在测量或实验中出现的不可预测的偶然性误差，通常表现为数据点在期望值周围上下波动，呈现出一种无规律的分布。
而正态分布则是一种常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特征，其均值、中位数和众数重合，且对称分布。
正态分布的特点是具有明显的中心对称性，即均值位于分布的中心，而标准差决定了分布的扁平程度。
在正态分布中，68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这种特性使得正态分布在统计学中应用广泛，特别适合描述大量独立测量所得数据的分布情况。
当随机误差服从正态分布时，意味着在测量或实验中产生的误差是无偏的，即随机误差在正负方向上等概率出现，不会对结果产生系统性的影响。
这种误差分布的特性有助于科学家们更好地理解和评估实验数据的可靠性，从而提高实验的准确性和可重复性。
在实际应用中，随机误差的正态分布特点常常体现在各种测量和调查中。
例如，在物理实验中，测量仪器的精度限制和环境因素的干扰可能导致随机误差的产生，而这些误差往往呈现出正态分布的特征。
在社会调查中，由于受访者个体差异和调查方法的局限性，随机误差也会以正态分布的形式存在，影响着统计数据的准确性和可信度。
中心扩展是指正态分布曲线在均值处向两侧逐渐变陡，形成一个逐渐扩展的中心区域。
这种特点表明大多数数据点集中在均值附近，而远离均值的数据点数量逐渐减少。
中心扩展的特性使得正态分布在描述数据集中心趋势和变异程度时具有重要意义，有助于科学家们更好地分析和解释数据的分布规律。
在实际应用中，中心扩展的特点常常被用于判断数据的离群值和异常情况。
当数据点偏离均值较远时，可能表明存在异常情况或特殊情形，需要进一步检查和验证。
通过观察正态分布曲线的中心扩展情况，可以更直观地了解数据的分布情况，从而有效识别异常值并减少误判的可能性。
总的来说，随机误差的正态分布特点体现了数据分布的一种普遍规律，具有中心对称和中心扩展的特性。
随机误差的正态分布曲线
误差的表示方法
• 绝对误差：测量值与真实值间的差值
xL
• 相对误差：绝对误差与真实值（或测量值）之比 定义：＝ 100% 实际：＝ 100% L x • 引用误差：绝对误差与仪表满量程之比
= 100% xm
9
仪表精度等级的确定
• 依据引用误差，如0.5级表代表其引用误差最大为 0.5% • 我国的仪表等级分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、 2.5和5.0共七个等级。 • 选用仪表时，一般使其最好能工作在不小于满刻 度值2/3的区域。
• 由于2.0%＞1.5%，因此，该电流表已不合格，但 可做精度为2.5级表使用。
11
18.2 测量误差的处理 18.2.1随机误差的统计处理
• 1、随机误差的正态分布曲线
– 单峰性：绝对值小的随机误差出现的概率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于绝对值大的随机误差出现
的概率。
– 有界性：随机误差的绝对值是有限的。 – 对称性：随着测量次数的增加，绝对值相等、符号相反的随机误差的出
• 若总的误差已确定，要确定各环节的误差大小以保证总的 误差不超过允许值，这一过程称为误差的分配 • 误差分配有助于在进行测量工作前，根据给定的允许测量 总误差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各环节 误差，以保证测量精度。误差分配应考虑测量过程中所有 误差组成项的分配问题。 • 误差的分配一般地说有无穷多个方案，因此往往在某些假 设条件下进行分配。
– 理论真值是在理想情况下表征一个物理量真实状态或属性的值， 它通常客观存在但不能实际测量得到，或者是根据一定的理论所 定义的数值（如三角形三内角之和为180度）。 – 约定真值是为了达到某种目的按照约定的办法所确定的值（如光 速为30万公里每秒），或以高精度等级仪器的测量值约定为低精 度等级仪器测量值的真值。
随机误差的统计分布实验报告
一、实验目的1. 了解随机误差的基本概念和统计分布规律。
2. 通过实验验证随机误差的统计分布特性。
3. 掌握利用统计方法分析随机误差的方法。
二、实验原理随机误差是指由于测量条件难以完全控制而引起的偶然性误差。
