高考数学专题一
高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件
题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
全国统一高考数学试卷(新课标)(含解析版)(1)
全国统一高考数学试卷(新课标)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|≤4,x∈Z},则A∩B=()A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2}2.(5分)平面向量,已知=(4,3),=(3,18),则夹角的余弦值等于()A.B.C.D.3.(5分)已知复数Z=,则|z|=()A.B.C.1D.24.(5分)曲线y=x3﹣2x+1在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x﹣1B.y=﹣x+1C.y=2x﹣2D.y=﹣2x+25.(5分)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()A.B.C.D.6.(5分)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,﹣),角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()A.B.C.D.7.(5分)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa28.(5分)如果执行如图的框图,输入N=5,则输出的数等于()A.B.C.D.9.(5分)设偶函数f(x)满足f(x)=2x﹣4(x≥0),则{x|f(x﹣2)>0}=()A.{x|x<﹣2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<﹣2或x>2}10.(5分)若cos α=﹣,α是第三象限的角,则sin(α+)=()A.B.C.D.11.(5分)已知▱ABCD的三个顶点为A(﹣1,2),B(3,4),C(4,﹣2),点(x,y)在▱ABCD 的内部,则z=2x﹣5y的取值范围是()A.(﹣14,16)B.(﹣14,20)C.(﹣12,18)D.(﹣12,20)12.(5分)已知函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为.14.(5分)设函数y=f(x)为区间(0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S,先产生两组(每组N个),区间(0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,x n和y1,y2,…,y n,由此得到N个点(x,y)(i﹣1,2…,N).再数出其中满足y1≤f(x)(i=1,2…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为.15.(5分)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱.16.(5分)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=,∠ADB=135°.若AC=AB,则BD=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=﹣9.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.18.(10分)如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;(Ⅱ)若AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.19.(10分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如表:男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的比例;(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?(3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例?说明理由.P(K2≥k)0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附:K2=.20.(10分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E 相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(Ⅰ)求|AB|;(Ⅱ)若直线l的斜率为1,求b的值.21.设函数f(x)=x(e x﹣1)﹣ax2(Ⅰ)若a=,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.22.(10分)如图:已知圆上的弧,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:(Ⅰ)∠ACE=∠BCD.(Ⅱ)BC2=BE•CD.23.(10分)已知直线C1(t为参数),C2(θ为参数),(Ⅰ)当α=时,求C1与C2的交点坐标;(Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线,垂足为A,P为OA中点,当α变化时,求P点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.24.(10分)设函数f(x)=|2x﹣4|+1.(Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象:(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.全国统一高考数学试卷(新课标)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|≤4,x∈Z},则A∩B=()A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2}【考点】1E:交集及其运算.【专题】11:计算题.【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2},B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},从而可求【解答】解:∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4,x∈Z}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}则A∩B={0,1,2}故选:D.【点评】本题主要考查了集合的交集的求解,解题的关键是准确求解A,B,属于基础试题2.(5分)平面向量,已知=(4,3),=(3,18),则夹角的余弦值等于()A.B.C.D.【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.【分析】先设出的坐标,根据a=(4,3),2a+b=(3,18),求出坐标,根据数量积的坐标公式的变形公式,求出两个向量的夹角的余弦【解答】解:设=(x,y),∵a=(4,3),2a+b=(3,18),∴∴cosθ==,故选:C.【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值,数量积的主要应用:①求模长;②求夹角;③判垂直,实际上在数量积公式中可以做到知三求一.3.(5分)已知复数Z=,则|z|=()A.B.C.1D.2【考点】A5:复数的运算.【专题】11:计算题.【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=,由复数的模长公式可得答案.【解答】解:化简得Z===•=•=•=,故|z|==,故选:B.【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,涉及复数的模长,属基础题.4.(5分)曲线y=x3﹣2x+1在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x﹣1B.y=﹣x+1C.y=2x﹣2D.y=﹣2x+2【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】1:常规题型;11:计算题.【分析】欲求在点(1,0)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.【解答】解:验证知,点(1,0)在曲线上∵y=x3﹣2x+1,y′=3x2﹣2,所以k=y′|x﹣1=1,得切线的斜率为1,所以k=1;所以曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为:y﹣0=1×(x﹣1),即y=x﹣1.故选:A.【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.5.(5分)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()A.B.C.D.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11:计算题.【分析】先求渐近线斜率,再用c2=a2+b2求离心率.【解答】解:∵渐近线的方程是y=±x,∴2=•4,=,a=2b,c==a,e==,即它的离心率为.故选:D.【点评】本题考查双曲线的几何性质.6.(5分)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,﹣),角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()A.B.C.D.【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【分析】本题的求解可以利用排除法,根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案.【解答】解:通过分析可知当t=0时,点P到x轴距离d为,于是可以排除答案A,D,再根据当时,可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0,排除答案B,故选:C.【点评】本题主要考查了函数的图象,以及排除法的应用和数形结合的思想,属于基础题.7.(5分)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2【考点】LG:球的体积和表面积.【专题】11:计算题.【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式,由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则长方体的对角线即为球的直径,即球的半径R满足(2R)2=6a2,代入球的表面积公式,S球=4πR2,即可得到答案.【解答】解:根据题意球的半径R满足(2R)2=6a2,所以S=4πR2=6πa2.球故选:B.【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长.8.(5分)如果执行如图的框图,输入N=5,则输出的数等于()A.B.C.D.【考点】EF:程序框图.【专题】28:操作型.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出S=的值.【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出S=的值.∵S==1﹣=故选:D.【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是::①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.9.(5分)设偶函数f(x)满足f(x)=2x﹣4(x≥0),则{x|f(x﹣2)>0}=()A.{x|x<﹣2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<﹣2或x>2}【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.【专题】11:计算题.【分析】由偶函数f(x)满足f(x)=2x﹣4(x≥0),可得f(x)=f(|x|)=2|x|﹣4,根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数,再求解不等式,可得答案.【解答】解:由偶函数f(x)满足f(x)=2x﹣4(x≥0),可得f(x)=f(|x|)=2|x|﹣4,则f(x﹣2)=f(|x﹣2|)=2|x﹣2|﹣4,要使f(|x﹣2|)>0,只需2|x﹣2|﹣4>0,|x﹣2|>2解得x>4,或x<0.应选:B.【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力,解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数,从而简化计算.10.(5分)若cos α=﹣,α是第三象限的角,则sin(α+)=()A.B.C.D.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;GP:两角和与差的三角函数.【专题】11:计算题.【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值,进而利用两角和与差的正弦函数求得答案.【解答】解:∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣,所以sin(α+)=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣.故选:A.【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数,以及同角三角函数的基本关系的应用.根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的.11.(5分)已知▱ABCD的三个顶点为A(﹣1,2),B(3,4),C(4,﹣2),点(x,y)在▱ABCD的内部,则z=2x﹣5y的取值范围是()A.(﹣14,16)B.(﹣14,20)C.(﹣12,18)D.(﹣12,20)【考点】7C:简单线性规划.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系,利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键.结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围.【解答】解:由已知条件得⇒D(0,﹣4),由z=2x﹣5y得y=,平移直线当直线经过点B(3,4)时,﹣最大,即z取最小为﹣14;当直线经过点D(0,﹣4)时,﹣最小,即z取最大为20,又由于点(x,y)在四边形的内部,故z∈(﹣14,20).如图:故选B.【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系,用到向量坐标与点坐标之间的关系,体现了向量的工具作用,考查学生线性规划的理解和认识,考查学生的数形结合思想.属于基本题型.12.(5分)已知函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【考点】3A:函数的图象与图象的变换;3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;4H:对数的运算性质;4N:对数函数的图象与性质.【专题】13:作图题;16:压轴题;31:数形结合.【分析】画出函数的图象,根据f(a)=f(b)=f(c),不妨a<b<c,求出abc的范围即可.【解答】解:作出函数f(x)的图象如图,不妨设a<b<c,则ab=1,则abc=c∈(10,12).故选:C.【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为x2+y2=2.【考点】J1:圆的标准方程;J9:直线与圆的位置关系.【分析】可求圆的圆心到直线的距离,就是半径,写出圆的方程.【解答】解:圆心到直线的距离:r=,所求圆的方程为x2+y2=2.故答案为:x2+y2=2【点评】本题考查圆的标准方程,直线与圆的位置关系,是基础题.14.(5分)设函数y=f(x)为区间(0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S,先产生两组(每组N个),区间(0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,x n和y1,y2,…,y n,由此得到N个点(x,y)(i﹣1,2…,N).再数出其中满足y1≤f(x)(i=1,2…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为.【考点】CE:模拟方法估计概率;CF:几何概型.【分析】由题意知本题是求∫01f(x)dx,而它的几何意义是函数f(x)(其中0≤f(x)≤1)的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积,积分得到结果.【解答】解:∵∫01f(x)dx的几何意义是函数f(x)(其中0≤f(x)≤1)的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积,∴根据几何概型易知∫01f(x)dx≈.故答案为:.【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到.15.(5分)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的①②③⑤(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱.【考点】L7:简单空间图形的三视图.【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】一个几何体的正视图为一个三角形,由三视图的正视图的作法判断选项.【解答】解:一个几何体的正视图为一个三角形,显然①②⑤正确;③是三棱柱放倒时也正确;④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形;故答案为:①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图,考查空间想象能力,是基础题.16.(5分)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=,∠ADB=135°.若AC=AB,则BD=2+.【考点】HR:余弦定理.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB,AC,把已知条件代入整理,根据BC=3BD推断出CD=2BD,进而整理AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB,代入整理,最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD.【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又BC=3BD所以CD=2BD所以由(2)得AC2=4BD2+2﹣4BD(3)因为AC=AB所以由(3)得2AB2=4BD2+2﹣4BD (4)(4)﹣2(1)BD2﹣4BD﹣1=0求得BD=2+故答案为:2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用.考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=﹣9.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.【考点】84:等差数列的通项公式;85:等差数列的前n项和.【分析】(1)设出首项和公差,根据a3=5,a10=﹣9,列出关于首项和公差的二元一次方程组,解方程组得到首项和公差,写出通项.(2)由上面得到的首项和公差,写出数列{a n}的前n项和,整理成关于n的一元二次函数,二次项为负数求出最值.【解答】解:(1)由a n=a1+(n﹣1)d及a3=5,a10=﹣9得a1+9d=﹣9,a1+2d=5解得d=﹣2,a1=9,数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n(2)由(1)知S n=na1+d=10n﹣n2.因为S n=﹣(n﹣5)2+25.所以n=5时,S n取得最大值.【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数,当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值,因此它具备函数的特性.18.(10分)如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;(Ⅱ)若AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LY:平面与平面垂直.【专题】11:计算题;14:证明题;35:转化思想.【分析】(Ⅰ)要证平面PAC⊥平面PBD,只需证明平面PAC内的直线AC,垂直平面PBD内的两条相交直线PH,BD即可.(Ⅱ),∠APB=∠ADB=60°,计算等腰梯形ABCD的面积,PH是棱锥的高,然后求四棱锥P﹣ABCD的体积.【解答】解:(1)因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高.所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平PHD内,且PH∩BD=H.所以AC⊥平面PBD.故平面PAC⊥平面PBD(6分)(2)因为ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=.所以HA=HB=.因为∠APB=∠ADB=60°所以PA=PB=,HD=HC=1.可得PH=.等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+(9分)所以四棱锥的体积为V=×(2+)×=.(12分)【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,考查空间想象能力,计算能力,推理能力,是中档题.19.(10分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如表:男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的比例;(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?(3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例?说明理由.P(K2≥k)0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附:K2=.【考点】BL:独立性检验.【专题】11:计算题;5I:概率与统计.【分析】(1)由样本的频率率估计总体的概率,(2)求K2的观测值查表,下结论;(3)由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关,则可按性别分层抽样.【解答】解:(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此在该地区老年人中,需要帮助的老年人的比例的估计值为(2)K2的观测值因为9.967>6.635,且P(K2≥6.635)=0.01,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.(3)根据(2)的结论可知,该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关,并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男女两层,并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好.【点评】本题考查了抽样的目的,独立性检验的方法及抽样的方法选取,属于基础题.20.(10分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(Ⅰ)求|AB|;(Ⅱ)若直线l的斜率为1,求b的值.【考点】K4:椭圆的性质.【专题】15:综合题.【分析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,再由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,能够求出|AB|的值.(2)L的方程式为y=x+c,其中,设A(x1,y1),B(x1,y1),则A,B两点坐标满足方程组,化简得(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0.然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小.【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得(2)L的方程式为y=x+c,其中设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组.,化简得(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0.则.因为直线AB的斜率为1,所以即.则.解得.【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系,解题时要注意公式的灵活运用.21.设函数f(x)=x(e x﹣1)﹣ax2(Ⅰ)若a=,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【专题】15:综合题;53:导数的综合应用.【分析】(I)求导函数,由导数的正负可得函数的单调区间;(II)f(x)=x(e x﹣1﹣ax),令g(x)=e x﹣1﹣ax,分类讨论,确定g(x)的正负,即可求得a的取值范围.【解答】解:(I)a=时,f(x)=x(e x﹣1)﹣x2,=(e x﹣1)(x+1)令f′(x)>0,可得x<﹣1或x>0;令f′(x)<0,可得﹣1<x<0;∴函数的单调增区间是(﹣∞,﹣1),(0,+∞);单调减区间为(﹣1,0);(II)f(x)=x(e x﹣1﹣ax).令g(x)=e x﹣1﹣ax,则g'(x)=e x﹣a.若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时g(x)≥0,即f(x)≥0.若a>1,则当x∈(0,lna)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x∈(0,lna)时,g(x)<0,即f(x)<0.综合得a的取值范围为(﹣∞,1].另解:当x=0时,f(x)=0成立;当x>0,可得e x﹣1﹣ax≥0,即有a≤的最小值,由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1,当x>0时,函数y递增;x<0时,函数递减,可得函数y取得最小值0,即e x﹣x﹣1≥0,x>0时,可得≥1,则a≤1.【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.22.(10分)如图:已知圆上的弧,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:(Ⅰ)∠ACE=∠BCD.(Ⅱ)BC2=BE•CD.【考点】N9:圆的切线的判定定理的证明;NB:弦切角.【专题】14:证明题.【分析】(I)先根据题中条件:“”,得∠BCD=∠ABC.再根据EC是圆的切线,得到∠ACE=∠ABC,从而即可得出结论.(II)欲证BC2=BE x CD.即证.故只须证明△BDC~△ECB即可.【解答】解:(Ⅰ)因为,所以∠BCD=∠ABC.又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD.(5分)(Ⅱ)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,所以△BDC~△ECB,故.即BC2=BE×CD.(10分)【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识,考查运化归与转化思想.属于基础题.23.(10分)已知直线C1(t为参数),C2(θ为参数),(Ⅰ)当α=时,求C1与C2的交点坐标;(Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线,垂足为A,P为OA中点,当α变化时,求P点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【考点】J3:轨迹方程;JE:直线和圆的方程的应用;Q4:简单曲线的极坐标方程;QJ:直线的参数方程;QK:圆的参数方程.【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】(I)先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程,再联立方程组求出交点坐标即可,(II)设P(x,y),利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程,消去参数即得普通方程,由普通方程即可看出其是什么类型的曲线.【解答】解:(Ⅰ)当α=时,C1的普通方程为,C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组,解得C1与C2的交点为(1,0).(Ⅱ)C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①.则OA的方程为xcosα+ysinα=0②,联立①②可得x=sin2α,y=﹣cosαsinα;A点坐标为(sin2α,﹣cosαsinα),故当α变化时,P点轨迹的参数方程为:,P点轨迹的普通方程.故P点轨迹是圆心为,半径为的圆.【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,利用参数方程研究轨迹问题的能力.24.(10分)设函数f(x)=|2x﹣4|+1.(Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象:(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.【考点】3A:函数的图象与图象的变换;7E:其他不等式的解法;R5:绝对值不等式的解法.【专题】11:计算题;13:作图题;16:压轴题.【分析】(I)先讨论x的范围,将函数f(x)写成分段函数,然后根据分段函数分段画出函数的图象即可;(II)根据函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知先寻找满足f(x)≤ax的零界情况,从而求出a的范围.【解答】解:(Ⅰ)由于f(x)=,函数y=f(x)的图象如图所示.(Ⅱ)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,极小值在点(2,1)当且仅当a<﹣2或a≥时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪[,+∞).【点评】本题主要考查了函数的图象,以及利用函数图象解不等式,同时考查了数形结合的数学思想,属于基础题.。
高考数学练习卷(答案) (1)
高考数学试卷(满分120分,考试时间120分钟)一、选择题:(本题共20小题,每小题3分,共60分)1、函数)65(log 221+-=x x y 的单调区间为()A .⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,25B .()+∞,3C .⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-25,D .()2,∞-2、若8.0log ,6log ,log 273===c b a π,则()A .cb a >>B .ca b >>C .ba c >>D .ac b >>3、函数44()sin ()sin ()44f x x x ππ=+--是()A、周期为π的奇函数B、周期为π的偶函数C、周期为2π的奇函数D、周期为2π的偶函数4、点P(-3,-2)到直线4x-3y+1=0的距离等于(B )A.-1B.1C.3D.-25、过两点A (2,)m -,B(m ,4)的直线倾斜角是45︒,则m 的值是(C )。
A、-2B、4C 、1D、-36.某商场准备了5份不同礼品全部放入4个不同彩蛋中,每个彩蛋至少有一份礼品的放法有()A.280种B.240种C.180种D.144种7.空间两直线m l 、在平面βα、上射影分别为1a 、1b 和2a 、2b ,若1a ∥1b ,2a 与2b 交于一点,则l 和m 的位置关系为()(A)一定异面(B)一定平行(C)异面或相交(D)平行或异面8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是()(A)4条(B)6条(C)8条(D)10条9.已知四棱锥P-ABCD 的底面为平行四边形,设x=2PA2+2PC2-AC2,y=2PB2+2PD2-BD2,则x,y 之间的关系为()(A)x>y(B)x=y(C)x<y(D)不能确定10.已知点),(y x P 在由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x 确定的平面区域内,O 为坐标原点,点A (-1,2),则AOP OP ∠⋅cos ||的最大值是()A.55-B.553C.0D.511.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则=()A.B.C.D.12.直线的倾斜角为()A. B.C. D.13.若,且为第四象限角,则的值等于()A.B. C.D.14.函数的定义域是()A.B. C.D.15.若,,则的坐标是()A.B. C.D.以上都不对16.在等差数列中,已知,且,则与的值分别为()A.-2,3B.2,-3C.-3,2D.3,-217.设,“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件18.函数的图象如图所示,则最大、最小值分别为()A. B.C. D.19.设,,,其中为自然对数的底数,则,,的大小关系是()A. B. C. D.20.设,,,都为正数,且不等于,函数,,,在同一坐标系中的图象如图所示,则,,,的大小顺序是()B.C. D.二、填空题(共计30分)1、如图,在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点0,点E,E 是边AD 的中点,点F 在对角线AC 上,且AF=-AC,连接EF.若AC=10,则EF=______.2、圆锥的表面积是底面积的3倍,则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为_____.3、设5,1-x ,55成等比数列,则=x _______4、在等比数列{}n a 中,已知0>n a ,252645342=⋅+⋅+⋅a a a a a a ,则_______5、在等差数列{}n a 中,已知19,2321=+=a a a ,则456a a a ++=_______6、在等差数列{}n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则82a a +=_______7、点),1(b E ,()2,3--F 的中点坐标是()21,-,则=b _______8、已知5),2,1(),,3(=--MN N b M ,则b=_______9、两平行直线0562013=-+=-+y x y x 与的距离是_______10、若直线08)3(1=-++=-my x m y x 与直线平行,则=m _______三、大题:(满分30分)1、已知数列}{n a 是递增的等比数列,且893241==+a a a a ,,求数列}{n a 的通项公式。
高考数学第一题集合
高考数学第一题集合题目:高考数学第一题集合正文:一、集合的基础概念集合是数学中的一种基本概念,它是由若干确定的元素组成的总体。
在高考数学中,我们常常会遇到关于集合的问题。
下面,就让我们一起来了解一些关于集合的基础知识。
1.1 集合的定义与表示法集合是由若干确定的元素组成的总体,我们通常用大写字母A、B等来表示集合。
而集合中的元素则用小写字母a、b等表示。
例如,我们可以表示一个集合A={1, 2, 3, 4},其中元素1、2、3、4都属于集合A。
1.2 集合的性质集合有一些基本性质,包括空集、全集、子集、真子集等。
空集是不包含任何元素的集合,用符号∅表示;全集则是指某一给定范围内的元素构成的集合,用符号U表示;而子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素,用符号⊆表示。
如果一个集合是另一个集合的子集,并且两个集合不相等,则称这个子集为真子集。
1.3 常见的集合运算在高考数学中,我们会遇到一些常见的集合运算,包括并、交、差、补等。
集合的并是指包含两个或更多个集合中的所有元素的新集合,用符号∪表示;集合的交则是指两个或更多个集合中共有的元素构成的新集合,用符号∩表示;而集合的差是指从一个集合中减去另一个集合的所有元素所构成的新集合,用符号−表示;集合的补是指给定集合中不属于另一个集合的元素所构成的新集合,用符号'表示。
二、高考数学集合题的解题方法在高考数学中,集合题是一种常见的考点。
下面,我们来了解一些常用的解题方法。
2.1 集合图示法集合图示法是一种直观的解题方法,它通过用图形的方式表示集合,帮助我们更清晰地理解和解题。
例如,我们可以通过用圆形来表示集合,用交叉部分表示集合的交,用圆周上未填充的部分表示集合的差等。
2.2 元素法元素法是一种逐个检查集合元素的解题方法。
通过逐个检查集合元素是否符合给定条件,我们可以确定一个集合的内容。
例如,当解决集合的并、交、差等问题时,我们可以逐个检查集合中的元素,再通过运算规则得出结果。
高考数学试题及答案 (1)
