离散数学第四讲-推理规则与证明方法

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永真蕴含式
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运用推理规则形式化证明
例1：考虑下述论证: 1. 如果这里有球赛, 则通行是困难的。 2. 如果他们按时到达, 则通行是不困难的。 3. 他们按时到达了。 4. 所以这里没有球赛。 前 3 个断言是前提, 最后1个断言是结论, 要求我们从前提推出结论。
设P: 这里有球赛, Q: 通行是困难的, R: 他们按时到达。
因为P Q iff P→Q永真 iff ¬ Q → ¬P永真
iff ¬Q ¬P
5). (H1∧H2∧ …∧Hn) Q形式命题的证明
H1∧H2∧ …∧Hn Q
iff H1∧H2∧ …∧Hn →Q
是重言式
iff ¬ (H1∧H2∧ …∧Hn )Q
是重言式
iff ¬ H1 ¬ H2 … ¬ Hn Q
第四讲
推理规则和证明方法
讲授内容： 1.推理和推理规则
推理 推理规则 两规则 替换规则
2. 证明方法
直接证明方法 CP规则 反证法
讲授重点：推理规则，直接证明方法与CP规则 讲授难点：直接证明方法，CP规则与反证法
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1.推理和推理规则
什么是推理？
推理:从前提推出结论的思维过程。 前提:指已知的命题公式。 结论:从前提出发，应用推理规则推出的命题公式。
证： P1∧P2∧ …∧Pn P→Q
即证 P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P Q
因为 P1∧P2∧ …∧Pn P→Q
iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q) iff ¬ (P1∧P2∧ …∧Pn )(¬ P Q) iff ¬P1 ¬P2 … ¬Pn ¬ P Q iff (¬P1 ¬P2 … ¬Pn ¬ P ) Q iff ¬ (P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P) Q iff P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P → Q iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)
永真 永真 永真 永真 永真 永真
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3. 证明方法
利用CP规则证明以下例题
例3：证A →(B → C)， ¬ D A，B D → C
证： (1) D (2) ¬ D A (3) A (4) A →(B → C) (5) B → C (6) B (7) C (8) D → C
P（附加前提）
√
Q
P
× x 2
四个例子的推理是否正确？
例3.
例4.
如果x是偶数, 则x2是偶数。所用依据如是果什x是么偶？数, 则x2是偶数。
x不是偶数。
x2不是偶数。
x2不是偶数。
x不是偶数。
P Q P Q
× x 2
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P Q
Q
√
P
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1、推理和推理规则
刚才的例子表明了研究推理规则的重要性。 推理规则：正确推理的依据。
P
T,(1),(2),I5 P
T,(3),(4),I3 P
T,(5),(6),I3 CP规则
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3. 证明方法
7.分情况证明
证明 P1 P2 … Pn Q ， 只需证明对每一i，Pi → Q成立。
因为 P1 P2 … Pn Q iff P1 P2 … Pn → Q iff ¬(P1 P2 … Pn) Q iff (¬P1 ¬P2 … ¬Pn) Q iff ( ¬P1 Q) ( ¬P2 Q) … ( ¬Pn Q) iff (P1 → Q ) (P2 → Q ) (Pn → Q )
即证
P→Q，R→ ¬ Q，R ¬ P
证： 步骤 断言(真)
根据
（1）
R
P
（2） R→ ¬ Q
P
（3） （4）
¬Q P→Q
T,(1),(2),I3 P
（5） ¬ P
T,(3),(4),I4
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3. 证明方法
1). 无义证明法
证明 P Q为真，只需证明P为假。
2). 平凡证明法 证明 P Q为真，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但
对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
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3. 证明方法
3).直接证明法
H1∧H2∧ …∧Hn C，由前提利用推理规则直接推出C。
例2：证明
CD, C→R, D→S RS
证： (1) CD (2) ¬( ¬C) D
(3) ¬ C → D (4) D → S (5) ¬ C→ S (6) C →R (7) ¬ R→¬C
前提
推理规则
推理
结论
本节内容：从逻辑推理的角度来理解命题演算
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推理的例子：设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1.
如果x是偶数, 则x2是偶数。
x是偶数。
前提
x2是偶数。 ------------- 结论
例2.
如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2是偶数。 P Q
x是偶数。 P Q P Q
P
T,(1),E1 T,(2),E14 P T,(3),(4),I6 P T,(6),E24
(8) ¬ R→ S
(9) ¬( ¬ R)S
(10) R S
T,(5),(7),I6
T,(8),E14 T, (9), E1
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3. 证明方法
4). 间接证明法-（对原命题的逆否命题进行证明）
证P Q只需证¬Q ¬P
注意： 1. 不考虑前提的真假，推理正确≠结论为真。 2. 结论的真假 取决于 前提H1∧H2∧ …∧Hn的真假。
前提为真，则结论为真； 前提为假，则结论可真可假。 3. 因此，定义中只说C 是H1, H2, …, Hn 的有效结论而不说是正确结 论。“有效”是指结论的推出合乎推理规则。
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1、推理和推理规则
常用的推理规则
1) 恒等式(E1~E24) 2) 永真蕴含式(I1~I8,表1.5-1) 3) 替换规则，代入规则 4) P规则和T规则
P规则：(前提引入)
在推导的任何步骤上，都可以引入前提。
T规则：(结论引用)
在推导任何步骤上所得结论都可以作为后继证明的前提。
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1.5-1
表 常 用 推 理 规 则
任何一条永真蕴含式都可以作为一条推理规则。
例：析取三段论： P(PQ ) Q 如果，P：他在钓鱼，Q：他在下棋
前提：他在钓鱼或下棋； 他不在钓鱼
结论：所以他在下棋
PQ P 所以 Q
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1、推理和推理规则
定义1：若H1∧H2∧ …∧Hn C, 则称C是H1, H2, …, Hn的 有效结论。 特别若A B, 则称B是A的有效结论，或从A推出B。
是重言式
iff (Q ¬ H1) (Q ¬ H2) … (Q ¬ Hn)
是重言式
iff (¬ Q → ¬ H1) (¬ Q → ¬ H2) … (¬ Q → ¬ Hn) 是重言式
若至少有一个i，使得 使 ¬ Q ¬Hi, 则原恒等式成立。
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6. 证明方法
6. CP规则（演绎定理）
P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)形式命题的证明