在物理测量中，当重复测量次数足够多时，随机误差通常服从或接近正态分布。
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有以下特点：1. 有界性：随机误差的绝对值（幅度）均不超过一定的界限。
2. 单峰性：绝对值（幅度）小的随机误差总要比绝对值（幅度）大的随机误差出现的概率大。
3. 对称性：绝对值（幅度）等值而符号相反的随机误差出现的概率接近相等。
4. 抵偿性：当等精度重复测量次数足够大时，所有测量值的随机误差的代数和为零。
本实验通过测量时间间隔，利用统计方法分析随机误差的分布规律。
三、实验仪器与设备1. 电子秒表或毫秒计2. 摆钟或节拍器等具有固定周期事件的装置3. 数据处理软件（如Excel、Origin等）四、实验步骤1. 检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零。
2. 将摆钟或节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在等精度条件下重复测量150-200次，记录每次的测量结果。
3. 将测量数据输入数据处理软件，进行数据处理。
4. 绘制测量数据的直方图，观察其分布规律。
5. 利用数据处理软件拟合正态分布曲线，并与直方图进行比较。
6. 分析随机误差的分布规律，验证正态分布特性。
五、实验结果与分析1. 直方图分析将实验数据输入数据处理软件，绘制直方图，观察其分布规律。
根据直方图，可以得出以下结论：（1）随机误差的绝对值（幅度）均不超过一定的界限，符合有界性。
（2）随机误差的分布呈现单峰性，绝对值（幅度）小的随机误差出现的概率较大。
（3）随机误差的分布对称，符合对称性。
2. 正态分布拟合利用数据处理软件拟合正态分布曲线，并与直方图进行比较。
根据拟合结果，可以得出以下结论：（1）随机误差的分布基本符合正态分布，其概率密度函数呈钟形曲线。
随机误差的正态分布
2 有效数4时舍; 尾数≥6时入
尾数＝5时, 若后面数为0, 舍5成双;若5后面还有 不是0的任何数皆入
例 下列值修约为四位有效数字 0.324 74 0.324 75 0.324 76 0.324 85 0.324 851
0.324 7 0.324 8 0.324 8 0.324 8 0.324 9
它是由某些无法控制和避免的偶然因素造成 的。如：测定时环境温度、湿度、气压的微小波 动，仪器性能的微小变化，或个人一时的辨别的 差异而使读数不一致等。 如：天平和滴定管最后一位读数的不确定性。
它的特点：大小和方向都不固定，也无法测量 或校正。
10
除这两种误差外，往往可能由于工作上粗枝大 叶不遵守操作规程等而造成的“过失误差”。 过失
对数关系
若 R=mlgA, 则
ER
0.434m
EA A
分析结果的相对误差是测量值的相对误差 的指数倍。
28
（二）偶然误差 1、加减法 若 R=A+B-C, 则 SR2=SA2+SB2+SC2 若 R=aA+bB-cC+…, 则 SR2=a2SA2+b2SB2+c2SC2+…
分析结果的标准偏差的平方是各测量步骤标 准偏差的平方总和。
64若以样本平均值来估计总体平均值可能存在的区间可按下式进行估算对于少量测量数据必须根据t分布进行统计处理按t的定义可得出65它表示在一定置信度下以平均值为中心包括总体平均值的范围即平均值的置信区间
§3.1 分析化学中的误差
一、基本概念
1．真值 某一物理量本身具有的客观存在的真实数值，即 为该量的真值。一般说来，真值是未知的，但下 列情况的真值可以认为是知道的： a.理论真值 如某化合物的理论组成
误差的基本性质-随机误差
在正态分布条件下，满足最大似然原理：
该测量事件发生的概率最大
二、残余误差 由算术平均值原理可知，算术平均值是真 值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计 算得到的误差称为残余误差。 在规定测量条件下，同一被测量的测量列 x1，x2，…，xn有算术平均值： 1 n x xi n i 1 则称：
50
40
30
20
10
0 0.114 0.116 0.118
0.12
0.122 0.124 0.126 0.128