普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ参考公式:棱锥的体积13V Sh =, 其中S 为底面积, h 为高. 一、填空题:本大题共14小题, 每小题5分, 共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......上.. 1.已知集合{124}A =,,, {246}B =,,, 则A B = ▲ .2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本, 则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. 3.设a b ∈R ,, 117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位), 则a b +的值 为 ▲ .4.右图是一个算法流程图, 则输出的k 的值是 ▲ . 5.函数6()12log f x x =-的定义域为 ▲ .6.现有10个数, 它们能构成一个以1为首项, 3-为公比的 等比数列, 若从这10个数中随机抽取一个数, 则它小于8 的概率是 ▲ .7.如图, 在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==, 12cm AA =, 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3.8.在平面直角坐标系xOy 中, 若双曲线22214x y m m -=+的离心率5 则m 的值为 ▲ .9.如图, 在矩形ABCD 中, 22AB BC ==,点E 为BC 的中点, 点F 在边CD 上, 若2AB AF =, 则AE BF 的值是 ▲ . 10.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数, 在区间[11]-,上,开始 结束k ←1k 2-5k +4>0输出k k ←k +1NY (第4题)FD DABC 1 1D 1A1B(第7题)0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤,,,,其中a b ∈R ,.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则3a b +的值为 ▲ .11.设α为锐角, 若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ .12.在平面直角坐标系xOy 中, 圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点, 使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点, 则k 的最大值是 ▲ . 13.已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ,的值域为[0)+∞,,若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +,, 则实数c 的值为 ▲ . 14.已知正数a b c ,,满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥,,则ba的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题, 共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在ABC ∆中, 已知3AB AC BA BC =. (1)求证:tan 3tan B A =;(2)若5cos C =求A 的值. 16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 1111A B AC =,D E,分别是棱1BC CC ,上的点(点D 不同于点C ), 且AD DE F ⊥,为11B C 的中点. 求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ; (2)直线1//A F 平面ADE .(第9题)1A1C FDCAE1B17.(本小题满分14分) 如图,建立平面直角坐标系xOy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小), 其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.18.(本小题满分16分)若函数()y f x =在x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x =的极值点 已知a , b 是实数, 1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. (1)求a 和b 的值;(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+, 求()g x 的极值点;(3)设()(())h x f f x c =-, 其中[22]c ∈-,, 求函数()y h x =的零点个数.19.(本小题满分16分)如图, 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -,,2(0)F c ,.已知(1)e ,和3e ⎛ ⎝⎭,都在椭圆上, 其中e(第16题)x (千米y (千米)O(第17题)(1)求椭圆的离心率;(2)设A , B 是椭圆上位于x 轴上方的两点, 且直线1AF与直线2BF 平行, 2AF 与1BF 交于点P .(i )若126AF BF -=, 求直线1AF 的斜率; (ii )求证:12PF PF +是定值.20.(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足:122n n n n n a n a b *+=∈+N .(1)设11n n nb b n a *+=+∈N ,, 求证:数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列;(2)设12nn nb b n a *+=∈N ,, 且{}n a 是等比数列, 求1a 和1b 的值.绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅱ(附加题)21.[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题, 请选定其中两题.......,. 并在相应的答题区域内作...........答...若多做, 则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .[选修4 - 1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图, AB 是圆O 的直径, D , E 为圆上位于AB 异侧的两点, 连结BD 并延长至点C , 使BD= DC , 连结AC , AE , DE . 求证:E C ∠=∠.B .[选修4 - 2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A , 求矩阵A 的特征值.C .[选修4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)(第21-A 题)AED CO在极坐标中,已知圆C 经过点()24Pπ,,圆心为直线()3sin 32ρθπ-=-与极轴的交点, 求圆C 的极坐标方程. D .[选修4 - 5:不等式选讲](本小题满分10分) 已知实数x , y 满足:11|||2|36x y x y +<-<,,求证:5||18y <.【必做题】第22题、第23题, 每题10分, 共计20分.请在答题卡指定区域内........作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设ξ为随机变量, 从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条, 当两条棱相交时, 0ξ=;当两条棱平行时, ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, 1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列, 并求其数学期望()E ξ.23.(本小题满分10分)设集合{12}n P n =,,,…, n *∈N .记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数: ①n A P ⊆;②若x A ∈, 则2x A ∉;③若nP x A ∈, 则2nP x A ∉.(1)求(4)f ;(2)求()f n 的解析式(用n 表示).江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)(2012•江苏)已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∪B= {1,2,4,6} .考点:并集及其运算.专题:集合.分析:由题意,A,B两个集合的元素已经给出,故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答:解:∵A={1,2,4},B={2,4,6},∴A∪B={1,2,4,6}故答案为{1,2,4,6}点评:本题考查并集运算,属于集合中的简单计算题,解题的关键是理解并的运算定义2.(5分)(2012•江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取15 名学生.考点:分层抽样方法.专题:概率与统计.分析:根据三个年级的人数比,做出高二所占的比例,用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例,得到要抽取的高二的人数.解答:解:∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,∴高二在总体中所占的比例是=,∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,∴要从高二抽取,故答案为:15点评:本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例,这就是在抽样过程中被抽到的概率,本题是一个基础题.3.(5分)(2012•江苏)设a,b∈R,a+bi=(i为虚数单位),则a+b的值为8 .考点:复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件.专题:数系的扩充和复数.分析:由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i,再由进行计算即可得到a+bi=5+3i,再由复数相等的充分条件即可得到a,b的值,从而得到所求的答案解答:解:由题,a,b∈R,a+bi=所以a=5,b=3,故a+b=8故答案为8点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容,要熟练掌握,复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁,解题时要注意运用它进行转化.4.(5分)(2012•江苏)图是一个算法流程图,则输出的k的值是 5 .考点:循环结构.专题:算法和程序框图.分析:利用程序框图计算表达式的值,判断是否循环,达到满足题目的条件,结束循环,得到结果即可.解答:解:1﹣5+4=0>0,不满足判断框.则k=2,22﹣10+4=﹣2>0,不满足判断框的条件,则k=3,32﹣15+4=﹣2>0,不成立,则k=4,42﹣20+4=0>0,不成立,则k=5,52﹣25+4=4>0,成立,所以结束循环,输出k=5.故答案为:5.点评:本题考查循环框图的作用,考查计算能力,注意循环条件的判断.5.(5分)(2012•江苏)函数f(x)=的定义域为(0,].考点:对数函数的定义域.专题:函数的性质及应用.分析:根据开偶次方被开方数要大于等于0,真数要大于0,得到不等式组,根据对数的单调性解出不等式的解集,得到结果.解答:解:函数f(x)=要满足1﹣2≥0,且x>0∴,x>0∴,x>0,∴,x>0,∴0,故答案为:(0,]点评:本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题,在解题时一般遇到,开偶次方时,被开方数要不小于0,;真数要大于0;分母不等于0;0次方的底数不等于0,这种题目的运算量不大,是基础题.6.(5分)(2012•江苏)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,﹣3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.考点:等比数列的性质;古典概型及其概率计算公式.专题:等差数列与等比数列;概率与统计.分析:先由题意写出成等比数列的10个数为,然后找出小于8的项的个数,代入古典概论的计算公式即可求解解答:解:由题意成等比数列的10个数为:1,﹣3,(﹣3)2,(﹣3)3…(﹣3)9其中小于8的项有:1,﹣3,(﹣3)3,(﹣3)5,(﹣3)7,(﹣3)9共6个数这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是P=故答案为:点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用,属于基础试题7.(5分)(2012•江苏)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 6 cm3.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:空间位置关系与距离;立体几何.分析:过A作AO⊥BD于O,求出AO,然后求出几何体的体积即可.解答:解:过A作AO⊥BD于O,AO是棱锥的高,所以AO==,所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6.故答案为:6.点评:本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力与计算能力.8.(5分)(2012•江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线的离心率为,则m的值为 2 .考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由双曲线方程得y2的分母m2+4>0,所以双曲线的焦点必在x轴上.因此a2=m>0,可得c2=m2+m+4,最后根据双曲线的离心率为,可得c2=5a2,建立关于m的方程:m2+m+4=5m,解之得m=2.解答:解:∵m2+4>0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m>0,b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为,∴,可得c2=5a2,所以m2+m+4=5m,解之得m=2故答案为:2点评:本题给出含有字母参数的双曲线方程,在已知离心率的情况下求参数的值,着重考查了双曲线的概念与性质,属于基础题.9.(5分)(2012•江苏)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的值是.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:根据所给的图形,把已知向量用矩形的边所在的向量来表示,做出要用的向量的模长,表示出要求得向量的数量积,注意应用垂直的向量数量积等于0,得到结果.解答:解:∵,====||=,∴||=1,||=﹣1,∴=()()==﹣=﹣2++2=,故答案为:点评:本题考查平面向量的数量积的运算.本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式,本题是一个中档题目.10.(5分)(2012•江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[﹣1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若=,则a+3b的值为﹣10 .考点:函数的周期性;分段函数的解析式求法及其图象的作法.专题:函数的性质及应用.分析:由于f(x)是定义在R上且周期为2的函数,由f(x)的表达式可得f()=f(﹣)=1﹣a=f()=;再由f(﹣1)=f(1)得2a+b=0,解关于a,b的方程组可得到a,b的值,从而得到答案.解答:解:∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数,f(x)=,∴f()=f(﹣)=1﹣a,f()=;又=,∴1﹣a=①又f(﹣1)=f(1),∴2a+b=0,②由①②解得a=2,b=﹣4;∴a+3b=﹣10.故答案为:﹣10.点评:本题考查函数的周期性,考查分段函数的解析式的求法,着重考查方程组思想,得到a,b的方程组并求得a,b的值是关键,属于中档题.11.(5分)(2012•江苏)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为.考点:三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦.专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析:先设β=α+,根据cosβ求出sinβ,进而求出sin2β和cos2β,最后用两角和的正弦公式得到sin(2α+)的值.解答:解:设β=α+,∴sinβ=,sin2β=2sinβcosβ=,cos2β=2cos2β﹣1=,∴sin(2α+)=sin(2α+﹣)=sin(2β﹣)=sin2βcos﹣cos2βsin=.故答案为:.点评:本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下,求2α+的正弦值,着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式,考查了三角函数中的恒等变换应用,属于中档题.12.(5分)(2012•江苏)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,若直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.考点:圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系.专题:直线与圆.分析:由于圆C的方程为(x﹣4)2+y2=1,由题意可知,只需(x﹣4)2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可.解答:解:∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,整理得:(x﹣4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴只需圆C′:(x﹣4)2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可.设圆心C(4,0)到直线y=kx﹣2的距离为d,则d=≤2,即3k2﹣4k≤0,∴0≤k≤.∴k的最大值是.故答案为:.点评:本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“(x﹣4)2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键,考查学生灵活解决问题的能力,属于中档题.13.(5分)(2012•江苏)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为9 .考点:一元二次不等式的应用.专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析:根据函数的值域求出a与b的关系,然后根据不等式的解集可得f(x)=c的两个根为m,m+6,最后利用根与系数的关系建立等式,解之即可.解答:解:∵函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),∴f(x)=x2+ax+b=0只有一个根,即△=a2﹣4b=0则b=不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),即为x2+ax+<c解集为(m,m+6),则x2+ax+﹣c=0的两个根为m,m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为:9点评:本题主要考查了一元二次不等式的应用,以及根与系数的关系,同时考查了分析求解的能力和计算能力,属于中档题.14.(5分)(2012•江苏)已知正数a,b,c满足:5c﹣3a≤b≤4c﹣a,clnb≥a+clnc,则的取值范围是[e,7].考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;不等式的综合.专题导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析:由题意可求得≤≤2,而5×﹣3≤≤4×﹣1,于是可得≤7;由c ln b≥a+c ln c可得0<a≤cln,从而≥,设函数f(x)=(x>1),利用其导数可求得f(x)的极小值,也就是的最小值,于是问题解决.解答:解:∵4c﹣a≥b>0∴>,∵5c﹣3a≤4c﹣a,∴≤2.从而≤2×4﹣1=7,特别当=7时,第二个不等式成立.等号成立当且仅当a:b:c=1:7:2.又clnb≥a+clnc,∴0<a≤cln,从而≥,设函数f(x)=(x>1),∵f′(x)=,当0<x<e时,f′(x)<0,当x>e时,f′(x)>0,当x=e时,f′(x)=0,∴当x=e时,f(x)取到极小值,也是最小值.∴f(x)min=f(e)==e.等号当且仅当=e,=e成立.代入第一个不等式知:2≤=e≤3,不等式成立,从而e可以取得.等号成立当且仅当a:b:c=1:e:1.从而的取值范围是[e,7]双闭区间.:本题考查不等式的综合应用,得到≥,通过构造函数求的最小值是关键,也是难点,考查分析与转化、构造函数解决问题的能力,属于难题.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)(2012•江苏)在△ABC中,已知.(1)求证:tanB=3tanA;(2)若cosC=,求A的值.考点:解三角形;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用.专题:三角函数的求值;解三角形;平面向量及应用.分析:(1)利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边,然后两边同时除以c化简后,再利用正弦定理变形,根据cosAcosB≠0,利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA;(2)由C为三角形的内角,及cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值,由tanC的值,及三角形的内角和定理,利用诱导公式求出tan(A+B)的值,利用两角和与差的正切函数公式化简后,将tanB=3tanA代入,得到关于tanA的方程,求出方程的解得到tanA的值,再由A为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.解答:解:(1)∵•=3•,∴cbcosA=3cacosB,即bcosA=3acosB,由正弦定理=得:sinBcosA=3sinAcosB,又0<A+B<π,∴cosA>0,cosB>0,在等式两边同时除以cosAcosB,可得tanB=3tanA;(2)∵cosC=,0<C<π,sinC==,∴tanC=2,则tan[π﹣(A+B)]=2,即tan(A+B)=﹣2,∴=﹣2,将tanB=3tanA代入得:=﹣2,整理得:3tan2A﹣2tanA﹣1=0,即(tanA﹣1)(3tanA+1)=0,解得:tanA=1或tanA=﹣,又cosA>0,∴tanA=1,又A为三角形的内角,则A=.点评:此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:平面向量的数量积运算法则,正弦定理,同角三角函数间的基本关系,诱导公式,两角和与差的正切函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.16.(14分)(2012•江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D 不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直线A1F∥平面ADE.考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.专题:空间位置关系与距离;立体几何.分析:(1)根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,得到CC1⊥平面ABC,从而AD⊥CC1,结合已知条件AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线,得到AD⊥平面BCC1B1,从而平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)先证出等腰三角形△A1B1C1中,A1F⊥B1C1,再用类似(1)的方法,证出A1F⊥平面BCC1B1,结合AD⊥平面BCC1B1,得到A1F∥AD,最后根据线面平行的判定定理,得到直线A1F∥平面ADE.解答:解:(1)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC,∵AD⊂平面ABC,∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1,∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)∵△A1B1C1中,A1B1=A1C1,F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1,∵CC1⊥平面A1B1C1,A1F⊂平面A1B1C1,∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1,∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,∴直线A1F∥平面ADE.点评:本题以一个特殊的直三棱柱为载体,考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点,属于中档题.17.(14分)(2012•江苏)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.考点:函数模型的选择与应用.专题:函数的性质及应用.分析:(1)求炮的最大射程即求y=kx﹣(1+k2)x2(k>0)与x轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解.(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解.解答:解:(1)在 y=kx﹣(1+k2)x2(k>0)中,令y=0,得 kx﹣(1+k2)x2=0.由实际意义和题设条件知x>0,k>0.∴,当且仅当k=1时取等号.∴炮的最大射程是10千米.(2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k>0,使ka﹣(1+k2)a2=3.2成立,即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根.由韦达定理满足两根之和大于0,两根之积大于0,故只需△=400a2﹣4a2(a2+64)≥0得a≤6.此时,k=>0.∴当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标.点评:本题考查函数模型的运用,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.18.(16分)(2012•江苏)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和﹣1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a和b的值;(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;(3)设h(x)=f(f(x))﹣c,其中c∈[﹣2,2],求函数y=h(x)的零点个数.考点:函数在某点取得极值的条件;函数的零点.专题:导数的综合应用.分析(1)求出导函数,根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可.:(2)由(1)得f(x)=x3﹣3x,求出g′(x),令g′(x)=0,求解讨论即可.(3)先分|d|=2和|d|<2讨论关于的方程f(x)=d的情况;再考虑函数y=h(x)的零点.解答:解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx,得 f′(x)=3x2+2ax+b.∵1和﹣1是函数f(x)的两个极值点,∴f′(1)=3﹣2a+b=0,f′(﹣1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=﹣3.(2)由(1)得,f(x)=x3﹣3x,∴g′(x)=f(x)+2=x3﹣3x+2=(x﹣1)2(x+2)=0,解得x1=x2=1,x3=﹣2.∵当x<﹣2时,g′(x)<0;当﹣2<x<1时,g′(x)>0,∴﹣2是g(x)的极值点.∵当﹣2<x<1或x>1时,g′(x)>0,∴1不是g(x)的极值点.∴g(x)的极值点是﹣2.(3)令f(x)=t,则h(x)=f(t)﹣c.先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况,d∈[﹣2,2]当|d|=2时,由(2 )可知,f(x)=﹣2的两个不同的根为1和一2,注意到f(x)是奇函数,∴f(x)=2的两个不同的根为﹣1和2.当|d|<2时,∵f(﹣1)﹣d=f(2)﹣d=2﹣d>0,f(1)﹣d=f(﹣2)﹣d=﹣2﹣d<0,∴一2,﹣1,1,2 都不是f(x)=d 的根.由(1)知,f′(x)=3(x+1)(x﹣1).①当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数,从而f(x)>f(2)=2.此时f(x)=d在(2,+∞)无实根.②当x∈(1,2)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数.又∵f(1)﹣d<0,f(2)﹣d>0,y=f(x)﹣d的图象不间断,∴f(x)=d在(1,2 )内有唯一实根.同理,在(一2,一1)内有唯一实根.③当x∈(﹣1,1)时,f′(x)<0,于是f(x)是单调减函数.又∵f(﹣1)﹣d>0,f(1)﹣d<0,y=f(x)﹣d的图象不间断,∴f(x)=d在(一1,1 )内有唯一实根.因此,当|d|=2 时,f(x)=d 有两个不同的根 x1,x2,满足|x1|=1,|x2|=2;当|d|<2时,f(x)=d 有三个不同的根x3,x4,x5,满足|x i|<2,i=3,4,5.现考虑函数y=h(x)的零点:( i )当|c|=2时,f(t)=c有两个根t1,t2,满足|t1|=1,|t2|=2.而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,故y=h(x)有5个零点.( i i )当|c|<2时,f(t)=c有三个不同的根t3,t4,t5,满足|t i|<2,i=3,4,5.而f(x)=t i有三个不同的根,故y=h(x)有9个零点.综上所述,当|c|=2时,函数y=h(x)有5个零点;当|c|<2时,函数y=h(x)有9 个零点.点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,综合性强,难度大.19.(16分)(2012•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.(i)若AF1﹣BF2=,求直线AF1的斜率;(ii)求证:PF1+PF2是定值.考点:直线与圆锥曲线的综合问题;直线的斜率;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)根据椭圆的性质和已知(1,e)和(e,),都在椭圆上列式求解.(2)(i)设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x﹣1=my,与椭圆方程联立,求出|AF1|、|BF2|,根据已知条件AF1﹣BF2=,用待定系数法求解;(ii)利用直线AF1与直线BF2平行,点B在椭圆上知,可得,,由此可求得PF1+PF2是定值.解答:(1)解:由题设知a2=b2+c2,e=,由点(1,e)在椭圆上,得,∴b=1,c2=a2﹣1.由点(e,)在椭圆上,得∴,∴a2=2∴椭圆的方程为.(2)解:由(1)得F1(﹣1,0),F2(1,0),又∵直线AF1与直线BF2平行,∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x﹣1=my.设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,∴由,可得(m2+2)﹣2my1﹣1=0.∴,(舍),∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②(i)由①②得|AF1|﹣|BF2|=,∴,解得m2=2.∵注意到m>0,∴m=.∴直线AF1的斜率为.(ii)证明:∵直线AF1与直线BF2平行,∴,即.由点B在椭圆上知,,∴.同理.∴PF1+PF2==由①②得,,,∴PF1+PF2=.∴PF1+PF2是定值.点评本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.:20.(16分)(2012•江苏)已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足:a n+1=,n∈N*,(1)设b n+1=1+,n∈N*,求证:数列是等差数列;(2)设b n+1=•,n∈N*,且{a n}是等比数列,求a1和b1的值.数列递推式;等差关系的确定;等比数列的性质.考点:等差数列与等比数列.专题:分析:(1)由题意可得,a n+1===,从而可得,可证(2)由基本不等式可得,,由{a n}是等比数列利用反证法可证明q==1,进而可求a1,b1解答:解:(1)由题意可知,a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列(2)∵a n>0,b n>0∴从而(*)设等比数列{a n}的公比为q,由a n>0可知q>0下证q=1若q>1,则,故当时,与(*)矛盾0<q<1,则,故当时,与(*)矛盾综上可得q=1,a n=a1,所以,∵∴数列{b n}是公比的等比数列若,则,于是b1<b2<b3又由可得∴b1,b2,b3至少有两项相同,矛盾∴,从而=∴点评:本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用,解题的关键是反证法的应用.三、附加题(21选做题:任选2小题作答,22、23必做题)(共3小题,满分40分)21.(20分)(2012•江苏)A.[选修4﹣1:几何证明选讲]如图,AB是圆O的直径,D,E为圆上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.B.[选修4﹣2:矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵,求矩阵A的特征值.C.[选修4﹣4:坐标系与参数方程]在极坐标中,已知圆C经过点P(,),圆心为直线ρsin(θ﹣)=﹣与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.D.[选修4﹣5:不等式选讲]已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x﹣y|<,求证:|y|<.考点:特征值与特征向量的计算;简单曲线的极坐标方程;不等式的证明;综合法与分析法(选修).专题:不等式的解法及应用;直线与圆;矩阵和变换;坐标系和参数方程.分析:A.要证∠E=∠C,就得找一个中间量代换,一方面考虑到∠B,∠E是同弧所对圆周角,相等;另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到.从而得证.B.由矩阵A的逆矩阵,根据定义可求出矩阵A,从而求出矩阵A的特征值.C.根据圆心为直线ρsin(θ﹣)=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标;根据圆经过点P(,),求出圆的半径,从而得到圆的极坐标方程.D.根据绝对值不等式的性质求证.解答:A.证明:连接 AD.∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角).∴AD⊥BD(垂直的定义).又∵BD=DC,∴AD是线段BC 的中垂线(线段的中垂线定义).∴AB=AC(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等).∴∠B=∠C(等腰三角形等边对等角的性质).又∵D,E 为圆上位于AB异侧的两点,∴∠B=∠E(同弧所对圆周角相等).∴∠E=∠C(等量代换).B、解:∵矩阵A的逆矩阵,∴A=∴f(λ)==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1,λ2=4C、解:∵圆心为直线ρsin(θ﹣)=﹣与极轴的交点,∴在ρsin(θ﹣)=﹣中令θ=0,得ρ=1.∴圆C的圆心坐标为(1,0).∵圆C 经过点P(,),∴圆C的半径为PC=1.∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ.D、证明:∵3|y|=|3y|=|2(x+y)﹣(2x﹣y)|≤2|x+y|+|2x﹣y|,|x+y|<,|2x﹣y|<,∴3|y|<,∴点评:本题是选作题,综合考查选修知识,考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明,综合性强23.(10分)(2012•江苏)设集合P n={1,2,…,n},n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:①A⊆P n;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈A,则2x∉A.(1)求f(4);(2)求f(n)的解析式(用n表示).考点:函数解析式的求解及常用方法;元素与集合关系的判断;集合的包含关系判断及应用.专题:集合.分析:(1)由题意可得P4={1,2,3,4},符合条件的集合A为:{2},{1,4},{2,3},{1,3,4},故可求f(4)(2)任取偶数x∈p n,将x除以2,若商仍为偶数,再除以2…,经过k次后,商必为奇数,此时记商为m,可知,若m∈A,则x∈A,⇔k为偶数;若m∉A,则x∈A⇔k为奇数,可求解答:解(1)当n=4时,P4={1,2,3,4},符合条件的集合A为:{2},{1,4},{2,3},{1,3,4}故f(4)=4(2)任取偶数x∈p n,将x除以2,若商仍为偶数,再除以2…,经过k次后,商必为奇数,此时记商为m,于是x=m•2k,其中m为奇数,k∈N*由条件可知,若m∈A,则x∈A,⇔k为偶数若m∉A,则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定,设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f(n)等于Q n的子集个数,当n为偶数时(或奇数时),P n中奇数的个数是(或)∴点评:本题主要考查了集合之间包含关系的应用,解题的关键是准确应用题目中的定义22.(10分)(2012•江苏)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.(1)求概率P(ξ=0);(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).考点:离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率.(2)求出两条棱平行且距离为的共有6对,即可求出相应的概率,。
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题1
D.(1,2)
3、已知全集 = , = { | > 1}, = { | > 1},那么(∁ ) ∩ 等于( )
A.{ | − 1 < ≤ 1} B.{ | − 1 < < 1} C.{ | < −1} D.{ | ≤ −1}
4、已知全集 = , = { | > 1},则 =( )
A.{ | ≤ 1}
(4)Venn 图法
5、常见数集的记法
集合 自然数集
符号
N
6、集合的分类
正整数集
*
N (或 N+)
整数集 有理数集 实数集 复数集
Z
Q
R
C
(1)有限集:含有有限个元素的集合.(2)无限集:含有无限个元素的集合.(3)空集 :不含任何元素
的集合
7、若一个集合含有 n 个元素,则子集个数为 2n 个,真子集个数为 2n 1
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》,努力请从今日始
考向一 点集
【例 1】(1)已知集合 A 0,1, 4, B {y | y x2, x A} ,则 A B A.0,1,16 B.0,1 C.1,16 D.0,1, 4,16 (2)设全集U 1,3,5, 6,9 , A 3, 6,9 ,则图中阴影部分表示的集合是
(1)自然语言描述法:用自然的文字语言描述.
(2)列举法:把集合中的元素一一列举出来,元素之间用逗号隔开,然后用一个花括号全部括上.
(3)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号内表示集合的方法.
它的一般格式为 {x | P(x)} ,“|”前是集合 元素的一般形式,“|”后是集合元素的公共属性.
