圆周运动——临界问题

节目中，有一个“大转盘”的关卡。
如图所示，一圆盘正在绕一通过它中
心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀
速转动，在圆盘上有一名质量为m的
闯关者（可是为质点）到转轴的距离
为d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因
素为μ，且闯关者与圆盘间的最大静
摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关
者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转
动角速度的取值范围。 -
-
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模型1 ：绳球模型
不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点的 质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。
v0 B
o
L A
试分析： 当小球在最高点B的 速度为v0 时，绳的拉力与速度 的关系？
vA
-
11
v2 mg
T
o
最高点：T mg mv02 L
思考：小球过最高点的最小速 度是多少?
v1 T 0,v0 gL
思考：当v=v0、 v>v0、v<v0时分别会发生什么现象？ 当v=v0，对绳子的拉力刚好为0 ，小球刚好能够通过（到） 最高点、刚好能做完整的圆周运动； 当v>v0，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。
当v<v0，小球偏离原运动轨迹- ，不能通过最高点； 12
思考：要使小球做完整的圆周运动， 在最低点的速度有什么要求？
-
16
实例二：过山车
思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？
-
17
拓展：物体沿竖直内轨运动
有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r，质
量为m的小球沿它的内表面做圆周运动时，分析
小球在最高点的速度应满足什么条件？
A
v0
mg
FN
mg
FN
mv2 r
思考：小球过最高点的最小速度
是多少? FN0,v0 gr
4
如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物 体A 静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光 滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O点 的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度 ω的取值范围(取g＝10 m/s2)．
当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；
当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。
v 要保证过山车在最高点不掉下来，-此时的速度必须满足： 18 gr
规律总结：无支持物 物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收
缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力； 若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
特点：角 线速速度度、、周向心期、加频速度率不、变向心，力的大小不变，
方向时刻改变；
匀速
性质：变速运动；非匀变速曲线运动；
圆周运动 条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，
圆
且指向圆心。
周
向心力就是物体作圆周运动的合外力。
运
动
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合外力不指向圆心，与速度方向不垂直；
合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速
vB B
由机械能守恒可的：
o
mg2rmvA 2 mvB2 22
L A
v gr vA 当VB取得最小值时，即： B
v VA取得最小值即： A 5gr
v 5gr 结论：要使小球做完整的圆周
运动，在最低点的速度 -
A
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例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固
定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初
速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过
最高点，则下列说法中正确的是：（ D）
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m
v
2 0
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg L
D.小球过最高点时速度大小为 gL
-
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变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳 拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m， 现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则 小球在最高点的速度至少为多少？
可看成质点的质量为m的小球随圆锥体一起做匀速圆 周运动，细线长为L，求：
（1）当 g / l 时
37°
绳子的拉力；
（2）当 2g/l时
绳子的拉力；
-
8
例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的 铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动．则 电机对地面的最大压力和最小压力之差为___.
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
-
5
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向 两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到 转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间 的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求：
（1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；
（1）若m在最高点时突然与电机脱离， 它将如何运动? （2）当角速度ω为何值时，铁块在最高 点与电机恰无作用力? （3）本题也可认为是一电动打夯机的原 理示意图。若电机的质量为M，则ω多大 图3-5 时，电机可以“跳”起来?此情况下，对 地面的最大压力是多少?
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二、竖直平面内的圆周运动的临界问题— —球绳模型
①临界条件：绳子或轨道对小球恰好没有弹力的 作用，重力提供向心力，即 mg＝mvR2临界， 解得小球恰能通过最高点的临界速度为: v ＝ 临界 Rg. ②能过最高点的条件：v≥ gR，当 v> gR时，绳对 球产生拉力，轨道对球产生压力．
非匀速
度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小。
圆周运动 当速率增大时，合外力与速度方向的夹角
为锐角；反之，为钝角。
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2
物体做圆周运动时，题干中常常会出现 “最大”“最小”“刚好”“恰好” 等词语，该类问题即为圆周运动的临界 问题
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一、匀速圆周运动中的极值问题
1、滑动与静止的临界问题
例1、在山东卫视的《全运向前冲》
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实例一：水流星
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周
运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不
会流下来，为什么？
对杯中水：mgFN
当v gr 时，FN =
mv2 r
0
FN G
水恰好不流出
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不
得小于 gr
即：v gr 重力的效果——全部提供向心力
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
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2、绳子中的临界问题
例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的小球， 上面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为 30°与45°。问球的角速度满足什么条件，两绳子 始终张紧？
A
30°
B
L
45°
ω
2.4rad/s≤ω ≤3.16rad/s
-
C
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3、脱离与不脱离的临界问题