对于测量状态不完好的光电类测量仪 器，特别是对传动机械部件磨损较严重 而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误 差可能就呈现其他分布的特征。
激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源
氦氖激光源辐 射激光束的频 率不够稳定造 成激光波长的 漂移 放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动 操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当 离散化采样误差、 各次装夹定位不 一致 CCD光电探测器 采集信号及其电 信号处理电路造 成干涉图像信号 的随机噪声
六、t 分布
设随机变量 X与 Y相互独立， X服从标准正态分布 N （0，1），Y服从自由度为υ的χ2分布，则随机变量
t X Y /
(
服从自由度为的t 学生氏 分布
其概率密度函数为：
1
2 f x )
( )
2
(1
x2
)
1
2
其特征量分别为: E[ ] 0;
如果这组数据是来自于某测量总体的一个 样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标 准差的一个估计，称其为样本标准差，又称为 实验标准差。
分析化学第四章误差与实验数据的处理
二、正态分布（高斯分布）
大量不含系统误差的测量数据一般遵从正态分布规律，这种 分布特性就是满足高斯方程的正态概率密度函数。
y f ( x)
1 2
( x )2
e 2 2
Y表示概率密度，x为单次测定值，µ为无限次测量的算术平 均值，即总体平均值（没有系统误差时，就是真值），ơ为 无限次测量的标准偏差
第三章误差与实验数据的处理
由统计学可得平均值的标 准偏差与单次测量的标准 偏差关系为：
对于有限次测量，则
第三章误差与实验数据的处理
式中
s x
称样本平均值的标准偏差。由以上两式
可以看出，平均值的标准偏差与测定次数的平
方根成反比。因此增加测定次数可以提高测定
的精密度。
第三章误差与实验数据的处理
(五）准确度和精密度的关系(p81图4-3）
偏差越大，精密度越低
偏差
绝对偏差
相对偏差
第三章误差与实验数据的处理
1.绝对偏差（d）=个别测定值—多次平均值= Xi X
2.相对偏差（dr)=
d
x
*100
0 0
偏差是用来衡量某个别测定值与平均值 的接近程度
若要衡量总体测定值与平均值 的接近程度，可用平均偏
差（均差）
3.3 平均偏差( d )= x1 x x2 x ........ xn x d1 d2 ....... dn
第三章误差与实验数据的处理
平均值1.62% 所在的组（第 五组）具有最 大的频率值， 处于它两侧的 数据组，其频 率值仅次之。 统计结果表明： 测定值出现在 平均值附近的 频率相当高， 具有明显的集 中趋势；而与 平均值相差越 大的数据出现 的频率越小。
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2
对高斯在方无程限的多理次解测: 量中，某单一测量值 xi出现的概率密度。
正态分布曲线是高斯
方程的形象化表示
由高斯方程数学计
y
算得曲线上两拐点:
a
b.
a. , 1
2
b. , 1
2
- + x
0
X-
2.正态分布曲线的讨论
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准差
表示为N(, 2)
特点: （1）y极大值在 x = μ 处；
于x = μ 对称； x 轴为渐近线. （2）拐点在 x = μ ± σ 处.
（1）测定值的正态分布
对称性: 曲线以x =这条直线为对称轴.
表明测量数据具有明显的向总体平
均值集中的趋势；
决定正态分布曲线的中心位置。
测量值出现正,负误差的机会相等.
(-2 , +2 )
95.5
(-2.58, 2.58) (-3, +3)
(-2.58 , +2.58 ) (-3 , +3 )
99.0 99.7
例1-2 在消除了系统误差的情况下，某土壤 试样中有机质的含量经多次测定，获得总体
平均值为2.64%。若σ=0.1%，
求⑴分析结果落在(2.64±0.20)%区间的概率; ⑵分析结果大于2.90%的概率.