A.(1,2)
B.[0,2]
高考数学强基计划专题1集合与简易逻辑
2022年高考数学尖子生强基计划专题1集合与简易逻辑 一、真题特点分析:1. 突出对思维能力的考查。
例1.【2020年武汉大学9】设A 是集合{}12345678910,,,,,,,,,的子集,只含有3个元素,且不含相邻的整数,则这种子集A 的个数为( ) A. 32B. 56C. 72D. 84答案:B 进行分类讨论例2.【2020 年清华大学】已知集合{},,1,2,3,,2020A B C ⊆,且A B C ⊆⊆,则有序集合组(),,A B C 的个数是( ).A .20202B .20203C .20204D .20205答案:C例3.【北大】已知()01,2,...,i x i n >=11.n i i x ==∏求证:))11.nni i x =≥∏【解析】不等式;柯西不等式或AM GM -平均不等式. 法一:AM GM -不等式.调和平均值n n ni n H G =≤=⎛⎫∑≤n i n ⎛⎫∑ni ≤∑ni ⎛⎫≤∑1nn i i n n +⎛⎫≤+=∑∑,即)1≤,即))1n ni ix ≤∏法二:由11.ni ix ==∏及要证的结论分析,由柯西不等式得))211i i x x ⎫≥⎪⎭,从而可设1i i y x =,且1111.n ni i i iy x ====∏∏从而本题也即证))11.n ni i y =≥∏从而))211nni ii x x ⎫+≥⎪⎭∏,即))21nnii ix y ≥∏,假设原式不成立,即))11,nni i x =<∏则))11.nni i y =<∏从而))21nnii ix y <∏,矛盾.得证.2.注重和解题技巧,考查学生应用知识解决问题的能力。
例4.【北大】10、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根,()f x 有两相异实根,求证:()g x 没有实根. 【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =,可得()()()()()()220,40.a d x b e x c f b e a d c f -+-+-=∆=----=由()()30f x g x +=可得()()()()()()223330,34330.a d x b e x c f b e a d c f +++++=∆=+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df ∴-<()g x ∴没有实根.二、应试和准备策略1. 注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小,一般知识点都是靠平时积累,因此,要求学生平时要把基础知识打扎实。
2023年新高考数学大一轮复习专题01 集合(原卷版)
专题01 集合【考点预测】 1、元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系:属于 或 不属于,数学符号分别记为:∈和∉. (3)集合的表示方法:列举法、描述法、韦恩图(venn 图). (4)常见数集和数学符号①确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的;也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =,可知1A ∈,在该集合中,6A ∉,不在该集合中; ②互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的;也就是说,集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性:组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系(1)子集(subset ):一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集 ,记作A B ⊆(或B A ⊇),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”).(2)真子集(proper subset ):如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈,且x A ∉,我们称集合A 是集合B 的真子集,记作AB (或B A ⊃≠).读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等:如果集合A 是集合B 的子集(A B ⊆,且集合B 是集合A 的子集(B A ⊆),此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作A B =.(4)空集的性质: 我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作∅;∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算(1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A B ,即{|,}AB x x A x B =∈∈且.(2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A B ,即{|,}AB x x A x B =∈∈或.(3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作U C A ,即{|,}U C A x x U x A =∈∉且. 4、集合的运算性质 (1)A A A =,A ∅=∅,A B B A =. (2)A A A =,A A ∅=,A B BA =.(3)()U AC A =∅,()U A C A U =,()U U C C A A =.【方法技巧与总结】(1)若有限集A 中有n 个元素,则A 的子集有2n 个,真子集有21n -个,非空子集有21n -个,非空真子集有22n -个.(2)空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集. (3)U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆.(4)()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.【题型归纳目录】题型一:集合的表示:列举法、描述法 题型二:集合元素的三大特征 题型三:集合与集合之间的关系 题型四:集合的交、并、补运算 题型五:集合与排列组合的密切结合 题型六:集合的创新定义【题型一】集合的表示:列举法、描述法 【典例例题】例1.(2022·安徽·芜湖一中三模(理))已知集合{}24A x x =≤,集合{}*1B x x N x A =∈-∈且,则B =( )A .{}0,1B .{}0,1,2C .{}1,2,3D .{}1,2,3,4【方法技巧与总结】1.列举法,注意元素互异性和无序性,列举法的特点是直观、一目了然.2.描述法,注意代表元素.例2.(2022·山东聊城·二模)已知集合{}0,1,2A =,{},B ab a A b A =∈∈,则集合B 中元素个数为( ) A .2B .3C .4D .5例3.(2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习(理))设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ,,(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈,,则集合B 中元素个数为( )A .2B .3C .4D .无数个例4.(2022·湖南·岳阳一中一模)定义集合,A B 的一种运算:2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈,若{}1,0A =-,{}1,2B =,则A B ⊗中的元素个数为( ) A .1B .2C .3D .4例5.(2022·山东济南·二模)已知集合{}1,2A =,{}2,4B =,{},,y C z z x x A y B ==∈∈ ,则C 中元素的个数为( ) A .1B .2C .3D .4例6.(2022·全国·高三专题练习)用()C A 表示非空集合A 中元素的个数,定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩,已知集合{}2|0A x x x =+=,()(){}22|10B x x ax x ax =+++=,且1A B *=,设实数a 的所有可能取值构成集合S ,则()C S =( ) A .0 B .1C .2D .3【题型二】 集合元素的三大特征 【典例例题】例7.(2022·重庆南开中学模拟预测)已知集合{}1,0,1A =-,{},B a b a A b A =+∈∈,则集合B =( ) A .{}1,1- B .{}1,0,1-C .{}2,1,1,2--D .{}2,1,0,1,2--【方法技巧与总结】1.研究集合问题,看元素是否满足集合的特征:确定性、互异性、无序性。
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量
第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1.已知复数z =a +b i(a ,b ∈R ),则(1)当b =0时,z ∈R ;当b ≠0时,z 为虚数;当a =0,b ≠0时,z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z ̅=a -b i. (3)z 的模|z |=√a 2+b 2. 2.已知i 是虚数单位,则 (1)(1±i)2=±2i ,1+i 1−i =i ,1−i1+i =-i.(2)i 4n =1,i 4n +1=i ,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2+2i)(1-2i)=( ) A .-2+4i B .-2-4i C .6+2i D .6-2i 2.[2022·全国甲卷]若z =1+i ,则|i z +3z ̅|=( ) A .4√5 B .4√2 C .2√5D .2√23.[2022·全国乙卷]已知z =1-2i ,且z +a z ̅+b =0,其中a ,b 为实数,则( ) A .a =1,b =-2 B .a =-1,b =2 C .a =1,b =2 D .a =-1,b =-2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z =|√3i -1|+11+i,则在复平面内z 对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1=2+3i ,z 2=-1+i ,其中i 是虚数单位,则下列说法正确的是( )A .z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅=z 1̅·z 2̅C .若z 1+m (m ∈R )是纯虚数,那么m =-2D .若z 1,z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=5 听课笔记:【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则,可以通过对代数式结构特征的分析,灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程.巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z =3−i 1−2i,i 是虚数单位,则复数z ̅-4在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2-4)(z 2-4z +5)=0,则( )A .z 可能为纯虚数B .方程各根之和为4C .z 可能为2-iD .方程各根之积为-20微专题2 平面向量常考常用结论1.平面向量的两个定理 (1)向量共线定理:向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b =λa . (2)平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2,其中e 1,e 2是一组基底.2.平面向量的坐标运算设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,θ为a 与b 的夹角. (1)a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.(2)a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.(4)|a |=√a ·a =√x 12+y 12.(5)cos θ=a·b|a ||b |=1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中,E 是边BC 上靠近B 的三等分点,则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B .13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C .23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D .23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2.[2022·全国乙卷]已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=√3,|a -2b |=3,则a ·b =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 3.[2022·全国甲卷]已知向量a =(m ,3),b =(1,m +1),若a ⊥b ,则m =________.提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中,M ,N 分别是AD ,CD 的中点,若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .34a +23b B .23a +23bC .34a +34bD .23a +34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A .4 B .7 C .8 D .11 听课笔记:【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1.直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值.2.建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值.巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,M 为BC 的中点,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A .12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B .34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C .34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D .12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2.[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形,P 为线段AB 上一点(包含端点),则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A .[-14,2] B .[-14,4] C .[0,2]D .[0,4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1.解析:(2+2i)(1-2i)=2-4i +2i -4i 2=2-2i +4=6-2i.故选D. 答案:D2.解析:因为z =1+i ,所以z ̅=1-i ,所以i z +3z ̅=i(1+i)+3(1-i)=2-2i ,所以|i z +3z ̅|=|2-2i|=√22+(−2)2=2√2.故选D. 答案:D3.解析:由z =1-2i 可知z ̅=1+2i.由z +a z ̅+b =0,得1-2i +a (1+2i)+b =1+a +b +(2a -2)i =0.根据复数相等,得{1+a +b =0,2a −2=0,解得{a =1,b =−2.故选A.答案:A提分题[例1] 解析:(1)∵z =|√3i -1|+11+i = √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2=2+1−i 2=52−12i ,∴复平面内z 对应的点(52,-12)位于第四象限. (2)对于A ,z1z 2=2+3i −1+i=(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )=1−5i 2=12−52i ,A 错误;对于B ,∵z 1·z 2=(2+3i)(-1+i)=-5-i ,∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅=-5+i ;又z 1̅·z 2̅=(2-3i)(-1-i)=-5+i ,∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅=z 1̅·z 2̅,B 正确;对于C ,∵z 1+m =2+m +3i 为纯虚数,∴m +2=0,解得:m =-2,C 正确; 对于D ,由题意得:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-4),∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√9+16=5,D 正确.答案:(1)D (2)BCD [巩固训练1]1.解析:z =3−i1−2i =(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )=5+5i 5=1+i ,则z ̅-4=1-i -4=-3-i ,对应的点位于第三象限.故选C.答案:C2.解析:由(z 2-4)(z 2-4z +5)=0,得z 2-4=0或z 2-4z +5=0, 即z 2=4或(z -2)2=-1,解得:z =±2或z =2±i ,显然A 错误,C 正确; 各根之和为-2+2+(2+i)+(2-i)=4,B 正确; 各根之积为-2×2×(2+i)(2-i)=-20,D 正确. 答案:BCD微专题2 平面向量保分题1.解析:因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案:C2.解析:将|a -2b |=3两边平方,得a 2-4a ·b +4b 2=9.因为|a |=1,|b |=√3,所以1-4a ·b +12=9,解得a ·b =1.故选C.答案:C3.解析:由a ⊥b ,可得a ·b =(m ,3)·(1,m +1)=m +3m +3=0,所以m =-34. 答案:-34提分题[例2] 解析:(1)如图所示,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,AD⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b ,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b =x (12n -m )+y (n -12m )=(12x +y )n -(x +12y )m , 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ =n -m , 所以{12x +y =1x +12y =1,解得x =23,y =23,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a +23b . 故选B.(2)如图,等边三角形ABC ,O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心,以O 为原点,AO 所在直线为y 轴,建立直角坐标系.因为AO =2,所以A (0,2),设等边三角形ABC 的边长为a ,则asin A =asin 60°=2R =4,所以a =2√3,则B (-√3,-1),C (√3,-1).又因为P 是该圆上的动点,所以设P (2cos θ,2sin θ),θ∈[0,2π), PA ⃗⃗⃗⃗ =(-2cos θ,2-2sin θ),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-2cos θ,-1-2sin θ),PC ⃗⃗⃗⃗ =(√3-2cos θ,-1-2sin θ),PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ =-2cos θ(-√3-2cos θ)+(2-2sin θ)(-1-2sin θ)+(-√3-2cos θ)(√3-2cos θ)+(-1-2sin θ)(-1-2sin θ)=3+1+2sin θ+2√3cos θ=4+4sin (θ+π3),因为θ∈[0,2π),θ+π3∈[π3,7π3),sin (θ+π3)∈[-1,1],所以当sin (θ+π3)=1时,PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案:(1)B (2)C [巩固训练2]1.解析:取AD 中点N ,连接MN ,∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ∥CD ,|AB |=2|CD |, 又M 是BC 中点,∴MN ∥AB ,且|MN |=12(|AB |+|CD |)=34|AB |, ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选B. 答案:B 2.解析:以AB 中点O 为坐标原点,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ,y 轴可建立如图所示平面直角坐标系,则A (-1,0),B (1,0),C (0,√3),设P (m ,0)(-1≤m ≤1),∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-m ,0),PC ⃗⃗⃗⃗ =(-m ,√3), ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ =m 2-m =(m -12)2-14, 则当m =12时,(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min =-14;当m =-1时,(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max =2; ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[-14,2].故选A. 答案:A。
2023高考数学专题强化训练(一)
专题强化训练(一)一、单项选择题1.(2022·山东济南二模)函数f(x)=√16-x 2x的定义域是( A )A.[-4,0)∪(0,4]B.[-4,4]C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.[-4,0)∪[4,+∞)解析:由{16-x 2≥0,x ≠0,得-4≤x ≤4,且x ≠0,所以函数y=√16-x 2x 的定义域是[-4,0)∪(0,4].故选A.2.(2022·四川绵阳三模)已知函数f(x)=x x -1,则( D )A.f(x)为奇函数B.f(f(2))=1C.f(x)在(1,+∞)上单调递增D.f(x)的图象关于点(1,1)对称解析:由解析式知函数f(x)的定义域为{x|x ≠1},显然不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,A 错误;f(2)=2,则f(f(2))=f(2)=2,B 错误; 由f(x)=1+1x -1,可知f(x)在(1,+∞)上单调递减且图象关于点(1,1)对称,故C 错误,D 正确.故选D.3.(2022·陕西西安二模)设f(x)={2x+1-1,x ≤3,log 2(x 2-1),x >3,若f(x)=3,则x的值为( B )A.3B.1C.-3D.1或3解析:当x ≤3时,令2x+1-1=3,解得x=1,当x>3时,令log 2(x 2-1)=3,解得x=±3,这与x>3矛盾,所以x=1.故选B. 4.(2022·河北石家庄一模)函数f(x)=x 32x +2-x的部分图象大致是( A )解析:函数f(x)=x 32x +2-x的定义域为R,f(-x)=-f(x),故为奇函数,图象关于原点对称,据此排除B,D 选项;易知当x →+∞时,f(x)=x 32x +2-x>0,2x →+∞,2-x →0,x 3→+∞,因为指数函数y=2x 比幂函数y=x 3增长的速率要快,故f(x)→0,即f(x)在x →+∞时,图象往x 轴无限靠近且在x 轴上方,故A 选项符合.故选A.5.(2022·北京丰台区二模)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.若f(lg x)>f(1),则x 的取值范围是( C ) A.(110,1) B.(0,110)∪(1,+∞)C.(110,10) D.(0,110)∪(10,+∞)解析:因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,则f(lg x)>f(1)等价于|lg x|<1,即-1<lg x<1,即lg 110<lg x<lg 10,解得110<x<10,即原不等式的解集为(110,10).故选C.6.(2022·天津河东区一模)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,则( B ) A.f(log 314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(2-32)>f(2-23)>f(log 314)C.f(log 314)>f(2-23)>f(2-32)D.f(2-23)>f(2-32)>f(log 314)解析:因为f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又log 34>1,0<2-32<2-23<1,所以f(2-32)>f(2-23)>f(log 34),即f(2-32)>f(2-23)>f(log 314).故选B.7.(2022·江苏苏州二模)已知f(x)是定义域为R 的偶函数, f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=( D ) A.-3 B.-2 C.2 D.3解析:g(x+1)为偶函数,则g(x)的图象关于直线x=1对称,即g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,又f(x)是定义域为R 的偶函数,所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),所以f(x-4)=f[(x-2)-2]=-f(x-2)=- [-f(x)]=f(x),即f(x-4)=f(x),所以f(x)的周期为4,所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2,所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=3.故选D.8.(2022·天津市第四十七中学模拟预测)已知函数f (x )= {-12x ,x ≥0,2x -x 2,x <0,若f(2-a 2)>f(-|a|),则实数a 的取值范围是( A ) A.(-2,-√10-23)∪(√10-23,2) B.(-2,-1)∪(1,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-1,0)∪(0,1)解析:作出函数f(x)={-12x ,x ≥0,2x -x 2,x <0的图象如图,因为-|a|≤0,若2-a 2<0,由f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(2-a 2)>f(-|a|),则2-a 2>-|a|,解得√2<|a|<2; 若2-a 2≥0,则-12(2-a 2)>-2|a|-a 2,解得√10-23<|a|≤√2. 综上,√10-23<|a|<2,解得-2<a<-√10-23或√10-23<a<2.所以实数a 的取值范围是(-2,-√10-23)∪(√10-23,2).故选A.二、多项选择题9.(2022·山东济南一中模拟预测)设函数f(x)={log 2(x -1),x >2,2x -3,x ≤2,则以下结论正确的为( BC ) A.f(x)为R 上的增函数B.f(x)有唯一的零点x 0,且1<x 0<2C.若f(m)=5,则m=33D.f(x)的值域为R解析:作出f(x)的图象如图所示.对于A,取特殊值:f(2)=1,f(3)=1,故A 错误;对于B,由图象可知,f(x)有唯一的零点x 0,f(x)在(-∞,2]上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,故B 正确;对于C,当x ≤2时,2x -3≤1,故log 2(m-1)=5,解得m=33,故C 正确; 对于D,f(x)的值域为(0,+∞)∪(-3,1]=(-3,+∞),故D 错误.故选BC. 10.(2022·重庆模拟预测)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x -y 1-xy),且当x ∈(-1,0)时,f(x)<0,则有( ABC )A.f(x)为奇函数B.存在非零实数a,b,使得f(a)+f(b)=f(12)C.f(x)为增函数D.f(12)+f(13)>f(56)解析:令x=0,y=0,得f(0)-f(0)=f(0),所以f(0)=0;令x=0,y=x,得f(0)-f(x)=f(-x),故-f(x)=f(-x),所以f(x)为奇函数,A 正确;任取-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2),因为x 1-x 21-x 1x 2+1=x 1-x 2+1-x 1x 21-x 1x 2=(1+x 1)(1-x 2)1-x 1x 2>0,故-1<x 1-x 21-x 1x 2<0,f(x 1)-f(x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2)<0,f(x 1)<f(x 2),故f(x)为增函数,C 正确; f(12)+f(13)=f(12)-f(-13)=f(12+131+12×13)=f(57)<f(56),D 错误;若f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)=f(a+b1+ab )=f(12),则a+b1+ab=12,则2a+2b=1+ab,a=1-2b2-b =2+3b-2,当b∈(-1,1)时,a∈(-1,1),所以存在非零实数a,b,使得f(a)+f(b)=f(12),B正确.故选ABC.11.若函数f(x)满足:对定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1)+f(x2)>2f(x1+x22),则称函数f(x)具有H性质.则下列函数中具有H性质的是( ACD )A.f(x)=(12)xB.f(x)=ln xC.f(x)=x2(x≥0)D.f(x)=tan x(0≤x<π2)解析:若对定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1)+f(x2)>2f (x1+x22),则点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的中点在点(x1+x22,f(x1+x22))的上方,如图(其中a=f(x1+x22),b=f(x1)+f(x2)2).根据函数f(x)=(12)x,f(x)=ln x,f(x)=x2(x≥0),f(x)=tan x(0≤x<π2)的图象可知,函数f(x)=(12)x,f(x)=x2(x≥0),f(x)=tan x(0≤x<π2)具有H性质,函数f(x)=ln x不具有H性质.故选ACD.12.(2022·福建福州模拟预测)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x ∈(-1,1)时,f(x)=-x 2+1,则下列结论正确的是( ABD ) A.f(72)=-34B.f(x+7)为奇函数C.f(x)在(6,8)上单调递减D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解解析:因为f(x+1)为偶函数,故f(x+1)=f(-x+1),令x=52得f(72)=f(-52+1)=f(-32),因为f(x-1)为奇函数,故f(x-1)=-f(-x-1),令x=-12得f(-32)=-f(12-1)=-f(-12),其中f(-12)=-14+1=34,所以f(72)=f(-32)=-f(-12)=-34,A 正确;因为f(x-1)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,又f(x+1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的周期为4×2=8,故f(x+7)=f(x-1),所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)= -f(x-1+8)=-f(x+7),从而f(x+7)为奇函数,B 正确;f(x)=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增,又f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(x)在(-2,0)上单调递增,且f(x)的周期为8,故f(x)在(6,8)上单调递增,C 错误;根据题目条件画出函数f(x)与y=-lg x 的图象,如图所示,其中y=-lg x 单调递减且-lg 12<-1,所以两函数图象有6个交点,故方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解,D 正确.故选ABD.三、填空题13.(2022·广东深圳二模)已知函数f(x)=ln(e x +1)-kx 是偶函数,则k= .解析:由题意知f(x)=ln(e x +1)-kx 是偶函数,则x ∈R,f(-x)=f(x), 即ln(e -x +1)-k(-x)=ln(e x +1)-kx, 即ln(e x +1)-x+kx=ln(e x +1)-kx, 即(k-1)x=-kx,解得k=12.答案:1214.(2022·山东烟台一模)已知f(x)为R 上的奇函数,且f(x)+ f(2-x)=0,当-1<x<0时,f(x)=2x ,则f(2+log 25)的值为 . 解析:由题设,f(2-x)=-f(x)=f(-x),故f(2+x)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(2+log 25)=f(2×2+log 254)=f(log 254)=-f(log 245),且-1<log 245<0,所以f(2+log 25)=-2log 245=-45.答案:-4515.(2022·湖南湘潭三模)已知a >0,且a ≠1,函数f (x )= {log a (2x 2+1),x ≥0,a x,x <0,若f(f(-1))=2,则a= ,f(x)≤4的解集为 .解析:①由题可知,f(f(-1))=f(a -1)=log a (2a -2+1)=2,则a 2=2a -2+1,即a 4-a 2-2=0,解得a 2=2,故a=√2.②当x ≥0时,f(x)=log √2(2x 2+1)≤4,解得0≤x ≤√62;当x<0时, f(x)=(√2)x≤4恒成立,故不等式的解集为(-∞,√62]. 答案:√2 (-∞,√62]16.(2022·山东菏泽一模)已知奇函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,当x>0,y>0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),则不等式log 3|f(x)+1|<0的解集为 .解析:法一 不等式log 3|f(x)+1|<0等价于0<|f(x)+1|<1,即0<f(x)+1<1或-1<f(x)+1<0,即-1<f(x)<0或-2<f(x)<-1,因为f(x)是奇函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,所以f(2)=1,f(-1)=0,故f(1)= f(2×12)=f(2)+f(12)=0 ,则f(12)=-1 ,f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=-2,f(-4)=-f(4)=-f(2)-f(2)=-2.又奇函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,故f(x)在区间(0,+∞)上也是增函数,故-1<f(x)<0,即f(-2)<f(x)<f(-1)或f(12)<f(x)<f(1),此时x ∈(-2,-1)∪(12,1) ;而-2<f(x)<-1,即f(-4)<f(x)<f(-2) 或f(14)<f(x)<f(12),此时x ∈(-4,-2)∪(14,12),故不等式l o g 3|f (x )+1|<0的解集为(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1).法二 因为f(x)为奇函数,且f(-2)=-1,所以f(2)=1,又当x>0,y>0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),所以当x>0时,可设f(x)=log a x(a>0,且 a ≠1),由f(2)=1可得a=2,所以f(x)={log 2x (x >0),-log 2(-x )(x <0),由log 3|f(x)+1|<0可得-2<f(x)<0且f(x)≠-1. 作出函数f(x)的图象如图,由图象可知,不等式的解集为(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1).答案:(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1)。
