反比例函数K的几何意义专题探索

例谈反比例函数K 值的求解策略

内容摘要：探索定值三角形与定值矩形面积转化问题的求解策略、探索坐标系中特殊四边形的面积与定值矩形面积的倍数关系、探索反比例函数图象单支上双交点问题的解题策略与方法。

近几年来有关反比例函数的问题愈加活跃在中考的舞台上，并呈现出愈加愈灵活，愈加愈有深度和难度的趋势。而有关反比例函数K 值的求解问题更是成为命题者的众矢之的，使这一知识点成为中考命题的热点、重点和难点。下面本人就近几年的各省市出现的有关K 值的求解方面的问题加以归类和总结。 一：同底等高类：

此类问题是基于K 的几何意义S ∆A0B =

|K |2

和S 矩形AOBC =|K |（如下图1、2所示）结合同

底（等底）等高的三角形面积相等和同底等高的平行四形（或矩形）的面积相等来出题的。

（一）同底等高三角形类： 1、如图3，A 是反比例函数y x 6

图象上一点，过点A 作y AB ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，则△ABP 面积为 。 2. 如图4，已知反比例函数y 1＝

x 4 和y 2x 6-

，点A 在y 轴的正半轴上，过点A 作直线BC ∥x 轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B 和C ，点P 为X 轴上任意一点，连接

PC 、PB 。则△BPC 的面积为 。

3. 如图5，过x 轴正半轴任意一点作x 轴的垂线，分别与反比例函数y 1=

2x 和y 2=4

x

的图像交于点A 和点B .若点C 是y 轴上任意一点，连结AC 、BC ，则△ABC 的面积为

★ 解析：此类题是在基于图1演变而来的。很明显图3中S ∆ABP =S ∆A0B =

|K |2

=3；而图4中

S ∆BCP =S ∆BOC =S ∆BOA +S ∆COA =

|k 1|2

+

|k 2|2

=2+3=5;在图5中S ∆ABC =S ∆AOB =

|k 2|2

−

|k 1|2

=2-1=1。

此外：在图4中如果以y 轴为轴对拆其中一条函数的图象就会由k 值求和问题转化为图5中的k 值求差的问题，同样在图5中如果以x 轴为轴对拆其中一条函数的图象就会由k 值求差的问题转化为图4中k 值求和的题。

图3

图4

图5

图1 图2

总结：1、图形3类问题利用公式：S ∆ABP =S ∆A0B =|K |2

2、图形4类问题利用公式：S ∆BCP =S ∆BOC =

|k 1|2

+

|k 2|2

3、图形5类问题利用公式：S ∆ABC =S ∆AOB =|k 2|2

−

|k 1|2

（二）同底等高类平行四边形问题：

1.如图6，点A 是反比例函数（< 0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在轴上，点D 在轴上，则平行四边形ABCD 的面积为

2.如图7，点A 是反比例函数y =

x

2

（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数 Y = x

3

-

的图象于点B ，以AB 为边作▱ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为___ 3. 如图8，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3

y x

=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，

若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .

★ 解析：此类题是在基于图2结合平行四边形的面积等于与之同底等高的矩形的面积

演变而来的。很明显图6中平行四边形ABCD 的面积=矩形AMOD 的 面积=|k |=6;图7中平行四边形ABCD 的面积=矩形ABMN 的面积=|k 1|+|k 2|=3+2=5;图8中矩形ABCD 的面积=矩形BMOC 的面积−矩形AMOD 的面积，对于图8也可以把此矩形改变为同底等高的平行四边形。同样对于图7和图8我们可能通过对称其中一条函数的图象由k 值求和（差）的问题转化为k 值求差（和）的问题。 注：同（一）类问题一样我们可以得出解决（二）类问题的一般公式。

★ 此类题我们还能很容易的发现它们的另外一个共同的特征：无论是坐标轴上的点还

是处在与坐标轴平行的图象上的点，都是以“任一点”的身份出现的，因此，做此类题还有一个较简捷的方法——特殊值法。

二、图象与矩形相交类

1. 如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数x

k y =的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，

则该反比例函数的解析式是___ _____ 2.如图，反比例函数

（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC

交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为

6

y x

=-x x y 图6 图7

图8

3. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y ＝

x

k

（k ＞0）经过A ，E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k=_________

★ 的中点。本类问题求解的通法是利用大矩形的面积是定值矩形面积的4倍列方程。

在图9中分别由点P 向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为M 、N ，此时四边MPNO 为定值矩形。此时它的面积设为K ，则可得到方程4K=4，得到K=1。

同理在图10中由点M 向x 轴和y 轴作垂线垂足分别为N 、P ，得定值矩形OPMN ，又因为点E 、D 两点分别在反比例函数的图象上，所以△OCE 和△OAD 为定值三角形，因此可列方

程：4k = 9 + k

2×2,解得：k = 3.

在图11中虽然AOBC 是平行四边形，但是我们可以先延长CA 交y 轴于点M ，再由点C 向x 轴作垂线，垂足为N ，得矩形ONCM ，此时，△OAM 和△CBN 为定值三角形，可列方程： 4k=18+ k

2×2 ,解得：k = 6 . 三、图象单支双交点类：

1、（2013•泸州）如图，已知函数y=

x 34与反比例函数y=x

k

（x ＞0）的图象交于点A ．将y=x 34的图象向下平移6个单位后与双曲线y=x

k

交于点B ，与x 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标；

（2）若

CB =2，求反比例函数的解析式． 2、（2010•兰州）如图，P 1是反比例函数y=k

x

（k ＞0）在第一象限图象上的一点，点A 1

的坐标为（2，0）．

（1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1OA 1的面积将如何变化？

（2）若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式

及A 2点的坐标．

★解析：此类问题的特点是双曲线的一条分支与图形有两个交点，利用坐标绝对值的比值和三角形的相似比设出线段长，然后利用k 值相等列方程。 1题（图12）详解：

解：(1)把y =0代入y =4

3x −6得：x =9

2 ∴C(9

2,0)

图9 图10 图11 图12

图13