傅里叶分析不仅仅是一个数学工具 更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式
傅里叶分析报告教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
傅里叶分析之掐死教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）投递人itwriter发布于2014-06-07 10:50 评论(24)有34667人阅读原文链接[收藏]«»作者：韩昊知乎：Heinrich微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…….本文无论是cos 还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶详细资料大全
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶详细资料大全让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768-1830），男爵，法国数学家、物理学家，1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。
1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
主要贡献是在研究《热的传播》和《热的分析理论》时创立了一套数学理论，对19世纪的数学和物理学的发展都产生了深远影响。
基本介绍•中文名：让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶•外文名：Jean Baptiste Joseph Fourier•国籍：法国•民族：法兰西•出生地：法国约讷省欧塞尔•出生日期：1768年3月21日•逝世日期：1830年5月16日•职业：数学家、物理学家•毕业院校：巴黎高等师范学校•主要成就：热的传导理论、傅立叶变换人物生平,数学研究,个人理论,人物纪念,人物生平傅立叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，被当地一主教收养。
1780年起就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后于1801年被任命为伊泽尔省格伦诺布尔地方长官。
傅立叶的家乡-欧塞尔（图中A）傅立叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。
傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函式可以由三角函式构成的级数形式表示，从而提出任一函式都可以展成三角函式的无穷级数。
傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。
傅立叶由于对传热理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士。
傅里叶变换的通俗解释
傅里叶变换的通俗解释 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998傅里叶变换的通俗解释作者：韩昊（德国斯图加特大学通信与信息工程专业硕士生）提要：这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
———以上是开场白，下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、啥叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。
傅里叶介绍
简介
傅立叶 即 让· 巴普蒂斯· 约瑟夫· 傅立叶 。 让· 巴普蒂斯· 约瑟夫· 傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier， 1768 –1830），法国著名数学家、物理学家，1817年当选为科 学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘 书和理工科大学校务委员会主席，主要贡献是在研究热的传播 时创立了一套数学理论。
数学研究
1、让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。 2、最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。 3、傅立叶变换的基本思想首先由傅里叶提出，所以以其名字来命名以示纪念。从现代 数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数 表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同 的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。 4、傅立叶变换属于调和分析的内容。分析二字，可以解释为深入的研究。从字面上来 看，“分析”二字，实际就是条分缕析而已。它通过对函数的 条分缕析来达到对复杂 函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内 部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的 本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类 无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 5、在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但 是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解， 都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简 单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立 叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇。