全国统一高考数学试卷(新课标ⅰ)(含解析版)(1)
全国统一高考数学试卷(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()A.(﹣3,﹣)B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3)2.(5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.C.D.23.(5分)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.974.(5分)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.5.(5分)已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(﹣1,3)B.(﹣1,)C.(0,3)D.(0,)6.(5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π7.(5分)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为()A.B.C.D.8.(5分)若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b c B.ab c<ba cC.alog b c<blog a c D.log a c<log b c9.(5分)执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x10.(5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.811.(5分)平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为()A.B.C.D.12.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)设向量=(m,1),=(1,2),且|+|2=||2+||2,则m=.14.(5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.(5分)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°.(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(12分)设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()A.(﹣3,﹣)B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3)【考点】1E:交集及其运算.【专题】11:计算题;4O:定义法;5J:集合.【分析】解不等式求出集合A,B,结合交集的定义,可得答案.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}=(1,3),B={x|2x﹣3>0}=(,+∞),∴A∩B=(,3),故选:D.【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.2.(5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.C.D.2【考点】A8:复数的模.【专题】34:方程思想;4O:定义法;5N:数系的扩充和复数.【分析】根据复数相等求出x,y的值,结合复数的模长公式进行计算即可.【解答】解:∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,即,解得,即|x+yi|=|1+i|=,故选:B.【点评】本题主要考查复数模长的计算,根据复数相等求出x,y的值是解决本题的关键.3.(5分)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97【考点】83:等差数列的性质.【专题】11:计算题;4O:定义法;54:等差数列与等比数列.【分析】根据已知可得a5=3,进而求出公差,可得答案.【解答】解:∵等差数列{a n}前9项的和为27,S9===9a5.∴9a5=27,a5=3,又∵a10=8,∴d=1,∴a100=a5+95d=98,故选:C.【点评】本题考查的知识点是数列的性质,熟练掌握等差数列的性质,是解答的关键.4.(5分)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.【考点】CF:几何概型.【专题】5I:概率与统计.【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度,代入几何概型概率计算公式,可得答案.【解答】解:设小明到达时间为y,当y在7:50至8:00,或8:20至8:30时,小明等车时间不超过10分钟,故P==,故选:B.【点评】本题考查的知识点是几何概型,难度不大,属于基础题.5.(5分)已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(﹣1,3)B.(﹣1,)C.(0,3)D.(0,)【考点】KB:双曲线的标准方程.【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由已知可得c=2,利用4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得m2=1,又(m2+n)(3m2﹣n)>0,从而可求n的取值范围.【解答】解:∵双曲线两焦点间的距离为4,∴c=2,当焦点在x轴上时,可得:4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=1,∵方程﹣=1表示双曲线,∴(m2+n)(3m2﹣n)>0,可得:(n+1)(3﹣n)>0,解得:﹣1<n<3,即n的取值范围是:(﹣1,3).当焦点在y轴上时,可得:﹣4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=﹣1,无解.故选:A.【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.6.(5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;35:转化思想;5F:空间位置关系与距离.【分析】判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然后求解几何体的表面积.【解答】解:由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体,如图:可得:=,R=2.它的表面积是:×4π•22+=17π.故选:A.【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积,考查计算能力以及空间想象能力.7.(5分)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为()A.B.C.D.【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】27:图表型;48:分析法;51:函数的性质及应用.【分析】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性,利用排除法,可得答案.【解答】解:∵f(x)=y=2x2﹣e|x|,∴f(﹣x)=2(﹣x)2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|,故函数为偶函数,当x=±2时,y=8﹣e2∈(0,1),故排除A,B;当x∈[0,2]时,f(x)=y=2x2﹣e x,∴f′(x)=4x﹣e x=0有解,故函数y=2x2﹣e|x|在[0,2]不是单调的,故排除C,故选:D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象,对于超越函数的图象,一般采用排除法解答.8.(5分)若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b c B.ab c<ba cC.alog b c<blog a c D.log a c<log b c【考点】R3:不等式的基本性质.【专题】33:函数思想;35:转化思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用;5T:不等式.【分析】根据已知中a>b>1,0<c<1,结合对数函数和幂函数的单调性,分析各个结论的真假,可得答案.【解答】解:∵a>b>1,0<c<1,∴函数f(x)=x c在(0,+∞)上为增函数,故a c>b c,故A错误;函数f(x)=x c﹣1在(0,+∞)上为减函数,故a c﹣1<b c﹣1,故ba c<ab c,即ab c>ba c;故B错误;log a c<0,且log b c<0,log a b<1,即=<1,即log a c>log b c.故D错误;0<﹣log a c<﹣log b c,故﹣blog a c<﹣alog b c,即blog a c>alog b c,即alog b c<blog a c,故C正确;故选:C.【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小,熟练掌握对数函数和幂函数的单调性,是解答的关键.9.(5分)执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x【考点】EF:程序框图.【专题】11:计算题;28:操作型;5K:算法和程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x,y的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:输入x=0,y=1,n=1,则x=0,y=1,不满足x2+y2≥36,故n=2,则x=,y=2,不满足x2+y2≥36,故n=3,则x=,y=6,满足x2+y2≥36,故y=4x,故选:C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.10.(5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8【考点】K8:抛物线的性质;KJ:圆与圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;35:转化思想;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【解答】解:设抛物线为y2=2px,如图:|AB|=4,|AM|=2,|DE|=2,|DN|=,|ON|=,x A==,|OD|=|OA|,=+5,解得:p=4.C的焦点到准线的距离为:4.故选:B.【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线与圆的方程的应用,考查计算能力.转化思想的应用.11.(5分)平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为()A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;35:转化思想;5G:空间角.【分析】画出图形,判断出m、n所成角,求解即可.【解答】解:如图:α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,可知:n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形.m、n所成角就是∠CD1B1=60°.则m、n所成角的正弦值为:.故选:A.【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.12.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5【考点】H6:正弦函数的奇偶性和对称性.【专题】35:转化思想;4R:转化法;57:三角函数的图像与性质.【分析】根据已知可得ω为正奇数,且ω≤12,结合x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f (x)图象的对称轴,求出满足条件的解析式,并结合f(x)在(,)上单调,可得ω的最大值.【解答】解:∵x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,∴,即,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f(x)在(,)上单调,则﹣=≤,即T=≥,解得:ω≤12,当ω=11时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=﹣,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意;当ω=9时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=,此时f(x)在(,)单调,满足题意;故ω的最大值为9,故选:B.【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,本题转化困难,难度较大.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)设向量=(m,1),=(1,2),且|+|2=||2+||2,则m=﹣2.【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11:计算题;29:规律型;35:转化思想;5A:平面向量及应用.【分析】利用已知条件,通过数量积判断两个向量垂直,然后列出方程求解即可.【解答】解:|+|2=||2+||2,可得•=0.向量=(m,1),=(1,2),可得m+2=0,解得m=﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的应用,考查计算能力.14.(5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是10.(用数字填写答案)【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5P:二项式定理.【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3,求出r,即可求出展开式中x3的系数.【解答】解:(2x+)5的展开式中,通项公式为:T r==25﹣r,+1令5﹣=3,解得r=4∴x3的系数2=10.故答案为:10.【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.15.(5分)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为64.【考点】87:等比数列的性质;8I:数列与函数的综合.【专题】11:计算题;29:规律型;35:转化思想;54:等差数列与等比数列.【分析】求出数列的等比与首项,化简a1a2…a n,然后求解最值.【解答】解:等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,可得q(a1+a3)=5,解得q=.a1+q2a1=10,解得a1=8.则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+(n﹣1)=8n•==,当n=3或4时,表达式取得最大值:=26=64.故答案为:64.【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用,转化思想的应用,考查计算能力.16.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.【考点】7C:简单线性规划.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;33:函数思想;35:转化思想.【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件,根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可;【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.由题意,得,z=2100x+900y.不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),目标函数z=2100x+900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000元.故答案为:216000.【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,二元一次方程组的解法的运用,不等式组解实际问题的运用,不定方程解实际问题的运用,解答时求出最优解是解题的关键.三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【考点】HU:解三角形.【专题】15:综合题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形.【分析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinC不为0求出cosC的值,即可确定出出C的度数;(2)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出a+b的值,即可求△ABC的周长.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,整理得:2cosCsin(A+B)=sinC,即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=,∴C=;(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S=absinC=ab=,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC的周长为5+.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角函数的恒等变形,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°.(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.【考点】MJ:二面角的平面角及求法.【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5H:空间向量及应用;5Q:立体几何.【分析】(Ⅰ)证明AF⊥平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)证明四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立如图所示的坐标系,求出平面BEC、平面ABC的法向量,代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:∵ABEF为正方形,∴AF⊥EF.∵∠AFD=90°,∴AF⊥DF,∵DF∩EF=F,∴AF⊥平面EFDC,∵AF⊂平面ABEF,∴平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)解:由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角;由ABEF为正方形,AF⊥平面EFDC,∵BE⊥EF,∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE,可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角.可得∠DFE=∠CEF=60°.∵AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,∴AB∥平面EFDC,∵平面EFDC∩平面ABCD=CD,AB⊂平面ABCD,∴AB∥CD,∴CD∥EF,∴四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a,则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(,0,a),A(2a,2a,0),∴=(0,2a,0),=(,﹣2a,a),=(﹣2a,0,0)设平面BEC的法向量为=(x1,y1,z1),则,则,取=(,0,﹣1).设平面ABC的法向量为=(x2,y2,z2),则,则,取=(0,,4).设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ,则cosθ===﹣,则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣.【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角,建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?【考点】CG:离散型随机变量及其分布列.【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.(Ⅱ)由X的分布列求出P(X≤18)=,P(X≤19)=.由此能确定满足P(X≤n)≥0.5中n的最小值.(Ⅲ)法一:由X的分布列得P(X≤19)=.求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2,由此能求出买19个更合适.法二:解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,分别求出n=19时,费用的期望和当n=20时,费用的期望,从而得到买19个更合适.【解答】解:(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,P(X=16)=()2=,P(X=17)=,P(X=18)=()2+2()2=,P(X=19)==,P(X=20)===,P(X=21)==,P(X=22)=,∴X的分布列为:X16171819202122P(Ⅱ)由(Ⅰ)知:P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)==.P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=+=.∴P(X≤n)≥0.5中,n的最小值为19.(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)得P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=+=.买19个所需费用期望:EX1=200×+(200×19+500)×+(200×19+500×2)×+(200×19+500×3)×=4040,买20个所需费用期望:EX2=+(200×20+500)×+(200×20+2×500)×=4080,∵EX1<EX2,∴买19个更合适.解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当n=19时,费用的期望为:19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040,当n=20时,费用的期望为:20×200+500×0.08+1000×0.04=4080,∴买19个更合适.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用,是中档题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.20.(12分)设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【考点】J2:圆的一般方程;KL:直线与椭圆的综合.【专题】34:方程思想;48:分析法;5B:直线与圆;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(Ⅰ)求得圆A的圆心和半径,运用直线平行的性质和等腰三角形的性质,可得EB=ED,再由圆的定义和椭圆的定义,可得E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,求得a,b,c,即可得到所求轨迹方程;(Ⅱ)设直线l:x=my+1,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,可得|MN|,由PQ⊥l,设PQ:y=﹣m(x﹣1),求得A到PQ的距离,再由圆的弦长公式可得|PQ|,再由四边形的面积公式,化简整理,运用不等式的性质,即可得到所求范围.【解答】解:(Ⅰ)证明:圆x2+y2+2x﹣15=0即为(x+1)2+y2=16,可得圆心A(﹣1,0),半径r=4,由BE∥AC,可得∠C=∠EBD,由AC=AD,可得∠D=∠C,即为∠D=∠EBD,即有EB=ED,则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4,故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,且有2a=4,即a=2,c=1,b==,则点E的轨迹方程为+=1(y≠0);(Ⅱ)椭圆C1:+=1,设直线l:x=my+1,由PQ⊥l,设PQ:y=﹣m(x﹣1),由可得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),可得y1+y2=﹣,y1y2=﹣,则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•,A到PQ的距离为d==,|PQ|=2=2=,则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24,当m=0时,S取得最小值12,又>0,可得S<24•=8,即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12,8).【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用椭圆和圆的定义,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,以及直线和圆相交的弦长公式,考查不等式的性质,属于中档题.21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.【考点】51:函数的零点;6D:利用导数研究函数的极值.【专题】32:分类讨论;35:转化思想;4C:分类法;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】(Ⅰ)由函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2可得:f′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),对a进行分类讨论,综合讨论结果,可得答案.(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,则﹣a==,令g(x)=,则g(x1)=g(x2)=﹣a,分析g(x)的单调性,令m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)=,设h(m)=,m>0,利用导数法可得h(m)>h(0)=0恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,令m=1﹣x1>0,可得结论.【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2,∴f′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),①若a=0,那么f(x)=0⇔(x﹣2)e x=0⇔x=2,函数f(x)只有唯一的零点2,不合题意;②若a>0,那么e x+2a>0恒成立,当x<1时,f′(x)<0,此时函数为减函数;当x>1时,f′(x)>0,此时函数为增函数;此时当x=1时,函数f(x)取极小值﹣e,由f(2)=a>0,可得:函数f(x)在x>1存在一个零点;当x<1时,e x<e,x﹣2<﹣1<0,∴f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2>(x﹣2)e+a(x﹣1)2=a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e,令a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e=0的两根为t1,t2,且t1<t2,则当x<t1,或x>t2时,f(x)>a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e>0,故函数f(x)在x<1存在一个零点;即函数f(x)在R是存在两个零点,满足题意;③若﹣<a<0,则ln(﹣2a)<lne=1,当x<ln(﹣2a)时,x﹣1<ln(﹣2a)﹣1<lne﹣1=0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当ln(﹣2a)<x<1时,x﹣1<0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0恒成立,故f(x)单调递减,当x>1时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故当x=ln(﹣2a)时,函数取极大值,由f(ln(﹣2a))=[ln(﹣2a)﹣2](﹣2a)+a[ln(﹣2a)﹣1]2=a{[ln(﹣2a)﹣2]2+1}<0得:函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;④若a=﹣,则ln(﹣2a)=1,当x<1=ln(﹣2a)时,x﹣1<0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当x>1时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;⑤若a<﹣,则ln(﹣2a)>lne=1,当x<1时,x﹣1<0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当1<x<ln(﹣2a)时,x﹣1>0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0恒成立,故f(x)单调递减,当x>ln(﹣2a)时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故当x=1时,函数取极大值,由f(1)=﹣e<0得:函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;综上所述,a的取值范围为(0,+∞)证明:(Ⅱ)∵x1,x2是f(x)的两个零点,∴f(x1)=f(x2)=0,且x1≠1,且x2≠1,∴﹣a==,令g(x)=,则g(x1)=g(x2)=﹣a,∵g′(x)=,∴当x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增;设m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)=﹣=,设h(m)=,m>0,则h′(m)=>0恒成立,即h(m)在(0,+∞)上为增函数,h(m)>h(0)=0恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,令m=1﹣x1>0,则g(1+1﹣x1)>g(1﹣1+x1)⇔g(2﹣x1)>g(x1)=g(x2)⇔2﹣x1>x2,即x1+x2<2.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值,函数的零点,分类讨论思想,难度较大.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.【考点】N9:圆的切线的判定定理的证明.【专题】14:证明题;35:转化思想;49:综合法;5M:推理和证明.【分析】(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK.根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB,∠A=30°,OK=OAsin30°=OA,则AB是圆O的切线.(Ⅱ)设圆心为T,证明OT为AB的中垂线,OT为CD的中垂线,即可证明结论.【解答】证明:(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK,∵OA=OB,∠AOB=120°,∴OK⊥AB,∠A=30°,OK=OAsin30°=OA,∴直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设T是A,B,C,D四点所在圆的圆心.∵OA=OB,TA=TB,∴OT为AB的中垂线,同理,OC=OD,TC=TD,∴OT为CD的中垂线,∴AB∥CD.【点评】本题考查了切线的判定,考查四点共圆,考查学生分析解决问题的能力.解答此题时,充分利用了等腰三角形“三合一”的性质.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QE:参数方程的概念.【专题】11:计算题;35:转化思想;4A:数学模型法;5S:坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)把曲线C1的参数方程变形,然后两边平方作和即可得到普通方程,可知曲线C1是圆,化为一般式,结合x2+y2=ρ2,y=ρsinθ化为极坐标方程;(Ⅱ)化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程,由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,把C1与C2的方程作差,结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0,则a 值可求.【解答】解:(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2+(y﹣1)2=a2.∴C1为以(0,1)为圆心,以a为半径的圆.化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2=0.①由x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0;(Ⅱ)C2:ρ=4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,②即(x﹣2)2+y2=4.由C3:θ=α0,其中α0满足tanα0=2,得y=2x,∵曲线C1与C2的公共点都在C3上,∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,①﹣②得:4x﹣2y+1﹣a2=0,即为C3 ,∴1﹣a2=0,∴a=1(a>0).【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,训练了两圆公共弦所在直线方程的求法,是基础题.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.【考点】&2:带绝对值的函数;3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35:转化思想;48:分析法;59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)运用分段函数的形式写出f(x)的解析式,由分段函数的画法,即可得到所求图象;(Ⅱ)分别讨论当x≤﹣1时,当﹣1<x<时,当x≥时,解绝对值不等式,取交集,最后求并集即可得到所求解集.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=,由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右:(Ⅱ)由|f(x)|>1,可得当x≤﹣1时,|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1;当﹣1<x<时,|3x﹣2|>1,解得x>1或x<,即有﹣1<x<或1<x<;当x≥时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或≤x<3.综上可得,x<或1<x<3或x>5.则|f(x)|>1的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法,注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法,考查运算能力,属于基础题.。
2022年高考数学核心考点专题训练专题1 集合(含解析)