单峰性: x =时,y值最大,表现为一个峰形.
y 1
2π
σ决定正态分布曲线的形状； σ越小，数据越集中，测定值落在 附近的概率越大。
当 σ ，µ确定，正态分布曲线的位置和形状也确定， σ ，µ 为正态分布的基本参数， 正态分布用N(, 2)表示
—决定曲线的中心位置，代表数据集中趋势， 集中程度与σ 有关。
| u | 面积 | u 面积 | u 面积 | u 面积
0.674 0.2500 1.000 0.3413 1.645 0.4500 1.960 0.4750
2.000 0.4773 2.576 0.4950 3.000 0.4987 0.500 0.1915 1.500 0.4332 2.500 0.4938
§1—2 随机误差的正态分布
一、频率分布（p83）
相同条件下，对一合金中铁的质量分数进行重复 测定,得到100个测量值。 对这些测量值进行整理,
分析: 算出极差 R=0.29 ，将100个测量值由小
到大排列, 分为10组,每组组距为0.03。
统计各组频数、相对频数（频率）、频率密度 频率密度=频率/组距
做图
频率密度直方图和频率密度多边形
测定值随机分布特点：离散性、集中趋势
y
若测量次数n→,组分得非常多,则直方图形 状将逐渐趋于一条平滑的曲线,即正态分布曲线， 且测量值具有明显的向中心集中的趋势.
a
b.
-
+
x
二、正态分布
1.正态分布曲线的数学表达式 ——高斯方程
1 大量不含系统误差的测量数据一般遵x从正2态2 2
0.5000
测量值与随机误差的区间概率
u
x
y
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
-3
-2
-1
0
1
2
3
u
随机误差出现的区间u （以为单位）
测量值出现的区间
概率 %
（-1, +1)
(-1 , +1 )
68.3
(-1.96, +1.96) (-1.96 , +1.96 ) 95.0
(-2, +2)
0
u
P=95.5%
½a
=0.47%
1
2
3
2.6
P 置信度
a 显著性水平
P+a=1
1 2 3 4u
2 3 x- + +2 +3 x
三、随机误差区间概率
随机误差在某一区间出现的概率,可通过 计算u值,再查正态分布概率积分表(p88表4-2),
可求得P. 如： x 在 区间,
u x 1
查 u= 1 得 P =0.3413268.3%
正态分布概率积分表（部分数值）
（1）解
查表4-2：u=2.0 时，概率为：
P =2 0.4773 = 0.955
(2) u x 2.90% 2.64% 2.6
0.10%
查表，P =0.4953，
所求概率为：0.5000-0.4953=0.0047 =0.47%
y
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
-3 -2 -1
同理，由标准正态分布曲线方程还
可求得在无限多次测量中，某一范围内测
量值或随机误差出现的机会（概率）的最
终趋势是多少.
即
P u2
1
u2
e 2 du
u1 2
标准正态分布曲线 N (0,1)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1
-3 -2 - -3 -2 -
0
0
68.3% 95.5%
99.7%
一般符合正态分的规律和特点。
（2）随机误差的正态分布
1.小误差出现的概率大, 大误差出现的概率小, 特大误差概率极小;
2.正、负误差出现的概率相等.
正态分布曲线定量意义： 某段曲线下的面积则为概率.
（3）标准正态分布
横坐标改用u表示
u
x
u2
f (x) 1 e 2
2
e 即 : y (u) 1
--决定曲线形状，代表数据分散程度
1= 2 1<2
2>1， 2= 2
有界性: 在没有系统误差存在下,为真值.
测量值远离的概率小 ,即大误差的测量
值出现机会少,极大误差测量值出现机会 微乎其微。 因此,实际测量结果总是被限制在 一定范围内波动,是有界的.
对于同一总体，随机误差的分布与测量值 的分布相同，
u2 2
2
——标准正态分布曲线方程
正态分布曲线—→标准正态分布曲线， 位置与形状完全相同。
任何一种正态分布（μ, 2)都可以通过 参数（μ，σ）代换转换为：
标准正态分布N（0，1）。 标准正态分布曲线下(u从+∞到-∞)的面积
为同一总体的全部测定值或随机误差
在这一区间出现的概率总和：
(u)du 1