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析（FourierAnalysis）是一种分析信号的重要方法，它可以帮助我们研究如何理解、抽象和模型复杂的信号。
在很多不同的领域，傅里叶分析已被广泛应用。
本文将详细介绍傅里叶分析的基本原理和应用，以及它在各种领域的作用。
1.里叶分析的基本原理傅里叶分析是一种对信号进行统计特性分析的重要工具，它可以帮助我们理解信号的内容。
傅里叶分析的根本思想是将信号表示为由一系列正弦波叠加而成的复杂形式。
由正弦波叠加而成的复杂形式，每个正弦波都是一种不同频率的正弦波，它们都被称为频率分量。
从傅里叶分析中，我们可以把信号拆分成它的频率特性，即信号各个频率分量的分布。
傅里叶分析可以用来确定信号的频谱，从而可以了解信号的特性。
2.里叶分析的应用傅里叶分析有许多应用，其中最重要的是用于图像处理。
图像是一种复杂的信号，可以用傅里叶分析的原理将其表示为一系列的正弦波叠加而成的形式，从而可以更容易地分析图像的特性。
此外，傅里叶分析还可以用于压缩数据，辨认声音，处理脑电波等等。
压缩数据时，我们可以通过傅里叶分析将数据拆分为大量低频正弦波，从而节省存储空间。
辨认声音时，我们可以通过分析声音的频谱辨别出不同的声音。
处理脑电波时，我们可以通过傅里叶分析对脑电波的特征进行深入的研究，从而更好地了解人的大脑状态。
3.里叶分析在不同领域的作用由于傅里叶分析之所以具有许多优点，它被广泛应用于许多领域中。
在医学领域，傅里叶分析被用于分析脑电图，探讨大脑及其功能，以及研究疾病的特征。
在信号处理领域，傅里叶分析可以用于压缩数据，提取特征，以及识别声音。
在音乐领域，傅里叶分析可以用来研究音乐的音调和节拍，以及辨认不同的乐器声音。
在地理学领域，傅里叶分析可以用来分析地球物理现象，如海洋浪潮、地震波等。
4.结傅里叶分析是一种重要的分析信号的工具，它可以将信号拆分为它的频率特性，即信号各个频率分量的分布。
傅里叶分析在许多领域都有应用，包括图像处理、压缩数据、音乐、医学等。
傅里叶变换的哲学意义
傅里叶变换的哲学意义摘要：一、引言二、傅里叶变换的定义及应用三、傅里叶变换的哲学意义四、傅里叶变换在现代科学中的重要性五、结论正文：一、引言傅里叶变换，这个名字对于很多人来说可能有些陌生，但实际上它在我们的生活中无处不在。
从物理、数学到工程、生物学，傅里叶变换都有着广泛的应用。
那么，这样一个数学工具究竟有着怎样的哲学意义呢？二、傅里叶变换的定义及应用傅里叶变换是一种将复杂信号分解为简单正弦和余弦函数的方法。
它的基本思想是将一个信号（如音频、图像等）在频域上进行分析，从而得到其频率组成。
在实际应用中，傅里叶变换可以帮助我们更好地理解和处理信号，例如在通信、音频处理、图像处理等领域都有着重要的应用。
三、傅里叶变换的哲学意义1.分解与整合：傅里叶变换揭示了复杂现象背后的简单成分，将一个看似复杂的信号分解为若干简单的正弦和余弦函数。
这体现了哲学中的分解与整合的思想，即世界万物的本质是简单的，复杂的现象不过是由这些简单成分组合而成。
2.普遍性与特殊性：傅里叶变换的应用范围非常广泛，从物理、数学到工程、生物学等，这说明它具有普遍性。
同时，傅里叶变换在不同的领域又有其特殊性，如在音频处理中关注频率特性，在图像处理中关注空间特性。
这体现了哲学中的普遍性与特殊性的统一。
3.动态与静态：傅里叶变换是一种动态的分析方法，因为它关注的是信号的变化过程。
在这个过程中，我们可以观察到信号的频谱变化，从而了解到信号的本质。
这反映了哲学中的动态观念，强调事物发展的过程性。
四、傅里叶变换在现代科学中的重要性傅里叶变换在现代科学中的重要性不言而喻。
它在诸多领域的应用为我们理解世界、解决实际问题提供了有力的工具。
例如，在通信领域，傅里叶变换可以帮助我们分析信号的频谱，从而实现高效的信息传输；在图像处理领域，傅里叶变换可以揭示图像的频谱特性，有助于我们去噪、增强图像等。
五、结论总的来说，傅里叶变换作为一种数学工具，在哲学层面上揭示了复杂现象背后的简单成分、普遍性与特殊性的统一以及动态与静态的统一。
傅里叶分析
傅里叶分析
傅里叶分析是一种具有普遍性的、实用的数学工具，是现代数学教学中的一门重要学科。
它为物理、电子、信号处理等应用领域提供了众多的技术支持，并使其得到特别的重视。
傅里叶分析的发展可以追溯到17世纪末至18世纪初的英国数学家、物理学家约瑟夫菲尔德傅里叶。
他发明了古典傅里叶分析，将振动问题分解为一些基本频率分量，构成了现代傅里叶分析的理论基础。
按照古典傅里叶分析的思想，任何连续的振动信号都可以通过正弦和余弦函数的线性组合来表示。
这种线性组合中的正弦和余弦波叫做傅里叶基波，每个基波都具有不同的频率、幅度和相位。
傅里叶分析可以有效地解决发动机振动检测、空气动力学测试等实际问题，广泛应用于声学、音频、振动、电动机控制、有限元分析、图像处理、信号处理、RF/微波技术、机器视觉、测试和优化等领域。
除了古典傅里叶分析，近些年来，还出现了加权傅里叶变换，它由信号处理的科学家R.E.Welch发明，是一种新的数学工具，可以更高效地分析时变信号。
它是一种快速傅里叶变换，可以在信号处理方面得到广泛的应用。