2022年高考数学核心考点专题训练专题1集合一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1.若A、B是全集I的真子集,则下列四个命题:①A∩B=A; ②A∪B=A; ③A∩(∁I B)=⌀; ④A∩B=I⑤x∈B是x∈A的必要不充分条件.其中与命题A⊆B等价的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知非空集合A,B满足以下两个条件:(1)A∪B={1,2,3,4}3,A∩B=⌀;(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对A,B的个数为()A.1B.2C.3D.43.已知集合M,P满足M∪P=M,则下列关系中:①M=P;②M⫌P;③M∩P=P;④P⊆M.一定正确的是()A.①②B.③④C.③D.④4.有下列命题:①mx2+2x−1=0是一元二次方程;②二次函数y=ax2+2x−1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.对于任意两个数x,y(x,y∈N∗),定义某种运算“◎”如下:①当或,时,x◎y=x+y;②当,时,x◎y=xy则集合A= {(x,y)|x◎y=10}的子集个数是()A.214个B.213个C.211个D.27个6.已知集合A={x|−2<x<3},B={x|m<x<m+9}.若A∩B≠⌀,则实数m的取值范围为( )A.{m|m<3}B.{m|m⩾−11}C.{m|−11⩽m⩽3}D.{m|−11<m<3}7.已知集合A={x|−2⩽x⩽5},B={x|m+1⩽x⩽2m−1}.若B⊆A,则实数m的取值范围为( )A.m⩾3B.2⩽m⩽3C.m⩾2D.m⩽38.设集合S,T中至少有两个元素,且S,T满足:①对任意x,y∈S,若x≠y,则x+y∈T②对任意x,y∈T,若x≠y,则x−y∈S,下列说法正确的是()A.若S有2个元素,则S∪T有4个元素B.若S有2个元素,则S∪T有3个元素C.存在3个元素的集合S,满足S∪T有5个元素D.存在3个元素的集合S,满足S∪T有4个元素9.已知集合A=x∈R≤1,B=x∈−2a x−a2−1<0,若∁R A∩B=⌀,则实数a的A.1,+∞B.0,+∞C.0,+∞D.1,+∞10.设集合M={x|x2−x>0}.N={x|1x<1},则( )A.M⊊NB.N⊊MC.M=ND.M∪N=R11.若集合A=x x−3x+1≥0,B=x ax+1≤0,若B⊆A,则实数a的取值范围是()A.−13,1B.−13,1C.−∞,−1⋃0,+∞D.−13,0⋃0,112.设集合S={−20,21,5,−11,−15,30,a},我们用f(S)表示集合S的所有元素之和,用g(S)表示集合S的所有元素之积,例如:若A={2},则f(A)=g(A)=2;若B={2,3},则f(B)=2+3,g(B)= 2×3.那么下列说法正确的是()A.若a=0,对S的所有非空子集A i,f(A i)的和为320B.若a=0,对S的所有非空子集B i,f(B i)的和为−640C.若a=−1,对S的所有非空子集C i,g(C i)的和为−1D.若a=−1,对S的所有非空子集D i,g(D i)的和为0二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知集合A={x|x2−6x+8=0},B={x|mx−4=0},且B∩A=B,则实数m所取到的值构成的集合C=,则A∪C=.14.设集合A={0,3},B={m+2,m2+2},若A∩B={3},则集合A∪B的子集的个数为.15.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合是“好集合”,给出下列4个集合:①M={(x,y)|y=1x};②M={(x,y)|y=e x−2};③M={(x,y)|y=cosx};④M={(x,y)|y=lnx}.其中为“好集合”的序号是______.16.已知集合{a,b,c}={0,1,2},有下列三个关系①a≠2;②b=2;③c≠0,若三个关系中有且只有一个正确的,则a+2b+3c=____________.专题1集合一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)17.若A、B是全集I的真子集,则下列四个命题:①A∩B=A; ②A∪B=A; ③A∩(∁I B)=⌀; ④A∩B=I⑤x∈B是x∈A的必要不充分条件.其中与命题A⊆B等价的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解:由A⊆B得Venn图,①A∩B=A⇔A⊆B;②A∪B=A⇔B⊆A;③A∩∁I B=⌀⇔A⊆B;④A∩B=IA⊆I B⊆I⇔A=B=I⇒A⊆B,但A⊆B不一定能得出A=B=I,故A∩B=I与A⊆B不等价;⑤x∈B是x∈A的必要不充分条件,则A⊆B,但A⊆B不一定能得x∈B是x∈A的必要不充分条件,所以不等价.故和命题A⊆B等价的有①③,故选B.18.已知非空集合A,B满足以下两个条件:(1)A∪B={1,2,3,4}3,A∩B=⌀;(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对A,B的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】若集合A中只有1个元素,则集合B中有3个元素,则1∉A,3∉B,即3∈A,1∈B,此时有1对;同理,若集合B只有1个元素,则集合A中有3个元素,有1对;若集合A中有2个元素,则集合B中有2个元素,2∉A,2∉B,不满足条件.所以满足条件的有序集合对(A,B)的个数为1+1=2,故选B.19.已知集合M,P满足M∪P=M,则下列关系中:①M=P;②M⫌P;③M∩P=P;④P⊆M.一定正确的是()A.①②B.③④C.③D.④【答案】B已知集合M,P满足M∪P=M,则P⊆M,故④正确,①错误,②错误;由P⊆M可得M∩P=P,故③正确,故选B20.有下列命题:①mx2+2x−1=0是一元二次方程;②二次函数y=ax2+2x−1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】①当m=0时,方程是一元一次方程,错误;②方程ax2+2x−1=0(a≠0)的判别式Δ=4+4a,其值不一定大于或等于0,所以与x轴至少有一个交点不能确定,错误;③正确;④空集不是空集的真子集,错误.故选A.21.对于任意两个数x,y(x,y∈N∗),定义某种运算“◎”如下:①当或,时,x◎y=x+y;②当,时,x◎y=xy则集合A= {(x,y)|x◎y=10}的子集个数是()A.214个B.213个C.211个D.27个【答案】C【解析】按照题意,将集合A中元素逐一列举出来如下:A={(10, 1), (2, 5), (1, 9), (9, 1), (2, 8), (8, 2), (3, 7), (7, 3), (4, 6),(6, 4), (5, 5)},故集合A中共有11个元素,所以集合A的子集个数为211.故选C.22.已知集合A={x|−2<x<3},B={x|m<x<m+9}.若A∩B≠⌀,则实数m的取值范围为( )A.{m|m<3}B.{m|m⩾−11}C.{m|−11⩽m⩽3}D.{m|−11<m<3}【答案】D【解析】若A∩B=⌀,利用下图的数轴可得m+9⩽−2或m⩾3,∴m⩽−11或m⩾3.∴满足A∩B≠⌀的实数m的取值范围为{m|−11<m<3}.故选D.23.已知集合A={x|−2⩽x⩽5},B={x|m+1⩽x⩽2m−1}.若B⊆A,则实数m的取值范围为( )A.m⩾3B.2⩽m⩽3C.m⩾2D.m⩽3【答案】D【解析】A={x|−2⩽x⩽5},B={x|m+1⩽x⩽2m−1},而B⊆A,(1)当B=⌀时,满足B⊆A,此时m+1>2m−1,解得m<2;(2)当B≠⌀时,B⊆A,则计算得出2≤m≤3.综上,m≤3.故选D.24.设集合S,T中至少有两个元素,且S,T满足:①对任意x,y∈S,若x≠y,则x+y∈T②对任意x,y∈T,若x≠y,则x−y∈S,下列说法正确的是()A.若S有2个元素,则S∪T有4个元素B.若S有2个元素,则S∪T有3个元素C.存在3个元素的集合S,满足S∪T有5个元素D.存在3个元素的集合S,满足S∪T有4个元素【答案】B【解析】若S有2个元素,不妨设S={a,b},由 ②知集合S中的两个元素必为相反数,故可设S={a,−a};由 ①得0∈T,由于集合T中至少有两个元素,故至少还有另外一个元素m∈T,当集合T有2个元素时,由 ②得:−m∈S,则m=±a,T={0,−a}或T={0,a},当集合T有多于2个元素时,不妨设T={0,m,n},由 ②得:m,n,−m,−n,m−n,n−m∈S,由于m,n≠0,所以m≠m−n,n≠n−m,又m≠n,故集合S中至少有3个元素,矛盾,综上,S∪T={0,a,−a},故B正确;若S有3个元素,不妨设S={a,b,c},其中a<b<c,则{a+b,b+c,c+a}⊆T,所以c−a,c−b,b−a,a−c,b−c,a−b∈S,集合S中至少两个不同正数,两个不同负数,即集合S中至少有4个元素,矛盾,排除C,D.故选B.25.已知集合A=x∈R≤1,B=x∈−2a x−a2−1<0,若∁R A∩B=⌀,则实数a的A.1,+∞B.0,+∞C.0,+∞D.1,+∞【答案】B【解析】∵集合A={x∈R|12x+1≤1}={x|−2x2x+1≤0}={x|x<−12或x≥0},B={x∈R|(x−2a)(x−a2−1)<0},∵2a≤a2+1,∴当2a=a2+1时,a=1,B=⌀,满足题意;当2a<a2+1时,a≠1,B={x|2a<x<a2+1},∁R A={x|−12≤x<0},∴a2+1≤−12或2a≥0,a≠1,解得a≥0,且a≠1,综上,a≥0,即实数a的取值范围是[0,+∞).故选:B.26.设集合M={x|x2−x>0}.N={x|1x<1},则( )A.M⊊NB.N⊊MC.M=ND.M∪N=R【答案】C【解析】解:解x2−x>0得,x<0或x>1;解1x<1得,x>1,或x<0;∴M=N.故选:C.27.若集合A=x x−3x+1≥0,B=x ax+1≤0,若B⊆A,则实数a的取值范围是()A.−13,1B.−13,1C.−∞,−1⋃0,+∞D.−13,0⋃0,1【答案】A【解析】因为x−3x+1≥0,所以x+1≠0(x−3)(x+1)≥0,所以x<−1或x≥3,所以A={x|x<−1或x≥3},当a=0时,1≤0不成立,所以B=⌀,所以B⊆A满足,当a>0时,因为ax+1≤0,所以x≤−1a,又因为B⊆A,所以−1a<−1,所以0<a<1,当a<0时,因为ax+1≤0,所以x≥−1a,又因为B⊆A,所以−1a≥3,所以−13≤a<0综上可知:a∈[−13,1).故选:A28.设集合S={−20,21,5,−11,−15,30,a},我们用f(S)表示集合S的所有元素之和,用g(S)表示集合S的所有元素之积,例如:若A={2},则f(A)=g(A)=2;若B={2,3},则f(B)=2+3,g(B)= 2×3.那么下列说法正确的是()A.若a=0,对S的所有非空子集A i,f(A i)的和为320B.若a=0,对S的所有非空子集B i,f(B i)的和为−640C.若a=−1,对S的所有非空子集C i,g(C i)的和为−1D.若a=−1,对S的所有非空子集D i,g(D i)的和为0【答案】C【解析】由于S={−20,21,5,−11,−15,30,a}中的所有元素的和为a,则在S的所有非空子集中,对任意x∈S,含有x的非空子集的个数为26,从而A⊂S f (A)=26⋅A⊂S x =a⋅26.从而当a=0时,A⊂S f (A)=0,故选项A,B均错误.当a=−1时,S={−20,21,5,−11,−15,30,−1},对于S中的任意子集A,若−1∈A,则将元素−1从集合A中删除得集合B=A={−1},则g(A)=−g(B);若−1∉A,则将元素−1添加到集合A中得集合B=A∪{−1},则g(A)=−g(B).由此A⊂S g (A)=g({−1))=−1,因此C选项正确.故选C.二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)29.已知集合A={x|x2−6x+8=0},B={x|mx−4=0},且B∩A=B,则实数m所取到的值构成的集合C=,则A∪C=.【答案】{0,1,2};{0,1,2,4}.【解析】A={x|x2−6x+8=0}={2,4},∵B∩A=B,∴B⊆A,当m=0时,B=⌀,满足条件,B⊆A,当m≠0时,B={4m},若满足条件,B⊆A,则4m=2或4m=4,即m=2或m=1,综上实数m的值构成的集合C={0,1,2};∵A={2,4},C={0,1,2},则A∪C={0,1,2,4}.故答案为:{0,1,2};{0,1,2,4}.30.设集合A={0,3},B={m+2,m2+2},若A∩B={3},则集合A∪B的子集的个数为.【答案】8【解析】因为集合A={0,3},B={m+2,m2+2},且A∩B={3},所以3∈B,所以m+2=3或m2+2=3,解得m=1或m=−1,当m=1时,此时B={3,3},不满足集合中元素的互异性,故舍之,当m=−1时,B={1,3},满足题意,此时A∪B={0,1,3},所以集合A∪B的子集的个数为23=8.故答案为8.31.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合是“好集合”,给出下列4个集合:①M={(x,y)|y=1x};②M={(x,y)|y=e x−2};③M={(x,y)|y=cosx};④M={(x,y)|y=lnx}.其中为“好集合”的序号是______.【答案】②③【解析】对于①,注意到x1x2+1x1x2=0无实数解,因此①不是“好集合”;对于②,如下左图,注意到过原点任意作一条直线与曲线y=e x−2相交,过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=e x−2相交,因此②是“好集合”;对于③,如下中图,注意到过原点任意作一条直线与曲线y=cosx相交,过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=cosx相交,因此③是“好集合”;对于④,如下右图,注意到对于点(1,0),不存在(x2,y2)∈M,使得1×x2+0×lnx2=0,因为x2=0与真数的限制条件x2>0矛盾,因此④不是“好集合”.故答案为:②③32.已知集合{a,b,c}={0,1,2},有下列三个关系①a≠2;②b=2;③c≠0,若三个关系中有且只有一个正确的,则a+2b+3c=____________.【答案】5【解析】由已知,若a≠2正确,则a=0或a=1,即a=0,b=1,c=2或a=0,b=2,c=1或a=1,b=0,c=2或a=1,b=2,c=0,均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾;若b=2正确,则a≠2正确,不符合题意;所以,只有c≠0正确,a=2,b=0,c=1,故a+2b+3c=5.故答案为:5.。
全国统一高考数学练习卷及答案 (1)
普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(满分150分,考试时间120分钟)一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.在100,101,102,…,999这些数中,各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是()A.120B.168C.204D.2162.不等式|x+log2x|<|x|+|log2x|的解集为()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)3.已知α、β以及α+β均为锐角,x=sin(α+β),y=sinα+sinβ,z=cosα+cos β,那么x、y、z 的大小关系是()A.x<y<zB.y<x<zC.x<z<yD.y<z<x4.过曲线xy=a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是()A.a2B.C.2a2D.不确定5.若展开式的第3项为144,则的值是()A.2B.1C.D.06.正四面体的内切球和外接球的半径分别为r 和R,则r:R 为()A.1:2B.1:3C.1:4D.1:97.已知椭圆的中心在原点,离心率且它的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合,则此椭圆的方程为()A.B.C.D.22a 9)21(0x -)1211(lim 20---→x x x x 2113422=+y x 16822=+y x 1222=+y x 1422=+y x8.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下表:表1市场供给量单价(元/kg)22.42.83.23.64供给量(1000kg)506070758090表2市场需求量单价(元/kg)43.42.92.62.32需求量(1000kg)506065707580根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间()A.(2.3,2.6)内B.(2.4,2.6)内C.(2.6,2.8)内D.(2.8,2.9)内9.椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为()A.41B.21C.2D.410.若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线3x-y=0,则点P 的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,0)D.(-1,0)11.已知函数)(x f y =是R 上的偶函数,且在(-∞,]0上是减函数,若)2()(f a f ≥,则实数a 的取值范围是()A.a≤2B.a≤-2或a≥2C.a≥-2D.-2≤a≤212.如图,E、F 分别是三棱锥P-ABC 的棱AP、BC 的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB 与PC 所成的角为()A.60°B.45°C.0°D.120°二、填空题(共4小题,每小题5分;共计20分)1.“面积相等的三角形全等”的否命题是______命题(填“真”或者“假”)2.已知βαβαββα+=++⋅+=则为锐角且,,,0tan )tan (tan 3)1(3tan m m 的值为_____3.某乡镇现有人口1万,经长期贯彻国家计划生育政策,目前每年出生人数与死亡人数分别为年初人口的0.8%和1.2%,则经过2年后,该镇人口数应为_____万.(结果精确到0.01)4.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数(如34689).则五位“渐升数”共有____个,若把这些数按从小到大的顺序排列,则第100个数为______.三、大题:(满分70分)1.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=.(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)求C 上的点到l 距离的最小值.2.已知a,b,c 为正数,且满足abc=1.证明:(1)222111a b c a b c ++≤++;(2)333()()()24a b b c c a +++≥++.3.如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形,点E 在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.4.知实数x ,y 满足04=-+y x ,求22)1()1(-+-y x 的最小值.5.直线x y 2=是ABC ∆中C ∠的平分线所在的直线,且A ,B 的坐标分别为)2,4(-A ,)1,3(B ,求顶点C 的坐标并判断ABC ∆的形状.6.两条直线m y x m l 352)3(1-=++:,16)5(42=++y m x l :,求分别满足下列条件的m 的值.(1)1l 与2l 相交;(2)1l 与2l 平行;(3)1l 与2l 重合;(4)1l 与2l 垂直;(5)1l 与2l 夹角为︒45.参考答案:一、选择题:1-5题答案:BAACC 6-10题答案:BACAC 11-12题答案:BA二、填空题:1、真2、3π3、0.994、126,24789三、大题:1.解:(1)因为221111tt--<≤+,且()22222222141211y t txt t⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C的直角坐标方程为221(1)4yx x+=≠-.l的直角坐标方程为2110x+=.(2)由(1)可设C的参数方程为cos,2sinxyαα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<).C上的点到lπ4cos113α⎛⎫-+⎪=当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l.2.解:(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =,故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c ac 3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.3.解:(1)由已知得,11B C ⊥平面11ABB A ,BE ⊂平面11ABB A ,故11B C ⊥BE .又1BE EC ⊥,所以BE ⊥平面11EB C .(2)由(1)知190BEB ∠=︒.由题设知11Rt Rt ABE A B E ≅△△,所以45AEB ∠=︒,故AE AB =,12AA AB =.以D 为坐标原点,DA的方向为x 轴正方向,||DA 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则C (0,1,0),B (1,1,0),1C (0,1,2),E (1,0,1),(1,1,1)CE =-,1(0,0,2)CC = .设平面EBC 的法向量为n=(x,y,x),则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取n=(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m=(x,y,z),则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取m=(1,1,0).于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m .所以,二面角1B EC C --的正弦值为32.4.知实数x ,y 满足04=-+y x ,求22)1()1(-+-y x 的最小值.分析:本题可使用减少变量法和数形结合法两种方法:22)1()1(-+-y x 可看成点),(y x 与)1,1(之间的距离.解:(法1)由04=-+y x 得x y -=4(R x ∈),则2222)14()1()1()1(--+-=-+-x x y x961222+-++-=x x x x 10822+-=x x 2)2(22+-=x ,∴22)1()1(-+-y x 的最小值是2.(法2)∵实数x ,y 满足04=-+y x ,∴点),(y x P 在直线04=-+y x 上.而22)1()1(-+-y x 可看成点),(y x P 与点)1,1(A之间的距离(如图所示)显然22)1()1(-+-y x 的最小值就是点)1,1(A 到直线04=-+y x 的距离:21141122=+-+=d ,∴22)1()1(-+-y x 的最小值为2.说明:利用几何意义,可以使复杂问题简单化.形如22)()(b y a x -+-的式子即可看成是两点间的距离,从而结合图形解决.5.直线x y 2=是ABC ∆中C ∠的平分线所在的直线,且A ,B 的坐标分别为)2,4(-A ,)1,3(B ,求顶点C 的坐标并判断ABC ∆的形状.分析:“角平分线”就意味着角相等,故可考虑使用直线的“到角”公式将“角相等”列成一个表达式.解:(法1)由题意画出草图(如图所示).∵点C 在直线x y 2=上,∴设)2,(a a C ,则422+-=a a k AC ,312--=a a k BC ,2=l k .由图易知AC 到l 的角等于l 到BC 的角,因此这两个角的正切也相等.∴l BC lBC l AC AC l k k k k k k k k +-=⋅+-11,∴231212312242214222⋅--+---=⋅+-++--a a a a a a a a .解得2=a .∴C 的坐标为)4,2(,∴31=AC k ,3-=BC k ,∴BC AC ⊥.∴ABC ∆是直角三角形.(法2)设点)2,4(-A 关于直线x y l 2=:的对称点为),('b a A ,则'A 必在直线BC 上.以下先求),('b a A .由对称性可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅=+-=+-,24222,2142a b a b 解得⎩⎨⎧-==24b a ,∴)2,4('-A .∴直线BC 的方程为343121--=---x y ,即0103=-+y x .由⎩⎨⎧=-+=01032y x xy 得)4,2(C .∴31=AC k ,3-=BC k ,∴BC AC ⊥.∴ABC ∆是直角三角形.说明:(1)在解法1中设点C 坐标时,由于C 在直线x y 2=上,故可设)2,(a a ,而不设),(b a ,这样可减少未知数的个数.(2)注意解法2中求点)2,4(-A 关于l 的对称点),('b a A 的求法:原理是线段'AA 被直线l 垂直平分.6.两条直线m y x m l 352)3(1-=++:,16)5(42=++y m x l :,求分别满足下列条件的m 的值.(1)1l 与2l 相交;(2)1l 与2l 平行;(3)1l 与2l 重合;(4)1l 与2l 垂直;(5)1l 与2l 夹角为︒45.分析:可先从平行的条件2121b b a a =(化为1221b a b a =)着手.解:由mm +=+5243得0782=++m m ,解得11-=m ,72-=m .由163543m m -=+得1-=m .(1)当1-≠m 且7-≠m 时,2121b b a a ≠,1l 与2l 相交;(2)当7-=m 时,212121c c b b a a ≠=.21//l l ;(3)当1-=m 时,212121c c b b a a ==,1l 与2l 重合;(4)当02121=+b b a a ,即0)5(24)3(=+⋅+⋅+m m ,311-=m 时,21l l ⊥;(5)231+-=m k ,m k +-=542.由条件有145tan 11212=︒=+-k k k k .将1k ,2k 代入上式并化简得029142=++m m ,527±-=m ;01522=-+m m ,35或-=m .∴当527±-=m 或-5或3时1l 与2l 夹角为︒45.说明:由m m +=+5243解得1-=m 或7-=m ,此时两直线可能平行也可能重合,可将m 的值代入原方程中验证是平行还是重合.当m m +≠+5243时两直线一定相交,此时应是1-≠m 且7-≠m .。
高考数学大题专题练习 (1)
10 10
+
5 5
3 ×
1010=
2 10 .
第8页
3.(2019·东北三省三校第一次联考)设函数 f(x)=sin2x-π6+ 2cos2x.
(1)当 x∈0,π2时,求函数 f(x)的值域; (2)△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 f(A) =32, 2a= 3b,c=1+ 3,求△ ABC 的面积.
1--
11002=3
10 10 .
在△ ABC 中,由正弦定理得sinaA=sibnB,
即 3
310=sin2B,
10
第7页
∴sinB= 55.又 A∈π2,π,故 B∈0,π2,
∴cosB= 1-sin2B=
1-
552=2
5
5 .
∴cos(B - A) = cosBcosA + sinBsinA = 255 ×-
∵ 2a= 3b,∴由正弦定理可得 2sinA= 3sinB,
∴sinB=
2 2.
第11页
∵0<B<23π,∴B=π4.
∴sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=
6+ 4
2 .
∵由正弦定理可得sincC= 42=sibnB,
∴b=2.
∴S△ ABC=12bcsinA=3+2
3 .
第12页
4.(2019·广东省六校第二次联考)已知△ ABC 的三个内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asinAsinB+bcos2A=53a.
(1)求ba; (2)若 c2=a2+85b2,求角 C 的大小.
第13页
解析 (1)由正弦定理及已知条件得 sin2AsinB+sinBcos2A= 53sinA,即 sinB(sin2A+cos2A)=53sinA,
全国统一高考数学试卷(大纲版)(含解析版)(1)
全国统一高考数学试卷(大纲版)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)复数=()A.2+i B.2﹣i C.1+2i D.1﹣2i2.(5分)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m的值为()A.0或B.0或3C.1或D.1或33.(5分)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=﹣4,则该椭圆的方程为()A.B.C.D.4.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为()A.2B.C.D.15.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为()A.B.C.D.6.(5分)△ABC中,AB边的高为CD,若=,=,•=0,||=1,||=2,则=()A.B.C.D.7.(5分)已知α为第二象限角,,则cos2α=()A.﹣B.﹣C.D.8.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x2﹣y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=()A.B.C.D.9.(5分)已知x=lnπ,y=log52,,则()A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x10.(5分)已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=()A.﹣2或2B.﹣9或3C.﹣1或1D.﹣3或111.(5分)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()A.12种B.18种C.24种D.36种12.(5分)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,,动点P 从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为()A.16B.14C.12D.10二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.(注意:在试题卷上作答无效)13.(5分)若x,y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为.14.(5分)当函数y=sinx﹣cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=.15.(5分)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.16.(5分)三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A﹣C)+cosB=1,a=2c,求C.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;(Ⅱ)设二面角A﹣PB﹣C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.19.(12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(Ⅰ)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(Ⅱ)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.20.(12分)设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.21.(12分)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(Ⅰ)求r;(Ⅱ)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.22.(12分)函数f(x)=x2﹣2x﹣3,定义数列{ x n}如下:x1=2,x n+1是过两点P(4,5),Q n (x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标.(Ⅰ)证明:2≤x n<x n+1<3;(Ⅱ)求数列{ x n}的通项公式.全国统一高考数学试卷(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)复数=()A.2+i B.2﹣i C.1+2i D.1﹣2i【考点】A5:复数的运算.【专题】11:计算题.【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数,得,由此利用复数的代数形式的乘除运算,能求出结果.【解答】解:===1+2i.故选:C.【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.2.(5分)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m的值为()A.0或B.0或3C.1或D.1或3【考点】1C:集合关系中的参数取值问题.【专题】5J:集合.【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A,由此判断出参数m可能的取值,再进行验证即可得出答案选出正确选项.【解答】解:由题意A∪B=A,即B⊆A,又,B={1,m},∴m=3或m=,解得m=3或m=0及m=1,验证知,m=1不满足集合的互异性,故m=0或m=3即为所求,故选:B.【点评】本题考查集合中参数取值问题,解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A,再由集合的包含关系得出参数所可能的取值.3.(5分)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=﹣4,则该椭圆的方程为()A.B.C.D.【考点】K3:椭圆的标准方程;K4:椭圆的性质.【专题】11:计算题.【分析】确定椭圆的焦点在x轴上,根据焦距为4,一条准线为x=﹣4,求出几何量,即可求得椭圆的方程.【解答】解:由题意,椭圆的焦点在x轴上,且∴c=2,a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选:C.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,属于基础题.4.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为()A.2B.C.D.1【考点】MI:直线与平面所成的角.【专题】11:计算题.【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE,再将线面距离转化为点面距离,最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解:如图:连接AC,交BD于O,在三角形CC1A中,易证OE∥C1A,从而C1A∥平面BDE,∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离,设为h,=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥E﹣ABD中,V E﹣ABD=×2×=2在三棱锥A﹣BDE中,BD=2,BE=,DE=,∴S△EBD=×S△EBD×h=×2×h=∴V A﹣BDE∴h=1故选:D.【点评】本题主要考查了线面平行的判定,线面距离与点面距离的转化,三棱锥的体积计算方法,等体积法求点面距离的技巧,属基础题5.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为()A.B.C.D.【考点】85:等差数列的前n项和;8E:数列的求和.【专题】11:计算题.【分析】由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求a1,d,进而可求a n,代入可得==,裂项可求和【解答】解:设等差数列的公差为d由题意可得,解方程可得,d=1,a1=1由等差数列的通项公式可得,a n=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n∴===1﹣=故选:A.【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,及数列求和的裂项求和方法的应用,属于基础试题6.(5分)△ABC中,AB边的高为CD,若=,=,•=0,||=1,||=2,则=()A.B.C.D.【考点】9Y:平面向量的综合题.【分析】由题意可得,CA⊥CB,CD⊥AB,由射影定理可得,AC2=AD•AB可求AD,进而可求,从而可求与的关系,进而可求【解答】解:∵•=0,∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1,||=2∴AB=由射影定理可得,AC2=AD•AB∴∴∴==故选:D.【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用,向量的基本运算的应用,向量的数量积的性质的应用.7.(5分)已知α为第二象限角,,则cos2α=()A.﹣B.﹣C.D.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;GS:二倍角的三角函数.【专题】56:三角函数的求值.【分析】由α为第二象限角,可知sinα>0,cosα<0,从而可求得sinα﹣cosα=,利用cos2α=﹣(sinα﹣cosα)(sinα+cosα)可求得cos2α【解答】解:∵sinα+cosα=,两边平方得:1+sin2α=,∴sin2α=﹣,①∴(sinα﹣cosα)2=1﹣sin2α=,∵α为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0,∴sinα﹣cosα=,②∴cos2α=﹣(sinα﹣cosα)(sinα+cosα)=(﹣)×=﹣.故选:A.【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系,突出二倍角的正弦与余弦的应用,求得sinα﹣cosα=是关键,属于中档题.8.