定积分及其应用(精讲精练)

第5章 定积分与其应用

学习目标

理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质. 掌握变上限定积分的导数的计算方法.

熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法. 了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.

定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理,最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.

5.1 定积分的概念与性质

定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.

5.1.1实例分析

1.曲边梯形的面积

在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.

所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线0,,===y b x a x 与曲线)(x f y =所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.

现在求0)(≥x f 时，在连续区间],[b a 上围成的曲边梯形的面积A （如图5.1(a),(b)所

(a)

示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：

(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形

在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点：b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210，把区间

],[b a 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i x x x x x x x x -- ，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，过每个分点作垂直于x 轴的直线段，它们把曲边梯形分成n 个

小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为),2,1(n i A i ⋅⋅⋅=∆.

(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积

在小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ，作以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则

),,2,1()(n i x f A i i i ⋅⋅⋅=∆≈∆ξ.

(3)求和——求n 个小矩形面积之和

n 个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A ，即

n A A A A ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=21n n x f x f x f ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈)()()(2211ξξξ

i n

i i x f ∆=∑=)(1

ξ.

(4)取极限

令{}i n

i x ∆=≤≤1max λ，当分点n 无限增多且0→λ时，和式

i

n

i i

x f ∆∑=)(1

ξ的极限便是曲边

梯形的面积A ，即

i n

i i x f A ∆=∑=→)(lim 1

ξλ.

2．变速直线运动的路程

设一物体作变速直线运动，其速度是时间t 的连续函数)(t v v =，求物体在时刻1T t =到

2T t =间所经过的路程S

.

图5.2

我们知道，匀速直线运动的路程公式是：vt S =，现设物体运动的速度v 是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：

(1)分割——把整个运动时间分成n 个时间段

在时间间隔],[21T T 内任意插入1-n 个分点：21101T t t t t T n n =<<⋅⋅⋅<<=-，把

],[21T T 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i t t t t t t t t --⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第i 个小区间的长度为),,2,1(1n i t t t i i i ⋅⋅⋅=-=∆-第i 个时间段内对应的路程记作),2,1(n i S i ⋅⋅⋅=∆.

(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程 在小区间],[1i i t t -上任取一点),2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ,用速度)(i v ξ近似代替物体在时间

],[1i i t t -上各个时刻的速度，则有

),,2,1()(n i t v S i i i ⋅⋅⋅=∆≈∆ξ.

(3)求和——求n 个小时间段路程之和

将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即

n S S S S ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=21n i t v t v t v ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈)()()(2211ξξξ

i n

i i t v ∆=∑=)(1

ξ.

(4)取极限

令{}i n

i t ∆=≤≤1max λ，当分点的个数n 无限增多且0→λ时，和式

i

n

i i

t v ∆∑=)(1

ξ的极限便是

所求的路程S .即

i n

i i t v S ∆=∑=→)(lim 1

ξλ

从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是一样的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.

5.1.2定积分的概念

定义5.1 设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任取分点b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210 把区间],[b a 任意分割成n 个小区间],[1i i x x -，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，记{}i n

i x ∆=≤≤1max λ.在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ作和式

i

n

i i

x f ∆∑=)(1

ξ，