不管是古典傅里叶分析还是加权傅里叶变换，在实际应用中都需要计算机的支持，而计算机软件能够有效地实现傅里叶变换，它能够减轻工程师在进行信号处理应用中所面临的计算量，使得工程设计过程更加容易。
傅里叶分析不仅是一门传统数学，而且还能够更好地推动现代信
号处理技术的发展，可以满足人们在信号处理中的实际应用，为改善生活质量、实现智能化技术提供了有力的技术支撑。
傅里叶分析已成为现代科技发展的重要技术，仍然在各个工程应用中发挥着重要的作用。
未来，傅里叶分析还将发挥更大的作用，为信号处理和其他科学技术的发展提供有力的支持。
傅里叶变换的通俗解释
傅里叶变换的通俗解释傅里叶变换的通俗解释作者：韩昊（德国斯图加特大学通信与信息工程专业硕士生）提要：这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
———以上是开场白，下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、啥叫频域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。
上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。
傅立叶定律的意义和适用条件
傅立叶定律的意义和适用条件
傅立叶定律是一种将周期性信号分解成一组正弦波的数学方法。
它的意义在于，通过将信号分解成多个频率成分，可以更好地理解信号的性质和特征，进而实现许多实际应用，如音频信号处理、图像压缩等。
傅立叶定律的适用条件是，信号必须是周期性的，并且可以用连续函数或离散函数表示。
此外，信号必须满足一定的收敛条件，以确保分解后的频率成分能够准确地表示原始信号。
傅立叶定律的应用非常广泛。
在音频信号处理中，傅立叶变换可以将音频信号分解成多个频率成分，进而实现音频滤波、降噪等操作。
在图像处理中，傅立叶变换可以将图像分解成多个频率成分，进而实现图像压缩、去噪等操作。
傅立叶定律的数学原理较为复杂，但可以通过计算机程序实现。
常见的傅立叶变换算法包括快速傅立叶变换（FFT）和离散傅立叶变换（DFT），它们在不同的应用场景中具有不同的优势和适用性。
傅立叶定律是一种非常重要的数学工具，可以在许多领域中发挥重要作用。
掌握傅立叶变换的原理和应用，有助于我们更好地理解和处理各种信号和数据，从而实现更多有价值的应用。
傅里叶级数理解
傅里叶级数理解傅里叶级数是一种数学工具，用于描述周期性函数的性质和特征。
它是由法国数学家傅里叶于19世纪初提出的，经过多年的研究和发展，已经成为数学和物理学中不可或缺的重要理论。
傅里叶级数的应用范围广泛，涵盖了信号处理、图像处理、波动理论、量子力学等领域。
傅里叶级数的核心思想是将一个周期性函数分解成多个正弦和余弦函数的线性组合。
这种分解可以使我们更好地理解函数的周期性特征和频域特征。
在傅里叶级数中，每个正弦和余弦函数都有自己的振幅和频率，通过调整这些参数，我们可以得到不同形状的周期性函数。
傅里叶级数的计算方法是通过将函数与一组正交基函数进行内积运算得到的。
这组正交基函数通常选取为正弦和余弦函数，因为它们在周期性函数的分解中具有良好的性质。
通过计算每个基函数与函数的内积，并除以基函数的模长，就可以得到傅里叶级数的系数。
这些系数表示了不同频率分量对函数的贡献程度。
傅里叶级数的应用非常广泛。
在信号处理中，傅里叶级数可以将信号从时域转换到频域，从而更好地分析和处理信号。
在图像处理中，傅里叶级数可以将图像分解成一系列频率分量，从而实现图像的压缩和增强。
在波动理论中，傅里叶级数可以描述波动的传播和干涉现象。
在量子力学中，傅里叶级数则是描述波函数的基本工具。
傅里叶级数的理论基础是复数和复指数函数。
复数可以表示振幅和相位，而复指数函数则是描述周期性函数的最基本形式。
通过将周期性函数表示为复指数函数的和，我们可以更好地理解函数的周期性特征和频域特征。
复数和复指数函数的性质在傅里叶级数的推导和计算中起到了重要的作用。
傅里叶级数的应用不仅仅局限于数学和物理学领域，在工程和科学研究中也有着广泛的应用。
通过傅里叶级数的分析和处理，我们可以更好地理解和处理周期性现象，提取有用的信息，甚至设计出更优化的系统和算法。
傅里叶级数是一种重要的数学工具，用于描述周期性函数的性质和特征。
它的应用范围广泛，涵盖了信号处理、图像处理、波动理论、量子力学等领域。
深入浅出的讲解傅里叶变换学习资料
深入浅出的讲解傅里叶变换我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
傅里叶介绍
确定的方程
傅里叶留下了未完成的工作是被克劳德路易纳维编辑且在 1831年出版的确定的方程。这项工作包含了许多原始的问题 弗朗索瓦Budan在1807年和1811年，已阐明了一般人都知道的 傅里叶的理论，但这个示范并不完全令人满意。傅里叶的证 明和常常在教科书中给予的理论方程是一样的。最终解决这 个问题是由查尔斯弗朗索瓦雅克斯特姆在1829年解决的。
人物年表
1768年3月21日傅立叶生于欧塞尔，9岁父母双亡， 被当 地教堂收养。 1780年由一主教送入地方军事学校读书。 1785年回乡教数学。 1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员。 1795年到巴黎综合工科学校执教。 1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘 书。 1801年回国后任伊泽尔省地方长官。 1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著 名的热传导方程，提出任一函数都可以展成三角函数的 无穷级数。 1817年当选为科学院院士。 1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和 理工科大学校务委员会主席。并提出了他在热流上的作 品:《热的解析理论》(Théorie analytique de la chaleur， 英：Analytical theory of heat)。 1830年5月16日卒于巴黎。