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x2﹣y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=()A.B.C.D.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11:计算题.【分析】根据双曲线的定义,结合|PF1|=2|PF2|,利用余弦定理,即可求cos∠F1PF2的值.【解答】解:将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1,则a=,b=,c=2,设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2,∵|F1F2|=2c=4,∴cos∠F1PF2====.故选:C.【点评】本题考查双曲线的性质,考查双曲线的定义,考查余弦定理的运用,属于中档题.9.(5分)已知x=lnπ,y=log52,,则()A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x【考点】72:不等式比较大小.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】利用x=lnπ>1,0<y=log52<,1>z=>,即可得到答案.【解答】解:∵x=lnπ>lne=1,0<log52<log5=,即y∈(0,);1=e0>=>=,即z∈(,1),∴y<z<x.故选:D.【点评】本题考查不等式比较大小,掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键,属于基础题.10.(5分)已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=()A.﹣2或2B.﹣9或3C.﹣1或1D.﹣3或1【考点】53:函数的零点与方程根的关系;6D:利用导数研究函数的极值.【专题】11:计算题.【分析】求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,可得极大值等于0或极小值等于0,由此可求c的值.【解答】解:求导函数可得y′=3(x+1)(x﹣1),令y′>0,可得x>1或x<﹣1;令y′<0,可得﹣1<x<1;∴函数在(﹣∞,﹣1),(1,+∞)上单调增,(﹣1,1)上单调减,∴函数在x=﹣1处取得极大值,在x=1处取得极小值.∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,∴极大值等于0或极小值等于0.∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0,∴c=﹣2或2.故选:A.【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0.11.(5分)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】由题意,可按分步原理计数,对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁.【解答】解:由题意,可按分步原理计数,首先,对第一列进行排列,第一列为a,b,c的全排列,共有种,再分析第二列的情况,当第一列确定时,第二列第一行只能有2种情况,当第二列一行确定时,第二列第2,3行只能有1种情况;所以排列方法共有:×2×1×1=12种,故选:A.【点评】本题若讨论三行每一行的情况,讨论情况较繁琐,而对两列的情况进行分析会大大简化解答过程.12.(5分)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,,动点P 从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为()A.16B.14C.12D.10【考点】IG:直线的一般式方程与直线的性质;IQ:与直线关于点、直线对称的直线方程.【专题】13:作图题;16:压轴题.【分析】通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图象分析反射的次数即可.【解答】解:根据已知中的点E,F的位置,可知第一次碰撞点为F,在反射的过程中,直线是平行的,利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G,且CG=,第二次碰撞点为H,且DH=,作图,可以得到回到E点时,需要碰撞14次即可.故选:B.【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图象分析反射的次数即可,属于难题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.(注意:在试题卷上作答无效)13.(5分)若x,y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1.【考点】7C:简单线性规划.【专题】11:计算题.【分析】作出不等式组表示的平面区域,由z=3x﹣y可得y=3x﹣z,则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大z越小,结合图形可求【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z,则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大z越小结合图形可知,当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C(0,1),此时z=﹣1故答案为:﹣1【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用,解题的关键是明确目标函数中z的几何意义,属于基础试题14.(5分)当函数y=sinx﹣cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=.【考点】GP:两角和与差的三角函数;HW:三角函数的最值.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin(x﹣)(0≤x<2π),即可求得y=sinx ﹣cosx(0≤x<2π)取得最大值时x的值.【解答】解:∵y=sinx﹣cosx=2(sinx﹣cosx)=2sin(x﹣).∵0≤x<2π,∴﹣≤x﹣<,∴y max=2,此时x﹣=,∴x=.故答案为:.【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数,着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质,将y=sinx﹣cosx(0≤x<2π)化为y=2sin(x﹣)(0≤x<2π)是关键,属于中档题.15.(5分)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为56.【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式,求出n的值,根据通项可求满足条件的系数【解答】解:由题意可得,∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为:56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质,以及系数的求解,解题的关键是根据二项式定理写出通项公式,同时考查了计算能力.16.(5分)三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】先选一组基底,再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示,最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解:如图,设=,,,棱长均为1,则=,=,=∵,∴=()•()=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos<,>===∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用,空间向量基本定理,向量数量积运算的性质及夹角公式的应用,有一定的运算量三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A﹣C)+cosB=1,a=2c,求C.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;HP:正弦定理.【专题】11:计算题.【分析】由cos(A﹣C)+cosB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=1,可得sinAsinC=,由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC,联立可求C【解答】解:由B=π﹣(A+C)可得cosB=﹣cos(A+C)∴cos(A﹣C)+cosB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=2sinAsinC=1∴sinAsinC=①由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②①②联立可得,∵0<C<π∴sinC=a=2c即a>c【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用,属于基础试题18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;(Ⅱ)设二面角A﹣PB﹣C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.【考点】LW:直线与平面垂直;MI:直线与平面所成的角;MM:向量语言表述线面的垂直、平行关系.【专题】11:计算题.【分析】(I)先由已知建立空间直角坐标系,设D(,b,0),从而写出相关点和相关向量的坐标,利用向量垂直的充要条件,证明PC⊥BE,PC⊥DE,从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可;(II)先求平面PAB的法向量,再求平面PBC的法向量,利用两平面垂直的性质,即可求得b的值,最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值,进而求得线面角【解答】解:(I)以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系A﹣xyz,设D(,b,0),则C(2,0,0),P(0,0,2),E(,0,),B(,﹣b,0)∴=(2,0,﹣2),=(,b,),=(,﹣b,)∴•=﹣=0,•=0∴PC⊥BE,PC⊥DE,BE∩DE=E∴PC⊥平面BED(II)=(0,0,2),=(,﹣b,0)设平面PAB的法向量为=(x,y,z),则取=(b,,0)设平面PBC的法向量为=(p,q,r),则取=(1,﹣,)∵平面PAB⊥平面PBC,∴•=b﹣=0.故b=∴=(1,﹣1,),=(﹣,﹣,2)∴cos<,>==设PD与平面PBC所成角为θ,θ∈[0,],则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法,线面垂直的判定定理,空间线面角的求法,有一定的运算量,属中档题19.(12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(Ⅰ)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(Ⅱ)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式;CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】15:综合题.【分析】(Ⅰ)记A i表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;A表示事件:第3次发球,甲得1分;B表示事件:开始第4次发球,甲、乙的比分为1比2,则B=A0A+A1,根据P(A)=0.4,P(A0)=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48,即可求得结论;(Ⅱ)P(A2)=0.62=0.36,ξ表示开始第4次发球时乙的得分,可取0,1,2,3,计算相应的概率,即可求得ξ的期望.【解答】解:(Ⅰ)记A i表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;A 表示事件:第3次发球,甲得1分;B表示事件:开始第4次发球,甲、乙的比分为1比2,则B=A0A+A1∵P(A)=0.4,P(A0)=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48∴P(B)=0.16×0.4+0.48×(1﹣0.4)=0.352;(Ⅱ)P(A2)=0.62=0.36,ξ表示开始第4次发球时乙的得分,可取0,1,2,3P(ξ=0)=P(A2A)=0.36×0.4=0.144P(ξ=2)=P(B)=0.352P(ξ=3)=P(A0)=0.16×0.6=0.096P(ξ=1)=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400.【点评】本题考查相互独立事件的概率,考查离散型随机变量的期望,确定变量的取值,计算相应的概率是关键.20.(12分)设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.【专题】15:综合题.【分析】(Ⅰ)求导函数,可得f'(x)=a﹣sinx,x∈[0.π],sinx∈[0,1],对a进行分类讨论,即可确定函数的单调区间;(Ⅱ)由f(x)≤1+sinx得f(π)≤1,aπ﹣1≤1,可得a≤,构造函数g(x)=sinx﹣(0≤x),可得g(x)≥0(0≤x),再考虑:①0≤x;②,即可得到结论.【解答】解:(Ⅰ)求导函数,可得f'(x)=a﹣sinx,x∈[0,π],sinx∈[0,1];当a≤0时,f'(x)≤0恒成立,f(x)单调递减;当a≥1 时,f'(x)≥0恒成立,f(x)单调递增;当0<a<1时,由f'(x)=0得x1=arcsina,x2=π﹣arcsina当x∈[0,x1]时,sinx<a,f'(x)>0,f(x)单调递增当x∈[x1,x2]时,sinx>a,f'(x)<0,f(x)单调递减当x∈[x2,π]时,sinx<a,f'(x)>0,f(x)单调递增;(Ⅱ)由f(x)≤1+sinx得f(π)≤1,aπ﹣1≤1,∴a≤.令g(x)=sinx﹣(0≤x),则g′(x)=cosx﹣当x时,g′(x)>0,当时,g′(x)<0∵,∴g(x)≥0,即(0≤x),当a≤时,有①当0≤x时,,cosx≤1,所以f(x)≤1+sinx;②当时,=1+≤1+sinx综上,a≤.【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,解题的关键是正确求导,确定函数的单调性.21.(12分)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(Ⅰ)求r;(Ⅱ)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.【考点】IM:两条直线的交点坐标;IT:点到直线的距离公式;KJ:圆与圆锥曲线的综合.【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】(Ⅰ)设A(x0,(x0+1)2),根据y=(x+1)2,求出l的斜率,圆心M(1,),求得MA的斜率,利用l⊥MA建立方程,求得A的坐标,即可求得r的值;(Ⅱ)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y﹣(t+1)2=2(t+1)(x﹣t),即y=2(t+1)x﹣t2+1,若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为,建立方程,求得t的值,求出相应的切线方程,可得D的坐标,从而可求D到l的距离.【解答】解:(Ⅰ)设A(x0,(x0+1)2),∵y=(x+1)2,y′=2(x+1)∴l的斜率为k=2(x0+1)当x0=1时,不合题意,所以x0≠1圆心M(1,),MA的斜率.∵l⊥MA,∴2(x0+1)×=﹣1∴x0=0,∴A(0,1),∴r=|MA|=;(Ⅱ)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y﹣(t+1)2=2(t+1)(x﹣t),即y=2(t+1)x﹣t2+1若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为∴∴t2(t2﹣4t﹣6)=0∴t0=0,或t1=2+,t2=2﹣抛物线C在点(t i,(t i+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n,其方程分别为y=2x+1①,y=2(t1+1)x﹣②,y=2(t2+1)x﹣③②﹣③:x=代入②可得:y=﹣1∴D(2,﹣1),∴D到l的距离为【点评】本题考查圆与抛物线的综合,考查抛物线的切线方程,考查导数知识的运用,考查点到直线的距离公式的运用,关键是确定切线方程,求得交点坐标.22.(12分)函数f(x)=x2﹣2x﹣3,定义数列{ x n}如下:x1=2,x n+1是过两点P(4,5),Q n (x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标.(Ⅰ)证明:2≤x n<x n+1<3;(Ⅱ)求数列{ x n}的通项公式.【考点】8H:数列递推式;8I:数列与函数的综合.【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】(Ⅰ)用数学归纳法证明:①n=1时,x1=2,直线PQ1的方程为,当y=0时,可得;②假设n=k时,结论成立,即2≤x k<x k+1<3,直线PQ k+1的方程为,当y=0时,可得,根据归纳假设2≤x k<x k+1<3,<x k+2<3,从而结论成立.可以证明2≤x k+1(Ⅱ)由(Ⅰ),可得,构造b n=x n﹣3,可得是以﹣为首项,5为公比的等比数列,由此可求数列{ x n}的通项公式.【解答】(Ⅰ)证明:①n=1时,x1=2,直线PQ1的方程为当y=0时,∴,∴2≤x1<x2<3;②假设n=k时,结论成立,即2≤x k<x k+1<3,直线PQ k+1的方程为当y=0时,∴∵2≤x k<x k+1<3,∴<x k+2∴x k+1<x k+2<3∴2≤x k+1即n=k+1时,结论成立由①②可知:2≤x n<x n+1<3;(Ⅱ)由(Ⅰ),可得设b n=x n﹣3,∴∴∴是以﹣为首项,5为公比的等比数列∴∴∴.【点评】本题考查数列的通项公式,考查数列与函数的综合,解题的关键是从函数入手,确定直线方程,求得交点坐标,再利用数列知识解决.。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习1 集合的概念(解析版)
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题1 集合的概念题型一判断元素与集合的关系1.下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N,则a∈N;③a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数,所以①错误;取a=2,则-2∉N,2∉N,所以②错误;对于③,当a=b=0时,a+b取得最小值是0,而不是2,所以③错误;对于④,解集中只含有元素1,故④错误.故选:A2.下列四个命题:①{0}是空集;②若a∈N,则-a∉N;③集合{x∈R|x2-2x+1=0}含有两个元素;④集合6|x Q Nx⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集.其中正确命题的个数是()A.1B.2 C.3D.0 【答案】D【解析】①{0}是含有一个元素0的集合,不是空集,所以①不正确; ②当a =0时,0∈N ,所以②不正确;③因为由x 2-2x +1=0,得x 1=x 2=1,所以{x ∈R |x 2-2x +1=0}={1},所以③不正确;④当x 为正整数的倒数时,6x∈N ,所以6|x Q N x⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集,所以④不正确.故选:D3.在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{}5k n k n Z =+∈,0,1,2,3,4k =,给出如下四个结论:①[]20111∈;②[]33-∈;③若整数,a b 属于同一“类”,则[]0a b -∈;④若[]0a b -∈,则整数,a b 属于同一“类”.其中,正确结论的个数是( ). A .1B .2C .3D .4 【答案】C【解析】对于①,201154021÷=⋅⋅⋅,[]20111∴∈,①正确; 对于②,352-=-+,即3-被5除余2,[]33∴-∉,②错误; 对于③,设15a n k =+,25b n k =+,()125a b n n ∴-=-,能被5整除,[]0a b ∴-∈,③正确;对于④,设5a b n -=,n Z ∈,即5a n b =+,n Z ∈, 不妨令5b m k =+,m Z ∈,0,1,2,3,4k =,则()555a n m k m n k =++=++,m Z ∈,n Z ∈,0,1,2,3,4k =,,a b ∴属于同一“类”, ④正确;综上所述:正确结论的个数为3个. 故选:C .4.已知集合{10}A x x =,23a =+,则a 与集合A 的关系是( ) A .a A ∈B .a A ∉C .a A =D .{}a A ∈ 【答案】A【解析】解:{|10}A x x =,23224a =+<+=,10a <,a A ∴∈,故选:A .5.下列三个命题:①集合N 中最小的数是1;②a N -∉,则a N ∈;③a N ∈,N b ∈,则+a b 的最小值是2.其中正确命题的个数是( ) A .0B .1C .2D .3 【答案】A【解析】①N 表示自然数集,最小的数为0,①错误; ②若32a N -=-∉,则32a N =∉,②错误; ③若0a =,1b =,则1a b +=,③错误.∴正确命题的个数为0个故选:A6.用符号“∈”或“∉”填空: (1)0________N *,5________Z ;(2)23________{x |x <11},32________{x |x >4};(3)(-1,1)________{y |y =x 2},(-1,1)________{(x ,y )|y =x 2}. 【答案】∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ 【解析】(1)*0N ∉5Z ;(2)22(23)(11)>,2311∴>,∴23{|11}∉<x x ;22(32)4>,即324>,∴32{|4}∈>x x ;(3)(-1,1)为点,{y |y =x 2}中元素为数,故(-1,1) ∉{y |y =x 2}. 又∵(-1)2=1,∴(-1,1)∈{(x ,y )|y =x 2}. 故答案为:∉;∉;∉;∈;∉;∈ 题型二 根据元素与集合的关系求参数1.若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素,则a 的取值可以是( ) A .0B .2019 C .1D .0或2019 【答案】C【解析】若集合M 中有两个元素,则a 2≠2 019a .即a ≠0且a ≠2 019.故选:C. 2.若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素,则(a =) A .92B .98C .0D .0或98【答案】D【解析】解:集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素, 当0a =时,可得23x =,集合A 只有一个元素为:23. 当0a ≠时:方程2320ax x -+=只有一个解:即980a ∆=-=, 可得:98a =. 故选:D .3.已知集合A 是由a ﹣2,2a 2+5a ,12三个元素组成的,且﹣3∈A ,求a =________. 【答案】32-【解析】解:由﹣3∈A ,可得﹣3=a ﹣2,或﹣3=2a 2+5a , 由﹣3=a ﹣2,解得a =﹣1,经过验证a =﹣1不满足条件,舍去.由﹣3=2a 2+5a ,解得a =﹣1或32-,经过验证:a =﹣1不满足条件,舍去. ∴a =32-.故答案为:﹣32.4.已知集合A 是由0,m ,m 2-3m +2三个元素组成的集合,且2∈A ,则实数m 的值为________. 【答案】3 【解析】∵2{0,,32}A m m m =-+,且2A ∈,∴2m =或2322m m -+=,即2m =或0m =或3m =,当2m =时,与元素的互异性相矛盾,舍去;当0m =时,与元素的互异性相矛盾,舍去;当3m =时,{}032A =,,满足题意,∴3m =,故答案是3. 5.已知集合2{|320}A x ax x =-+=,其中a 为常数,且a R ∈. (1)若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围. 【答案】(1)89≤a ;(2)89≤a 或0=a 【解析】解:(1)0a =,由320x -+=,解得23x =,满足题意,因此0a =.0a ≠时,A 中至少有一个元素,∴980a ∆=-,解得89≤a ,0a ≠. 综上可得:a 的取值范围是89≤a .(2)0a =,由320x -+=,解得23x =,满足题意,因此0a =.0a ≠时,A 中至多有一个元素,∴980a ∆=-,解得89≤a . 综上可得:a 的取值范围是89≤a 或0=a . 题型三 利用集合互异性求参数1.含有三个实数的集合既可表示为{,,0}b b a,也可表示为{,,1}a a b +,则+a b 的值为____. 【答案】0【解析】由题意{,,0}{,,1}bb a a b a=+,可得0a ≠,根据集合相等和元素的互异性,可得0a b +=且1b =,解得1,1a b =-=, 此时集合{,,0}{1,1,0},{,,1}{1,1,0}b b a a b a=-+=- 所以0a b +=. 故答案为0. 2.已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++,且1A ∈,则实数a 的值为________.【答案】1-或0【解析】若()211,a +=则0a =或2,a =- 当0a =时,{}2,1,3A =,符合元素的互异性; 当2a =-时,{}2,1,1A =,不符合元素的互异性,舍去 若2a 3a 31,++=则1a =-或2,a =-当1a =-时,{}2,0,1A =,符合元素的互异性;当2a =-时,{}2,1,1A =,不符合元素的互异性,舍去; 故答案为:1-或0.3.已知集合{}2411A a a a =+++,,{}2|0B x x px q =++=,若1A ∈.(1)求实数a 的值;(2)如果集合A 是集合B 的列举表示法,求实数p q ,的值. 【答案】(1)4a =-;(2)23p q ==-,.【解析】解:(1)∵1A ∈,∴2411a a ++=或者11a += 得4a =-或0a =,验证当0a = 时,集合{}11A =,,集合内两个元素相同,故舍去0a = ∴4a =-(2)由上4a =-得{}13A =-,,故集合B 中,方程20x px q ++=的两根为1、-3. 由一元二次方程根与系数的关系,得[1(3)]21(3)3p q =-+-==⨯-=-,.4.已知{}20,1,1a a a ∈--,求a 的值.【答案】1a =-【解析】由已知条件得:若a =0,则集合为{0,﹣1,﹣1},不满足集合元素的互异性,∴a ≠0; 若a ﹣1=0,a =1,则集合为{1,0,0},显然a ≠1;若a 2﹣1=0则a =±1,由上面知a =1不符合条件;a =﹣1时,集合为{﹣1,﹣2,0}; ∴a =﹣1.5.含有三个实数元素的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,又可表示成2{,,0}a a b +,求20172018a b +的值. 【答案】-1【解析】由题意得,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与2{,,0}a a b +表示同一个集合,所以0b a=且0a ≠,1a ≠,即0b =,则有{,0,1}a 与2{,,0}a a 表示同一个集合,所以21a =,解得1a =-,所以()2017201720182018101a b +=-+=-,故答案为:1-题型四 集合的描述方法 1.给出下列说法:①集合{}3x x x ∈=N 用列举法表示为{}1,0,1-;②实数集可以表示为{|x x 为实数}或{}R ; ③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合为{}1,2x y ==.其中不正确的有______.(把所有不正确说法的序号都填上) 【答案】①②③【解析】①由3x x =,即()210x x -=,得0x =或1x =或1x =-.因为1-∉N ,所以集合{}3x xx ∈=N 用列举法表示为{}0,1.②实数集正确的表示为{|x x 为实数}或R .③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合正确的表示应为(){}1,2或()1,,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭.故①②③均不正确. 2.定义集合运算(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈,集合{}{}0,1,2,3A B ==,则集合A B 所有元素之和为________ 【答案】18【解析】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18 故答案为:183.设数集A 由实数构成,且满足:若x A ∈(1x ≠且0x ≠),则11A x∈- . (1)若2A ∈,试证明集合A 中有元素1-,12; (2)判断集合A 中至少有几个元素,并说明理由; (3)若集合A 中的元素个数不超过8,所有元素的和为143,且集合A 中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A .【答案】(1)证明见解析;(2)至少有3个元素.理由见解析(3)112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭【解析】(1)由题意,因为2A ∈,可得1112A =-∈-. 因为1A -∈,则()11112A =-∈-.所以集合A 中有元素1-,12.(2)由题意,可知若x A ∈(1x ≠且0x ≠), 则11A x ∈-,1x A x -∈,且11x x ≠-,111x x x -≠-,1x x x-≠, 故集合A 中至少有3个元素.(3)由集合A 中的元素个数不超过8,所以由(2)知A 中有6个元素. 设1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭,m x ≠,1x ≠且0x ≠,1m ≠且0m ≠, 因为集合A 中所有元素的积为1,不妨设21x =,或2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.当21x =时,1x =(舍去)或1x =-;若1x =-,则1,22A ∈. ∵集合A 中所有元素的和为143,∴1111421213m m m m -+-+++=-, ∴3261960m m m -++=,即()32261860m m m m ----=,即()()23620m m m ---=,即()()()321320m m m -+-=,∴12m =-或3或23,∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.当2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭时,同理可得112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 综上,112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.题型五 元素个数的求解及参数问题1.用()d A 表示集合A 中的元素个数,若集合()(){}2210A x x ax x ax =--+=,{}0,1B =,且()()1d A d B -=.设实数a 的所有可能取值构成集合M ,则()d M =( )A .3B .2C .1D .4 【答案】A【解析】由题意,()()1d A d B -=,()2d B =,可得()d A 的值为1或3,若()1d A =,则20x ax -=仅有一根,必为0,此时a =0,则22110x ax x -+=+=无根,符合题意若()3d A =,若20x ax -=仅有一根,必为0,此时a =0,则22110x ax x -+=+=无根,不合题意,故20x ax -=有二根,一根是0,另一根是a ,所以210x ax -+=必仅有一根,所以2Δ40a =-=,解得2a =±,此时210x ax -+=的根为1或1-,符合题意,综上,实数a 的所有可能取值构成集合{0,2,2}M =-,故()3d M =. 故选:A .2.已知集合{}2,,M m m a b a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是( ) ①12π+;②1162+;③122+;④2323-++ A .4B .3C .2D .1【答案】C【解析】①当212a b π+=+时,可得1,a b π==,这与,a b Q ∈矛盾,②()211623232+=+=+232a b ∴+=+ ,可得3,1a b == ,都是有理数,所以正确,③122212222-==-+, 2212a b ∴+=-,可得11,2a b ==-,都是有理数,所以正确, ④()22323426-++=+= 而()2222222a b a b ab +=++ ,,a b Q ∈,()22a b ∴+是无理数,2323∴-++不是集合M 中的元素,只有②③是集合M 的元素.故选:C3.已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈,{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈,定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为A .77B .49C .45D .30【答案】C【解析】因为集合,所以集合中有5个元素(即5个点),即图中圆中的整点,集合中有25个元素(即25个点):即图中正方形中的整点,集合的元素可看作正方形中的整点(除去四个顶点),即个.4.选择适当的方法表示下列集合:(1)被5除余1的正整数组成的集合;(2)由直线y =-x +4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合;(3)方程(x 2-9)x =0的实数解组成的集合;(4)三角形的全体组成的集合.【答案】(1){x|x=5k+1,k ∈N };(2){(x ,y )|y =-x +4,x ∈N ,y ∈N };(3){-3,0,3};(4){x|x 是三角形}或{三角形}. 【解析】(1){|51,}x x k k N =+∈;(2){(,)|4,,}x y y x x N y N =-+∈∈;(3)2(9)00x x x -=⇒=或3x =±,解集为{3,0,3}-,(4){|x x 是三角形}或写成{三角形}.5.设A 是由一些实数构成的集合,若a ∈A ,则11a- ∈A ,且1∉A ,(1)若3∈A,求A.(2)证明:若a∈A,则11Aa-∈.【答案】(1)123,,23A⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;(2)证明见解析.【解析】(1)因为3∈A,所以11132A=-∈-,所以12131()2A=∈--,所以13213A=∈-,所以123,,23A⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.(2)因为a∈A,所以11Aa∈-,所以1111111aAa aa-==-∈---.。
备考2024年新高考数学一轮复习专题1-1 集合含详解