傅立叶变换
1、傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子。 2、傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为 常系数的代数方程的傅立叶求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性 质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获 取。 4、著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算， 从而提供了计算卷积的一种简单手段。 5、离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶 变换算法(FFT))。 正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概 率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
傅里叶变换_加速度
错过这篇文章，可能你这辈子不懂什么叫傅里叶变换了（一）2014-05-27 13:02 | 知乎：Heinrich | 已围观次图片：TMAB2003 / CC BY-ND作者：Heinrich，这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
傅里叶变换是个伟大的工具要点
傅里叶变换是个伟大的工具引言：傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多学生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
有关傅里叶傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。
但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。
傅里叶算法
傅里叶算法傅里叶算法是一种概括了现代数学从罗马以来发展过程中积累下来的一系列概念和思想的统称，这种算法仅仅在20世纪才被人们重视起来，它植根于数学及物理学的相关理论，以及在20世纪50年代以来发展起来的计算机科学。
在20世纪中期，傅立叶算法逐渐得到重视，被作为研究和应用于科学、工程和社会领域的重要工具和工具之一。
傅里叶法的本质是数学的抽象方法，它涵盖了无限维的空间的概念、复变函数的分析、调和分析、积分计算等，还有其他各种有趣的数学技巧。
其分析和解决问题的途径是将某一实际问题的模型表示成所谓的波函数，然后运用傅里叶法对该模型进行有效的数值计算。
傅里叶法在科学研究中有着多重用途。
例如，在物理学中，这种法则可用来分析和求解时间变量系统的特性；在化学领域，它可用来估计化学反应种类的分布特征；在工程领域，它可用于预测系统的变化趋势和模拟系统的运行状态；在社会学研究中，它可用来预测社会变迁趋势和模拟发展过程。
此外，傅里叶算法还可以用于优化和改进各种工程机械系统的性能，并为从事结构调整、流体计算、声学分析、多体动力学等众多工程学科提供有益的信息。
例如，在汽车引擎设计方面，傅里叶算法可以用来计算和估计进排气系统的性能；在飞机设计中，它可以用来计算各个零件的位置和性能；在电子产品设计中，它可以用来测量和估计各种电气电子外形参数。
另外，傅里叶算法在计算机科学中也有广泛的应用，它可以用来改善和优化算法运行速度，它也可用来进行多维数据的分析、模拟和推断，以及复杂系统模型的建立和应用。
在计算机图形学领域，傅里叶算法可以用来进行图像编码和调整，以及提取和减少图像中噪声等；在计算机语音识别的领域，它可以用来检测和识别声音特征等；在计算机视觉领域，它可以用来处理和识别图像信息等。
总之，傅立叶算法是一种强大而有效的算法，在现代科技发展中扮演着重要的角色。
它既可以用于科学研究，也可以用于工程应用，还有计算机科学领域的实践应用。
它的优点在于，能够有效处理复杂的实际问题，而且还能获得更准确、精确的计算结果。
理解傅里叶分析。
快速理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。
上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。
所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
傅立叶分析导论
傅立叶分析导论傅立叶分析是以法国数学家傅立叶的名字而命名的技术，它是基于复杂数学关系的一种分析方法，主要用于探究和研究特定问题的一些重要性质。
傅立叶分析的根本思想是将曲线和函数的变化解析为各种频率的部分，它也可以被认为是对现实世界的结构和运行原理的一种分析技术。
傅立叶分析可被广泛应用于数学、工程、物理学和其他科学领域。
它可被用于提取函数特定频率的分量，使得可以更有效地描述函数，从而简化求解程序。
此外，它还可被用于加速和简化紧密求解运算，以及估计连续函数的极值、驻点和局部曲率。
傅立叶分析是建立在若干数学理论处理基础上的一种研究工具，主要有以下几个核心概念：（1）傅立叶波：这是指在特定范围内以特定频率和幅度持续振荡的一种函数。
傅立叶波具有规则的、定义明确的结构，可以使用多种数学手段分析。
（2）傅立叶变换：这是指将函数从时间域转换为频率域，从而使用不同频率的傅立叶波来分解函数，以便更全面地描述函数。
（3）傅立叶级数：这是指由一系列傅立叶波的线性组合得到的函数。
使用傅立叶级数可以更准确地描述函数，从而更好地模拟和理解真实世界的运行情况。
傅立叶分析可用于解决大量现实科学问题，它也在大量的研究领域取得了巨大的成就。
例如，它可以用于研究正弦波的传播情况，用于研究声音在空气中的衰减，用于分析运动学中有关质量、运动和力的问题等等。
此外，它还被应用到数字信号处理、信号分析和通信领域，包括但不限于音频处理、数字图像处理、视频处理等。
傅立叶分析领域的最新发展也很受关注。
例如，研究人员近年来开发了一种新型的傅立叶处理方法：基于傅立叶乘法的包络技术（FEMT），它可以更有效和有趣地处理波形信号的频带设计。
此外，基于傅立叶的重构技术（FRT），可以实现快速数字信号处理（DSP），从而提高广泛应用中的各种性能。
傅立叶分析已经成为现代数学、物理学和工程学领域中不可缺少的研究工具。
它可以更精确地表示实际世界的运动规律和函数状态，这在许多应用中具有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
作者：韩昊（德国斯图加特大学通信与信息工程专业硕士生）
提要：这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————
下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
一、啥叫频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。
上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。
所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
将以上两图简化：
时域：
频域：
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
所以，你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。
在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。
傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。
二、傅里叶级数(Fourier Series)
还是举个栗子（举个例子）并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。
但是看看下图：
第一幅图是1个（郁闷的）正弦波cos（x）
第二幅图是2 个（卖萌的）正弦波的叠加cos (x) +a.cos (3x)
第三幅图是4 个（发春的）正弦波的叠加
第四幅图是10 个（便秘的）正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。
一个矩形就这么叠加而成了。
但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。
（上帝：我能让你们猜着我？）
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。
这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。
而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。
这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。
一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了，关键的地方来了！！
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
（好吧，数学称法为——基。
在那个年代，这个字还没有
其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）
时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。
所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
这是什么奇怪的东西？
这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——
再清楚一点：
可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。
振幅为0 的正弦波。
老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。
记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。
想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。
我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。
那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。
在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。
我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。
而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。
这样说来有些宿命论的感觉。
说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的。
来源：观察者网。