专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn 图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1.(2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习)若{}2122a a a ∈-+,,则实数a 的值为______.例2.(2022·上海·高一统考学业考试)“notebooks”中的字母构成一个集合,该集合中的元素个数是______________练习1.(2022秋·贵州·高三统考期中)若{}{},,101a a a =,则=a __________.练习2.(2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中)已知集合{}1,2,3,4,5,6A =,(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈,则集合B 中的元素个数为________.练习3.(2022秋·北京海淀·高三校考期中)设集合{},A x y =,{}20,B x=,若A B =,则2x y +=______.练习4.(2021秋·湖北·高三校联考阶段练习)已知集合2{,1,}A a b =,2{,,0}B a b =,若{1}A B ⋂=,则=a __________.练习5.(2023·全国·高三专题练习)含有3个实数的集合既可表示成,,1ba a⎧⎫⎨⎬⎩⎭,又可表示成{}2,,0a a b +,则20222022a b +=_____.题型二集合与集合之间的关系例3.(2023·河南开封·统考三模)已知集合{}1,0,1A =-,{},,B x x ab a b A ==∈,则集合B 的真子集个数是()A .3B .4C .7D .8例4.(2021秋·高三课时练习)下列各式:①{}10,1,2⊆,②{}{}10,1,2∈,③{}{}0,1,20,1,2⊆,④{}0,1,2∅⊆,⑤{}{}2,1,00,1,2=,其中错误的个数是()A .1B .2C .3D .4练习6.(2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习)已知集合{}|15A x x =-<<,{}Z 18B x x =∈<<.(1)求R Að(2)求A B ⋂的子集个数练习7.(2023春·江西南昌·高三校考阶段练习)已知集合{A =第一象限的角},{B =锐角},{C =小于90°的角},给出下列四个命题;①A B C ==;②A C ⊆;③C A ⊆;④A C B ⊆=.其中正确的命题有()A .0个B .1个C .2个D .3个练习8.(2023·全国·高三专题练习)已知集合(){}22,|4A x y x y =+=,(){}|,0B x y x y =+=,则A ∩B 的子集个数()A .1B .2C .3D .4练习9.(2022秋·高三课时练习)设集合{|M x x A =∈,且}x B ∉,若{1,3,5,6,7}A =,{2,3,5}B =,则集合M 的非空真子集的个数为()A .4B .6C .7D .15练习10.(2021秋·高一课时练习)(多选)下列说法正确的是()A .空集没有子集B .{}{}21,2|320x x x ⊆-+=C .{}{}2|,R |,Ry y x x y y x x =∈⊆=∈D .非空集合都有真子集题型三集合间的基本运算例5.(2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模)若集合{}10,lg 01x A x B x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣,则A B = ()A .[)1,1-B .(]0,1C .[)0,1D .()0,1例6.(2023·山东菏泽·统考二模)已知全集{}|0U x x =≥,集合(){}|20A x x x =-≤,则U A =ð()A .(2,)+∞B .[2,)+∞C .()(),02,-∞⋃+∞D .(,0][2,)-∞⋃+∞练习11.(2023·全国·模拟预测)已知集合{}215A x x =∈-<N ,{}320B x x =-≥,则A B = ()A .{}0,1,2,3B .{}1,2,3C .{}1,2D .{}2,3练习12.(江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学(理)试卷)已知集合{2},{73}M x N x x =<=-<<∣∣,则M N ⋂=()A .{3}xx <∣B .{03}xx ≤<∣C .{73}xx -<<∣D .{74}xx -<<∣练习13.(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模)设集合{}12A x x =-<,[]{}2,0,2xB y y x ==∈,则()A .()1,3AB ⋂=B .[)1,4A B =C .(]1,4A B =-D .(]1,3A B ⋃=-练习14.(2023·内蒙古呼和浩特·统考二模)已知全集{|33}U x x =-<<,集合{}2|20A x x x =+-<,则U A =ð()A .(2,1]-B .(3,2][1,3)--⋃C .[2,1)-D .(3,1)(1,3)-- 练习15.(2023·北京·人大附中校考模拟预测)已知集合(){}lg 2M x y x ==-,{}e 1x N y y ==+,则M N ⋃=()A .(),-∞+∞B .()1,+∞C .[)1,2D .()2,+∞题型四集合间的交并补混合运算例7.(四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学(理)试卷)已知集合{}|12M x x =-≥,{}1,0,1,2,3N -=,则()RM N ⋂=ð()A .{}0,1,2B .{}1,2C .{}1,0,1,2-D .{}2,3例8.(山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试卷)已知集合{}21,{ln 1}x A x B x x =>=>∣∣,则下列集合为空集的是()A .()R A B ðB .()A BR ðC .A B⋂D .()()A B R RI痧练习16.(天津市部分区2023届高三二模数学试卷)设全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==,则()UB A ⋂=ð()A .{}3B .{}2,4C .{}2,3,4D .{}0,1,3练习17.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知全集{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤,(){}1,3,5,7U A B = ð,则集合B =()A .{}0,2,4,6B .{}2,4,6C .{}0,2,4D .{}2,4练习18.(2023·河南·校联考模拟预测)已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{}2320M xx x =-+=∣,{}2Z 650N x x x =∈-+<∣,则集合()U M N ð中的子集个数为()A .1B .2C .16D .无数个练习19.(2023·福建·统考模拟预测)已知全集*2{N ,80}I x x x =∈|<,{1,3,4,7}A =,{4,5,6,7}B =,则()I A B ⋃=ð()A .{2,5,6}B .{1,2,3,8}C .{2,8}D .{1,3,4,5,6,7}练习20.(2023·广东·统考模拟预测)集合{}2xA y y ==,(){}2log 32B x y x ==-,则()R B A ⋂=ð()A .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦题型五Venn 图例9.(2023·山东潍坊·统考二模)已知集合{}|10M x x =+≥,{}|21xN x =<,则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是()A .B .C .D .例10.(2022秋·广东·高三统考阶段练习)已知全集U ,集合A 和集合B 都是U 的非空子集,且满足A B B ⋃=,则下列集合中表示空集的是()A .()U A B⋂ðB .A B⋂C .()()U UA B ⋂痧D .()U A B ∩ð练习21.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)集合{}{}0,1,2,4,8,0,1,2,3A B ==,将集合,A B 分别用如下图中的两个圆表示,则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是()A .B .C .D .练习22.(2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中)已知全集U =R ,集合{}02A x x =∈<≤Z ,{}1,0,1,2,3B =-,则图中阴影部分表示的集合为()A .{}2,0-B .{}2,3-C .{}2,0,2-D .{}2,0,3-练习23.(2022秋·高三单元测试)(多选)如图,U 为全集,M P S 、、是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()A .()U P S M ⎡⎤⋂⋂⎣⎦ðB .()M P SC .()U M P S⋂⋂ðD .()U M P S⋂⋃ð练习24.(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况,其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90%,对物理感兴趣的占56%,对历史感兴趣的占74%,则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是()A .70%B .56%C .40%D .30%练习25.(2023春·湖南·高三校联考期中)设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭,{}1,0,1,2B =-,能正确表示图中阴影部分的集合是()A .{}1,0,1-B .{}1,2C .{}0,1,2D .{}2题型六集合的含参运算例11.(广东省汕头市2023届高三二模数学试卷)已知集合{}21,3,A a =,{1,2}B a =+,且A B A ⋃=,则a 的取值集合为()A .{}1-B .{2}C .{1,2}-D .{1,1,2}-例12.(2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习)若集合{}2|60A x x x =+-=,{|10}B x mx =+=,且BA ,求实数m 的值.练习26.(2022秋·山东菏泽·高三校联考期中)已知集合{}23A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >.(1)若1a =-,求A B ⋃R ð;(2)若A B ⋂=∅,求a 的取值范围.练习27.(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)设集合{2A x x =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣,若()A B =∅R ð,则a 的取值范围是()A .1a ≤或4a >B .1a <或4a ≥C .1a <D .4a >练习28.(2023·全国·模拟预测)设集合{(1)(3)0}A xx x =+-≤∣,{}5B x a x a =-<<,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是()A .[]3,4B .(3,4)C .(,4]-∞D .[3,)+∞练习29.(2023·全国·高三专题练习)设全集U =R ,{}|325M x a x a =<<+,{}|21P x x =-≤≤.(1)若0a =,求()UM P ⋂ð.(2)若U M P ⊆ð,求实数a 的取值范围.练习30.(2023·全国·高三专题练习)已知{}23A x x =-≤≤,{}23B x a x a =-<<,全集U =R (1)若2a =,求()U A B ∩ð;(2)若A B ⊇,求实数a 的取值范围.专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn 图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1.(2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习)若{}2122a a a ∈-+,,则实数a 的值为______.【答案】2【分析】分1a =,222a a a =-+分别求解,再根据元素的互异性即可得答案.【详解】解:当1a =时,则2221a a -+=不满足元素的互异性,故1a ≠;所以222a a a -+=,解得:1a =(舍)或2a =,故实数a 的值为2.故答案为:2.例2.(2022·上海·高一统考学业考试)“notebooks”中的字母构成一个集合,该集合中的元素个数是______________【答案】7【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.【详解】根据集合中元素的互异性,“notebooks”中的不同字母为“n ,o ,t ,e ,b ,k ,s”,共7个,故该集合中的元素个数是7;故答案为:7.练习1.(2022秋·贵州·高三统考期中)若{}{},,101a a a =,则=a __________.【答案】101-.【分析】由集合相等和元素互异性,进行求解.【详解】由题意得101,101,a a ≠⎧⎨=⎩所以101a =-.故答案为:-101.练习2.(2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中)已知集合{}1,2,3,4,5,6A =,(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈,则集合B 中的元素个数为________.【答案】14【分析】根据元素特征,采用列举法表示出集合B ,由此可得元素个数.【详解】由题意得:()()()()()()()()()(){()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,B =()()()}4,1,5,1,6,1,B ∴中元素个数为14.故答案为:14.练习3.(2022秋·北京海淀·高三校考期中)设集合{},A x y =,{}20,B x =,若A B =,则2x y +=______.【答案】2【分析】根据集合相等可得出关于x 、y 的方程组,解出这两个未知数的值,即可得解.【详解】由集合元素的互异性可知20x ≠,则0x ≠,因为A B =,则200x x y x ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩,解得10x y =⎧⎨=⎩,因此,22x y +=.故答案为:2.练习4.(2021秋·湖北·高三校联考阶段练习)已知集合2{,1,}A a b =,2{,,0}B a b =,若{1}A B ⋂=,则=a __________.【答案】1-【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性求解即可.【详解】由集合2{,1,}A a b =,2{,,0}B a b =,若{1}A B ⋂=,则集合B 中21a =或1b =,若21a =,则1a =-或1(a =舍去),此时1b ≠±且0b ≠;若1b =,则集合A 中21b =,不符合集合中元素的互异性,不成立,综上, 1.a =-故答案为:1-练习5.(2023·全国·高三专题练习)含有3个实数的集合既可表示成,,1ba a⎧⎫⎨⎬⎩⎭,又可表示成{}2,,0a a b +,则20222022a b +=_____.【答案】1【分析】根据集合相等,则元素完全相同,分析参数,列出等式,即可求得结果.【详解】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,显然0a ≠,故0ba=,则0b =;此时两集合分别是{}{}2,1,0,,,0a a a ,则21a =,解得1a =或1-.当1a =时,不满足互异性,故舍去;当1a =-时,满足题意.所以2022202220222022(1)01a b +=-+=故答案为:1.题型二集合与集合之间的关系例3.(2023·河南开封·统考三模)已知集合{}1,0,1A =-,{},,B x x ab a b A ==∈,则集合B 的真子集个数是()A .3B .4C .7D .8【答案】C【分析】根据题意得到集合B ,然后根据集合B 中元素的个数求集合B 的真子集个数即可.【详解】由题意得{}1,0,1B =-,所以集合B 的真子集个数为3217-=.故选:C.例4.(2021秋·高三课时练习)下列各式:①{}10,1,2⊆,②{}{}10,1,2∈,③{}{}0,1,20,1,2⊆,④{}0,1,2∅⊆,⑤{}{}2,1,00,1,2=,其中错误的个数是()A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】由元素与集合的关系,集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可.【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈,故①错误;由集合与集合的关系可知{}{}10,1,2⊆,故②错误;任何集合都是自身的子集,故③正确;空集是任何非空集合的子集,故④正确;集合中的元素具有互异性和无序性,故⑤正确;综上可得,只有①②错误.故选B .练习6.(2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习)已知集合{}|15A x x =-<<,{}Z 18B x x =∈<<.(1)求R Að(2)求A B ⋂的子集个数【答案】(1){R 5A x x =≥ð或}1x ≤-(2)8【分析】(1)根据补集的定义即可得解;(2)根据交集的定义求出A B ⋂,再根据子集的定义即可得解.【详解】(1)因为{}|15A x x =-<<,所以{R 5A x x =≥ð或}1x ≤-;(2){}{}Z 182,3,4,5,6,7B x x =∈<<=,所以{}2,3,4A B = ,所以A B ⋂的子集个数有328=个.练习7.(2023春·江西南昌·高三校考阶段练习)已知集合{A =第一象限的角},{B =锐角},{C =小于90°的角},给出下列四个命题;①A B C ==;②A C ⊆;③C A ⊆;④A C B ⊆=.其中正确的命题有()A .0个B .1个C .2个D .3个【答案】A【分析】根据任意角的定义和集合的基本关系求解.【详解】A ={第一象限角},只需要终边落在第一象限的都是属于第一象限角.B ={锐角},是指大于0 而小于90 的角.C ={小于90 的角},小于90 的角包括锐角,零角和负角.根据集合的含义和基本运算判断:①A B C ==,①错误;②A C ⊆,比如,361A ∈ ,但361C ∉ ,②错误;③C A ⊆,比如0C ∈ ,但0A ∉ ,③错误;④A C B ⊆=,④错误;∴正确命题个数为0个.故选:A .练习8.(2023·全国·高三专题练习)已知集合(){}22,|4A x y x y =+=,(){}|,0B x y x y =+=,则A ∩B 的子集个数()A .1B .2C .3D .4【答案】D【分析】根据集合A 与集合B 中方程的几何意义,利用直线过圆心判断直线与圆的位置关系,确定交集中元素的个数,进而求解.【详解】集合(){}22,|4A x y x y =+=表示以(0,0)为圆心,2为半径的圆上的所有点,集合(){}|,0B x y x y =+=表示直线0x y +=上的所有点,因为直线0x y +=经过圆心(0,0),所以直线与圆相交,所以A B ⋂的元素个数有2个,则A B ⋂的子集个数为4个,故选:D .练习9.(2022秋·高三课时练习)设集合{|M x x A =∈,且}x B ∉,若{1,3,5,6,7}A =,{2,3,5}B =,则集合M 的非空真子集的个数为()A .4B .6C .7D .15【答案】B【分析】求得集合M ,即可求得结果.【详解】根据题意知,集合{M xx A =∈∣且}{1,6,7}x B ∉=,其非空真子集的个数为3226-=.故选:B练习10.(2021秋·高一课时练习)(多选)下列说法正确的是()A .空集没有子集B .{}{}21,2|320x x x ⊆-+=C .{}{}2|,R |,Ry y x x y y x x =∈⊆=∈D .非空集合都有真子集【答案】BD【分析】根据空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,可判断出选项AD 的正误;选项B ,通过解方程,可求出集合{}2|320x x x -+=中的元素,从而判断出选项B 正确;选项C ,通过求出两集合的元素满足的条件,从而判断出集合{}|,R y y x x =∈与{}2|,R y y x x =∈间的关系,从而判断出选项C 错误.【详解】对于选项A ,因为空集是任何集合的子集,所以空集也是它自身的子集,所以选项A 错误;对于选项B ,由2320x x -+=,得到1x =或2x =,所以{}{}2|3201,2x x x -+==,所以选项B 正确;对于选项C ,因为{}|,R R y y x x =∈=,{}{}2|,R |0y y x x y y =∈=≥,所以{}{}2|,R |,R y y x x y y x x =∈⊆=∈,所以选项C 错误;对于选项D ,因为空集是任何非空集合的真子集,所以选项D 正确.故选:BD题型三集合间的基本运算例5.(2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模)若集合{}10,lg 01x A xB x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣,则A B = ()A .[)1,1-B .(]0,1C .[)0,1D .()0,1【答案】D【分析】先化简集合A ,B ,再利用交集运算求解.【详解】解:由题意得{11},{01}A xx B x x =-≤<=<≤∣∣,()0,1A B ∴= ,故选:D.例6.(2023·山东菏泽·统考二模)已知全集{}|0U x x =≥,集合(){}|20A x x x =-≤,则U A =ð()A .(2,)+∞B .[2,)+∞C .()(),02,-∞⋃+∞D .(,0][2,)-∞⋃+∞【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ,再利用补集的定义求解作答.【详解】集合(){}|20[0,2]A x x x =-≤=,而全集[0,)U =+∞,所以(2,)U A =+∞ð.故选:A练习11.(2023·全国·模拟预测)已知集合{}215A x x =∈-<N ,{}320B x x =-≥,则A B = ()A .{}0,1,2,3B .{}1,2,3C .{}1,2D .{}2,3【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】由条件可知,{}{}30,1,2A x x =∈<=N ,{}23203B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭,所以{1,2}A B = .故选:C.练习12.(江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学(理)试卷)已知集合{2},{73}M x x N x x =<=-<<∣∣,则M N ⋂=()A .{3}xx <∣B .{03}xx ≤<∣C .{73}xx -<<∣D .{74}xx -<<∣【答案】B【分析】根据集合交集运算可得.【详解】因为{2}{04},{73}M x x x x N x x =<=≤<=-<<∣∣∣所以{|03}M N x x ⋂=≤<.故选:B练习13.(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模)设集合{}12A x x =-<,[]{}2,0,2xB y y x ==∈,则()A .()1,3AB ⋂=B .[)1,4A B =C .(]1,4A B =-D .(]1,3A B ⋃=-【答案】C【分析】先解绝对值不等式得出集合,再根据交集并集概念计算求解即可.【详解】因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<,[]{}{}2,0,214xB y y x y y ==∈=≤≤,所以[)1,3A B ⋂=,(]1,4A B =- .故选:C.练习14.(2023·内蒙古呼和浩特·统考二模)已知全集{|33}U x x =-<<,集合{}2|20A x x x =+-<,则U A =ð()A .(2,1]-B .(3,2][1,3)--⋃C .[2,1)-D .(3,1)(1,3)-- 【答案】B【分析】计算{}21A x x =-<<,再计算补集得到答案.【详解】{}{}2|2021A x x x x x =+-<=-<<,则(3,2][1,3)U A =--⋃ð.故选:B练习15.(2023·北京·人大附中校考模拟预测)已知集合(){}lg 2M x y x ==-,{}e 1x N y y ==+,则M N ⋃=()A .(),-∞+∞B .()1,+∞C .[)1,2D .()2,+∞【答案】B【分析】根据给定条件,求出函数的定义域、值域,再利用并集的定义求解作答.【详解】集合(){}{}{}lg 2202M x y x x x x x ==-=-=,即(2,)M =+∞,e 11x +>,则(1,)N =+∞,所以()1,M N =+∞U .故选:B题型四集合间的交并补混合运算例7.(四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学(理)试卷)已知集合{}|12M x x =-≥,{}1,0,1,2,3N -=,则()RM N ⋂=ð()A .{}0,1,2B .{}1,2C .{}1,0,1,2-D .{}2,3【答案】A【分析】解出集合{|1M x x =≤-或}3x ≥,再根据补集和交集的含义即可得到答案.【详解】12x -≥,解得3x ≥或1x ≤-,则{|1M x x =≤-或}3x ≥,则()R 1,3M =-ð,故(){}R 0,1,2M N ⋂=ð,故选:A.例8.(山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试卷)已知集合{}21,{ln 1}x A x B x x =>=>∣∣,则下列集合为空集的是()A .()R AB ðB .()A BR ðC .A B⋂D .()()A B R RI痧【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合,A B ,然后利用集合的运算逐项进行判断即可求解.【详解】集合{|21}{|0}x A x x x ==>>,集合{|ln 1}{|e}B x x x x =>=>,所以R {|0}A x x =≤ð,R {|e}B x x =≤ð,对于A ,()R {|0e}A B x x =<≤ ð,故选项A 不满足题意;对于B ,()A B =∅R I ð,故选项B 满足题意;对于C ,={|e}A B x x > ,故选项C 不满足题意;对于D ,()(){|0}A B x x =≤R R 痧,故选项D 不满足题意,故选:B .练习16.(天津市部分区2023届高三二模数学试卷)设全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==,则()UB A ⋂=ð()A .{}3B .{}2,4C .{}2,3,4D .{}0,1,3【答案】B【分析】由集合的运算求解.【详解】(){}{}{}2,4,62,42,3,4U A B ⋂==⋂ð.故选:B练习17.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知全集{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤,(){}1,3,5,7U A B = ð,则集合B =()A .{}0,2,4,6B .{}2,4,6C .{}0,2,4D .{}2,4【答案】A【分析】由{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤可知集合U 中的元素,再由(){}1,3,5,7U A B = ð即可求得集合B .【详解】由(){}1,3,5,7U A B = ð知,{}{}1,3,5,71,3,5,,7U B A ⊆⊆ð又因为{}{}7017N 2356|04U A B x x =⋃=∈≤≤=,,,,,,,,所以B ={}0,2,4,6.故选:A.练习18.(2023·河南·校联考模拟预测)已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{}2320M xx x =-+=∣,{}2Z 650N x x x =∈-+<∣,则集合()U M N ð中的子集个数为()A .1B .2C .16D .无数个【答案】B【分析】首先求集合,M N ,再求集合的运算.【详解】先求{}1,2M =,{Z 1}5}2,4|,{3N x x =∈<<=,所以{}1,2,3,4M N =U ,则(){}5U M N = ð,所以子集的个数为122=.故选:B练习19.(2023·福建·统考模拟预测)已知全集*2{N ,80}I x x x =∈|<,{1,3,4,7}A =,{4,5,6,7}B =,则()I A B ⋃=ð()A .{2,5,6}B .{1,2,3,8}C .{2,8}D .{1,3,4,5,6,7}【答案】C【分析】利用集合的交并补运算即可求解.【详解】{1,2,3,4,5,6,7,8}I =,{1,3,4,5,6,7}A B = ,故(){}2,8I A B ⋃=ð.故选:C .练习20.(2023·广东·统考模拟预测)集合{}2x A y y ==,(){}2log 32B x y x ==-,则()R B A ⋂=ð()A .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】求出集合A 、B ,利用补集和交集的定义可求得集合()B A R ð.【详解】因为{}{}20xA y y y y ===>,(){}{}22log 323203B x y x x x x x ⎧⎫==-=->=>⎨⎬⎩⎭,则23B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð,因此,()R 20,3B A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð.故选:C.题型五Venn 图例9.(2023·山东潍坊·统考二模)已知集合{}|10M x x =+≥,{}|21xN x =<,则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是()A .B .C .D .【答案】A【分析】化简集合M ,N ,根据集合的运算判断{}|10x x -≤<为两集合交集即可得解.【详解】{}|10[1,)M x x =+≥=-+∞ ,{}|21(,0)xN x =<=-∞,{}|10M N x x ∴-=≤< ,由Venn 图知,A 符合要求.故选:A例10.(2022秋·广东·高三统考阶段练习)已知全集U ,集合A 和集合B 都是U 的非空子集,且满足A B B ⋃=,则下列集合中表示空集的是()A .()U AB ⋂ðB .A B⋂C .()()U UA B ⋂痧D .()U A B ∩ð【答案】D【分析】利用Venn 图表示集合,,U A B ,结合图像即可找出表示空集的选项.【详解】由Venn 图表示集合,,U A B 如下:,由图可得()U BA B A = 痧,A B A = ,()()U U UA B B ⋂=痧,()U A B =∅ ð,故选:D练习21.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)集合{}{}0,1,2,4,8,0,1,2,3A B ==,将集合,A B 分别用如下图中的两个圆表示,则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是()A .B .C .D .【答案】B【分析】利用图象求得正确答案.【详解】{}0,1,2A B = ,所以:A 选项,阴影部分表示{}0,1,2,不符合题意.B 选项,阴影部分表示{}4,8,符合题意.C 选项,阴影部分表示{}3,不符合题意.D 选项,阴影部分表示{}3,4,8,不符合题意.故选:B练习22.(2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中)已知全集U =R ,集合{}02A x x =∈<≤Z ,{}1,0,1,2,3B =-,则图中阴影部分表示的集合为()A .{}2,0-B .{}2,3-C .{}2,0,2-D .{}2,0,3-【答案】D【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】全集为U ,集合{}2,1,1,2A =--,{}1,0,1,2,3B =-,{}{}1,1,2,2,1,0,1,2,3A B A B ⋂=-⋃=--,图中阴影部分表示是A B ⋃去掉A B ⋂的部分,故表示的集合是{}2,0,3-.故选:D .练习23.(2022秋·高三单元测试)(多选)如图,U 为全集,M P S 、、是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()A .()U P S M⎡⎤⋂⋂⎣⎦ðB .()M P SC .()U M P S⋂⋂ðD .()U M P S⋂⋃ð【答案】AC 【分析】分析出阴影部分为M P 和U S ð的子集,从而选出正确答案.【详解】图中阴影部分是M P 的子集,不属于集合S ,属于集合S 的补集,即U S ð的子集,满足要求的为()()U U P S M M P S ⎡⎤=⎣⎦ 痧,均表示阴影部分,BD 不合要求.故选:AC练习24.(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况,其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90%,对物理感兴趣的占56%,对历史感兴趣的占74%,则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是()A .70%B .56%C .40%D .30%【答案】C【分析】根据公式()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂列方程求解即可.【详解】对物理感兴趣的同学占56%,对历史感兴趣的同学占74%,这两组的比练习数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比练习,设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习为x ,则对物理或历史感兴趣的同学的比练习是56%+74%-x ,所以56%+74%-x =90%,解得40x =%,故选:C.练习25.(2023春·湖南·高三校联考期中)设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭,{}1,0,1,2B =-,能正确表示图中阴影部分的集合是()A .{}1,0,1-B .{}1,2C .{}0,1,2D .{}2【答案】B 【分析】先求得集合{}2,1,0A =--,结合题意及集合的运算,即可求解.【详解】由题意,集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫=∈-<<=--⎨⎬⎩⎭,根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素,即为{}1,2.故选:B.题型六集合的含参运算例11.(广东省汕头市2023届高三二模数学试卷)已知集合{}21,3,A a =,{1,2}B a =+,且A B A ⋃=,则a 的取值集合为()A .{}1-B .{2}C .{1,2}-D .{1,1,2}-【答案】B 【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.【详解】由题意可得:23a +=或22a a +=若23a +=,此时211a a =⇒=,集合A 的元素有重复,不符合题意;若22a a +=,解得2a =或1a =-,显然2a =时符合题意,而211a a =-⇒=同上,集合A 的元素有重复,不符合题意;故2a =.故选:B例12.(2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习)若集合{}2|60A x x x =+-=,{|10}B x mx =+=,且B A ,求实数m 的值.【答案】13m =或12m =-或0m =【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论,结合已知即可得解.【详解】{}{}2|603,2A x x x =+-==-,当0m =时,B =∅A ,当0m ≠时,1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭,因为B A ,所以13m -=-或12m-=,所以13m =或12-,综上所述,13m =或12m =-或0m =.练习26.(2022秋·山东菏泽·高三校联考期中)已知集合{}23A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >.(1)若1a =-,求A B ⋃R ð;(2)若A B ⋂=∅,求a 的取值范围.【答案】(1){}25A C B x x ⋃=-≤≤R (2)1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或【分析】(1)根据题意,先求出集合A 的补集,再利用集合的并集运算求解即可;(2)根据集合的包含关系分A =∅和A ≠∅两种情况进行讨论即可求解.【详解】(1)若1a =-,则集合{}22A x x =-≤≤,所以{}15B x x =-≤≤R ð,所以{}25A C B x x ⋃=-≤≤R ;(2)因为集合{}23A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >,因为A B ⋂=∅,所以分以下两种情况:若A =∅,即23a a >+,解得3a >,满足题意,若A ≠∅,则213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩解得122a -≤≤,综上所述a 的取值范围为1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或练习27.(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)设集合{2A x x =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣,若()A B =∅R ð,则a 的取值范围是()A .1a ≤或4a >B .1a <或4a ≥C .1a <D .4a >【答案】B【分析】先求出A R ð,根据()A B =∅R ð,可求得结果.【详解】由集合{2A x x =<∣或4}x ≥,得{24}A x x =≤<R ∣ð,又集合{}1B x a x a =≤≤+∣且()A B =∅R ð,则1a +<2或4a ≥,即1a <或4a ≥.故选:B.练习28.(2023·全国·模拟预测)设集合{(1)(3)0}A xx x =+-≤∣,{}5B x a x a =-<<,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是()A .[]3,4B .(3,4)C .(,4]-∞D .[3,)+∞【答案】B 【分析】根据集合的包含关系列出关于a 的不等式组即可.【详解】由已知可得,集合{}13A xx =-≤≤∣,{}5B x a x a =-<<,因为A B ⊆,所以351a a >⎧⎨-<-⎩,(注意端点值是否能取到),解得34a <<,故选:B .练习29.(2023·全国·高三专题练习)设全集U =R ,{}|325M x a x a =<<+,{}|21P x x =-≤≤.(1)若0a =,求()UM P ⋂ð.(2)若U M P ⊆ð,求实数a 的取值范围.【答案】(1)(){}|20U M P x x =-≤≤ ð;(2)71,,23∞⎛⎤⎡⎫--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】(1)利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.(2)求出U P ð,U M P ⊆ð,分=∅≠∅,M M ,两种情况讨论,根据集合的运算求解即可.【详解】(1)当0a =时,{}|05=<<M x x ,{}|21P x x =-≤≤,所以{0U M x x =≤ð或5}x ³,(){}|20U M P x x ⋂=-≤≤ð;(2) 全集U =R ,{}|21P x x =-≤≤,{2U P x x ∴=<-ð或1}x >,⊆ U M P ð,∴分=∅≠∅,M M ,两种情况讨论.(1)当M 蛊时,如图可得,325252a a a <+⎧⎨+≤-⎩或32531a a a <+⎧⎨≥⎩,72a ∴≤-或153a ≤<;(2)当M =∅时,应有:325a a ≥+,解得5a ≥;综上可知,72a ∴≤-或13a ≥,故得实数a 的取值范围71,23∞⎛⎤⎡⎫--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.练习30.(2023·全国·高三专题练习)已知{}23A x x =-≤≤,{}23B x a x a =-<<,全集U =R(1)若2a =,求()U A B ∩ð;(2)若A B ⊇,求实数a 的取值范围.【答案】(1)(){}20U A B x x ⋂=-≤≤ð(2)(][],10,1-∞-⋃【分析】(1)根据交集与补集的运算求解即可;(2)分B =∅与B ≠∅由条件列不等式求范围即可.【详解】(1)当2a =时,{}06B x x =<<,所以{0U B x x =≤ð或}6x ≥,又{}23A x x =-≤≤,所以(){}20U A B x x ⋂=-≤≤ð.(2)由题可得:当B =∅时,有23a a -≥,解得a 的取值范围为(],1-∞-;当B ≠∅时有232233a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩,解得a 的取值范围为[]0,1,综上所述a 的取值范围为(][],10,1-∞-⋃.。
全国统一高考数学试卷(大纲版)(含解析版)(1)
全国统一高考数学试卷(大纲版)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为()A.2B.3C.5D.72.(5分)已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=()A.B.C.﹣D.﹣3.(5分)不等式组的解集为()A.{x|﹣2<x<﹣1}B.{x|﹣1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}4.(5分)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.B.C.D.5.(5分)函数y=ln(+1)(x>﹣1)的反函数是()A.y=(1﹣e x)3(x>﹣1)B.y=(e x﹣1)3(x>﹣1)C.y=(1﹣e x)3(x∈R)D.y=(e x﹣1)3(x∈R)6.(5分)已知,为单位向量,其夹角为60°,则(2﹣)•=()A.﹣1B.0C.1D.27.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种8.(5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.649.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=110.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.16πC.9πD.11.(5分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()A.2B.2C.4D.412.(5分)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.﹣2B.﹣1C.0D.1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(5分)(x﹣2)6的展开式中x3的系数是.(用数字作答)14.(5分)函数y=cos2x+2sinx的最大值是.15.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为.16.(5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.三、解答题17.(10分)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1﹣a n+2.(Ⅰ)设b n=a n+1﹣a n,证明{b n}是等差数列;(Ⅱ)求{a n}的通项公式.18.(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小.20.(12分)设每个工作日甲,乙,丙,丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(Ⅱ)实验室计划购买k台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.21.(12分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.22.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.全国统一高考数学试卷(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为()A.2B.3C.5D.7【考点】1A:集合中元素个数的最值;1E:交集及其运算.【专题】5J:集合.【分析】根据M与N,找出两集合的交集,找出交集中的元素即可.【解答】解:∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},∴M∩N={1,2,6},即M∩N中元素的个数为3.故选:B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=()A.B.C.﹣D.﹣【考点】G9:任意角的三角函数的定义.【专题】56:三角函数的求值.【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值.【解答】解:∵角α的终边经过点(﹣4,3),∴x=﹣4,y=3,r==5.∴cosα===﹣,故选:D.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题.3.(5分)不等式组的解集为()A.{x|﹣2<x<﹣1}B.{x|﹣1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}【考点】7E:其他不等式的解法.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式,分别求出不等式组中每个不等式的解集,再取交集,即得所求.【解答】解:由不等式组可得,解得0<x<1,故选:C.【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,属于基础题.4.(5分)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】5G:空间角.【分析】由E为AB的中点,可取AD中点F,连接EF,则∠CEF为异面直线CE与BD所成角,设出正四面体的棱长,求出△CEF的三边长,然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值.【解答】解:如图,取AD中点F,连接EF,CF,∵E为AB的中点,∴EF∥DB,则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角,∵ABCD为正四面体,E,F分别为AB,AD的中点,∴CE=CF.设正四面体的棱长为2a,则EF=a,CE=CF=.在△CEF中,由余弦定理得:=.故选:B.【点评】本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题.5.(5分)函数y=ln(+1)(x>﹣1)的反函数是()A.y=(1﹣e x)3(x>﹣1)B.y=(e x﹣1)3(x>﹣1)C.y=(1﹣e x)3(x∈R)D.y=(e x﹣1)3(x∈R)【考点】4R:反函数.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】由已知式子解出x,然后互换x、y的位置即可得到反函数.【解答】解:∵y=ln(+1),∴+1=e y,即=e y﹣1,∴x=(e y﹣1)3,∴所求反函数为y=(e x﹣1)3,故选:D.【点评】本题考查反函数解析式的求解,属基础题.6.(5分)已知,为单位向量,其夹角为60°,则(2﹣)•=()A.﹣1B.0C.1D.2【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得、的值,可得(2﹣)•的值.【解答】解:由题意可得,=1×1×cos60°=,=1,∴(2﹣)•=2﹣=0,故选:B.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题.7.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【专题】5O:排列组合.【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,则不同的选法共有15×5=75种;故选:C.【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.8.(5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.64【考点】89:等比数列的前n项和.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】由等比数列的性质可得S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,代入数据计算可得.【解答】解:S2=a1+a2,S4﹣S2=a3+a4=(a1+a2)q2,S6﹣S4=a5+a6=(a1+a2)q4,所以S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,即3,12,S6﹣15成等比数列,可得122=3(S6﹣15),解得S6=63故选:C.【点评】本题考查等比数列的性质,得出S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键,属基础题.9.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【考点】K4:椭圆的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用△AF1B的周长为4,求出a=,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程.【解答】解:∵△AF1B的周长为4,∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=4,∴a=,∵离心率为,∴,c=1,∴b==,∴椭圆C的方程为+=1.故选:A.【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.10.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.16πC.9πD.【考点】LG:球的体积和表面积;LR:球内接多面体.【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积.【解答】解:设球的半径为R,则∵棱锥的高为4,底面边长为2,∴R2=(4﹣R)2+()2,∴R=,∴球的表面积为4π•()2=.故选:A.【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题.11.(5分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()A.2B.2C.4D.4【考点】KC:双曲线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论.【解答】解:∵:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,∴e=,双曲线的渐近线方程为y=,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F(c,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C.【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础.12.(5分)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.﹣2B.﹣1C.0D.1【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到f(x+8)=f(x),即可得到结论.【解答】解:∵f(x+2)为偶函数,f(x)是奇函数,∴设g(x)=f(x+2),则g(﹣x)=g(x),即f(﹣x+2)=f(x+2),∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x+2)=f(x+2)=﹣f(x﹣2),即f(x+4)=﹣f(x),f(x+8)=f(x+4+4)=﹣f(x+4)=f(x),则f(8)=f(0)=0,f(9)=f(1)=1,∴f(8)+f(9)=0+1=1,故选:D.【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本题的关键.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(5分)(x﹣2)6的展开式中x3的系数是﹣160.(用数字作答)【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】根据题意,由二项式定理可得(x﹣2)6的展开式的通项,令x的系数为3,可得r=3,将r=3代入通项,计算可得T4=﹣160x3,即可得答案.【解答】解:根据题意,(x﹣2)6的展开式的通项为T r=C6r x6﹣r(﹣2)r=(﹣1)r•2r•C6r x6﹣r,+1令6﹣r=3可得r=3,此时T4=(﹣1)3•23•C63x3=﹣160x3,即x3的系数是﹣160;故答案为﹣160.【点评】本题考查二项式定理的应用,关键要得到(x﹣2)6的展开式的通项.14.(5分)函数y=cos2x+2sinx的最大值是.【考点】HW:三角函数的最值.【专题】11:计算题.【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=,结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解:∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时,函数有最大值故答案为:【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简,二次函数在闭区间上的最值的求解,解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件.15.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为5.【考点】7C:简单线性规划.【专题】31:数形结合.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得C(1,1).化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式,得.由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大.此时z max=1+4×1=5.故答案为:5.【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.16.(5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.【考点】IV:两直线的夹角与到角问题.【专题】5B:直线与圆.【分析】设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值,可得cosθ、tanθ 的值,再根据tan2θ=,计算求得结果.【解答】解:设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,且点A与圆心O之间的距离为OA==,圆的半径为r=,∴sinθ==,∴cosθ=,tanθ==,∴tan2θ===,故答案为:.【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题.三、解答题17.(10分)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1﹣a n+2.(Ⅰ)设b n=a n+1﹣a n,证明{b n}是等差数列;(Ⅱ)求{a n}的通项公式.【考点】83:等差数列的性质;84:等差数列的通项公式;8H:数列递推式.【专题】54:等差数列与等比数列.=2a n+1﹣a n+2变形为:a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2,再由条件得b n+1=b n+2,根据【分析】(Ⅰ)将a n+2条件求出b1,由等差数列的定义证明{b n}是等差数列;(Ⅱ)由(Ⅰ)和等差数列的通项公式求出b n,代入b n=a n+1﹣a n并令n从1开始取值,依次得(n﹣1)个式子,然后相加,利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n.=2a n+1﹣a n+2得,【解答】解:(Ⅰ)由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2,由b n=a n+1﹣a n得,b n+1=b n+2,﹣b n=2,即b n+1又b1=a2﹣a1=1,所以{b n}是首项为1,公差为2的等差数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,b n=1+2(n﹣1)=2n﹣1,由b n=a n+1﹣a n得,a n+1﹣a n=2n﹣1,则a2﹣a1=1,a3﹣a2=3,a4﹣a3=5,…,a n﹣a n﹣1=2(n﹣1)﹣1,所以,a n﹣a1=1+3+5+…+2(n﹣1)﹣1==(n﹣1)2,又a1=1,所以{a n}的通项公式a n=(n﹣1)2+1=n2﹣2n+2.【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式,及累加法求数列的通项公式和转化思想,属于中档题.18.(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;HP:正弦定理.【专题】58:解三角形.【分析】由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)即可得出.【解答】解:∵3acosC=2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,∴3tanA=2tanC,∵tanA=,∴2tanC=3×=1,解得tanC=.∴tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)=﹣=﹣=﹣1,∵B∈(0,π),∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小.【考点】LW:直线与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得;(Ⅱ)作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,解三角形由反三角函数可得.【解答】解:(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C,又AC1⊥BC,A1C∩BC=C,∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,∴AC1⊥A1B;(Ⅱ)∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥CC1,E为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1,∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=,∵A1C为∠ACC1的平分线,∴A1D=A1E=,作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D=A1,∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB,∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,由AD==1可知D为AC中点,∴DF==,∴tan∠A1FD==,∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题.20.(12分)设每个工作日甲,乙,丙,丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(Ⅱ)实验室计划购买k台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得若k=2,不满足条件.若k=3,求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06<0.1,满足条件,从而得出结论.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+(1﹣0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×(1﹣0.5)×0.5×0.4+0.6×0.5×(1﹣0.5)×0.4+0.6×0.5×0.5×(1﹣0.4)=0.31.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得若k=2,则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31>0.1,不满足条件.若k=3,则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06<0.1,满足条件.故k的最小值为3.【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.21.(12分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值.【专题】53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过导数为0,利用二次函数的根,通过a的范围讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当a>0,x>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,推出f′(1)≥0且f′(2)≥0,即可求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=ax3+3x2+3x,∴f′(x)=3ax2+6x+3,令f′(x)=0,即3ax2+6x+3=0,则△=36(1﹣a),①若a≥1时,则△≤0,f′(x)≥0,∴f(x)在R上是增函数;②因为a≠0,∴a≤1且a≠0时,△>0,f′(x)=0方程有两个根,x1=,x2=,当0<a<1时,则当x∈(﹣∞,x2)或(x1,+∞)时,f′(x)>0,故函数在(﹣∞,x2)或(x1,+∞)是增函数;在(x2,x1)是减函数;当a<0时,则当x∈(﹣∞,x1)或(x2,+∞),f′(x)<0,故函数在(﹣∞,x1)或(x2,+∞)是减函数;在(x1,x2)是增函数;(Ⅱ)当a>0,x>0时,f′(x)=3ax2+6x+3>0 故a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当且仅当:f′(1)≥0且f′(2)≥0,解得﹣,a的取值范围[)∪(0,+∞).【点评】本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围,考查分类讨论思想的应用.22.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x0=,根据|QF|=|PQ|求得p的值,可得C的方程.(Ⅱ)设l的方程为x=my+1 (m≠0),代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程.【解答】解:(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px(p>0),可得x0=,∵点P(0,4),∴|PQ|=.又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,∴+=×,求得p=2,或p=﹣2(舍去).故C的方程为y2=4x.(Ⅱ)由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,y2=4x的焦点F(1,0),设l的方程为x=my+1(m≠0),代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0,显然判别式△=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1•y2=﹣4.∴AB的中点坐标为D(2m2+1,2m),弦长|AB|=|y1﹣y2|==4(m2+1).又直线l′的斜率为﹣m,∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3.过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4(2m2+3)=0,∴y3+y4=,y3•y4=﹣4(2m2+3).故线段MN的中点E的坐标为(+2m2+3,),∴|MN|=|y3﹣y4|=,∵MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,∴+DE2=MN2,∴4(m2+1)2 ++=×,化简可得m2﹣1=0,∴m=±1,∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0,或x+y﹣1=0.【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题.。
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小题提速练(一) “12选择+4填空”80分练(时间:45分钟 分值:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={x |y =lg(x +1)},B ={x ||x |<2},则A ∩B =( )A .(-2,0)B .(0,2)C .(-1,2)D .(-2,-1)C [因为A ={x |x >-1},B ={x |-2<x <2},所以A ∩B =(-1,2),故选C.] 2.已知z i =2-i ,则复数z 在复平面内对应的点的坐标是( )A .(-1,-2)B .(-1,2)C .(1,-2)D .(1,2)A [因为z i =2-i ,所以z =2-ii =-i(2-i)=-1-2i ,所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),故选A.]3.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=36,则S 11=( ) A .66 B .55 C .44D .33D [因为a 1+a 5=2a 3,a 8+a 10=2a 9,所以2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=6a 3+6a 9=36,所以a 3+a 9=6,所以S 11=11(a 1+a 11)2=11×(a 3+a 9)2=33,故选D.]4.△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB→=2a ,AC →=2a +b ,则下列结论正确的是( ) A .|b |=1 B .a ⊥b C .a·b =1D .(4a +b )⊥BC→D [∵b =AC→-AB →=BC →,∴|b |=|BC →|=2,故A 错;∵BA →·BC →=2×2×cos 60°=2,即-2a ·b =2,∴a·b =-1,故B 、C 都错;∵(4a+b )·BC →=(4a +b )·b =4a·b +b 2=-4+4=0, ∴(4a +b )⊥BC→,故选D.] 5.函数f (x )=cos xx 的图象大致为( )D [易知函数f (x )=cos xx 为奇函数,其图象关于原点对称,所以排除选项A ,B ;又f ′(x )=-(x sin x +cos x )x 2,当0<x <1时,f ′(x )<0,所以f (x )=cos xx 在(0,1)上为减函数,故排除选项C.故选D.]6.已知圆C :x 2+y 2=1,直线l :y =k (x +2),在[-1,1]上随机选取一个数k ,则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( ) A.12 B .2-22 C.3-33D .2-32C [若直线l :y =k (x +2)与圆C :x 2+y 2=1相离,则圆C 的圆心到直线l 的距离d =2|k |k 2+1>1,又k ∈[-1,1],所以-1≤k <-33或33<k ≤1,所以事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为2-2332=3-33,故选C.] 7.执行如图1所示的程序框图,已知输出的s ∈[0,4],若输入的t ∈[m ,n ],则实数n -m 的最大值为( )图1A .1B .2C .3D .4D [由程序框图得s =⎩⎨⎧3t ,t <14t -t 2,t ≥1,作出s 的图象如图所示.若输入的t ∈[m ,n ],输出的s ∈[0,4],则由图象得n -m 的最大值为4,故选D.]8.某几何体的三视图如图2所示,则该几何体的表面积为( )图2A .6π+1B .(24+2)π4+1 C.(23+2)π4+12 D .(23+2)π4+1 D [由几何体的三视图知,该几何体为一个组合体,其中下部是底面直径为2,高为2的圆柱,上部是底面直径为2,高为1的圆锥的四分之一,所以该几何体的表面积为4π+π+3π4+2π4+1=(23+2)π4+1,故选D.]9.已知,给出下列四个命题:p 1:∀(x ,y )∈D ,x+y +1≥0;p 2:∀(x ,y )∈D,2x -y +2≤0;p 3:∃(x ,y )∈D ,y +1x -1≤-4;p 4:∃(x ,y )∈D ,x 2+y 2≤2.其中为真命题的是( ) A .p 1,p 2 B .p 2,p 3 C .p 2,p 4 D .p 3,p 4C [因为表示的平面区域如图中阴影部分所示,所以z 1=x +y 的最小值为-2,z 2=2x -y 的最大值为-2,z 3=y +1x -1的最小值为-3,z 4=x 2+y 2的最小值为2,所以命题p 1为假命题,命题p 2为真命题,命题p 3为假命题,命题p 4为真命题,故选C.]10.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为6,则|AB |=( ) A .6 B .8 C .12 D .16A [由题易知抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1,0),当直线AB 垂直于x 轴时,△AOB 的面积为2,不满足题意,所以设直线AB 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),与y 2=4x 联立,消去x 得ky 2-4y -4k =0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),所以y 1+y 2=4k ,y 1y 2=-4,所以|y 1-y 2|=16k 2+16,所以△AOB 的面积为12×1×16k 2+16=6,解得k =±2,所以|AB |=1+1k 2|y 1-y 2|=6.选A.]11.在数列{a n }中,已知a 1=1,a n +1-a n =sin(n +1)π2(n ∈N *),记S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 016=( )A .1 006B .1 007C .1 008D .1 009C [由题意,得a n +1=a n +sin (n +1)π2(n ∈N *),所以a 2=a 1+sin π=1,a 3=a 2+sin 3π2=0,a 4=a 3+sin 2π=0,a 5=a 4+sin 5π2=1,…因此数列{a n }是一个周期为4的周期数列,而2 016=4×504,所以S 2 016=504×(a 1+a 2+a 3+a 4)=1 008,故选C.]12.设函数f (x )=32x 2-2ax (a >0)的图象与g (x )=a 2ln x +b 的图象有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b 的最大值为( ) A.12e 2 B.12e 2 C.1e D .-32e 2A [f ′(x )=3x -2a ,g ′(x )=a 2x ,因为函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有公共点且在公共点处的切线方程相同,所以3x -2a =a 2x ,故3x 2-2ax -a 2=0在(0,+∞)上有解,又a >0,所以x =a ,即切点的横坐标为a ,所以a 2ln a +b =-a 22,所以b =-a 2ln a -a 22(a >0),b ′=-2a (ln a +1),由b ′=0得a =1e ,所以0<a <1e 时b ′>0,a >1e 时b ′<0,所以当a =1e 时,b 取得最大值且最大值为12e 2,故选A.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x n 的展开式的二项式系数之和为64,则含x 3项的系数为________.[解析] 由题意,得2n =64,所以n =6,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x n =⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 6,其展开式的通项公式为T r +1=C r 6(x 2)6-r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r =C r 6x 12-3r.令12-3r =3,得r =3,所以展开式中含x 3项的系数为C 36=20. [答案] 2014.已知双曲线经过点(1,22),其一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的标准方程为________.[解析]因为双曲线的渐近线方程为y=2x,所以设双曲线的方程为x2-y2 4=λ(λ≠0),又双曲线过点(1,22),所以λ=-1,所以双曲线的标准方程为y24-x2=1.[答案]y24-x2=115.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”是几何体的高,“幂”是截面积.意思是,两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.现有下题:在xOy平面上,将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3)、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D,如图3所示阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面面积为4π1-y2+8π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为________.图3[解析]根据提示,一个底面半径为1,高为2π的圆柱平放,一个高为2,底面积为8π的长方体,这两个几何体与Ω放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等,故它们的体积相等,即Ω的体积为π·12·2π+2·8π=2π2+16π.[答案]2π2+16π16.已知数列{a n}中,a1=-1,a n+1=2a n+3n-1(n∈N*),则其前n项和S n=________.[解析]因为a n+1=2a n+3n-1,所以a n+1+3(n+1)+2=2(a n+3n+2),所以数列{a n +3n +2}是首项为4,公比为2的等比数列,所以a n +3n +2=2n +1,所以a n =2n +1-3n -2,所以数列{a n }的前n 项和S n =2n +2-4-n (3n +7)2.[答案] 2n +2-4-n (3n +7)2。