数学随机过程2马尔可夫过程

P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,…,Xn=in}
=P{Xn+1=in+1|Xn=in}
(4.1)
则称{Xn,n∈T}为马尔可夫链,简称马氏链.
(4.1)是马尔可夫链的马氏性(也称无后效性)的数学表达
式.
利用积事件的概率及上述定义知:
马尔可夫链的概念及转移概率
P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in1}P{X0=i0,X1=i1,…,
人 开始研究马尔可夫过程以来,可以说久盛不衰. 它有极为 深厚的理论基础,如拓扑学、函数论、泛函分析、近世代 数和几何学; 又有广泛的应用空间,如近代物理、随机分 形、公共事业中的服务系统、电子信息、计算机技术等.
自然界很多现象遵从这样的演变规则:由时刻t0系统或 过程所处的状态(现在)可以决定系统或过程在时刻t＞t0 所处的状态(将来),而无需借助于t0以前系统或过程所处 状态(过去)的历史资料. 如微分方程初值问题即属于此.
应的马氏链.如当把点1(及5)改 为吸收壁,Q一旦到达点1(5),则 将永远留在点1(5)上.此时相应
马尔可夫链的概念及转移概率
(1) pij≥0, i,j∈I;
(2) pij=1, i∈I. jI
(2)式中对j求和,是对状态空间I的所有可能状态进行的,
此性质说明一步转移概率矩阵中任一行元素之和为1. 通 常称满足(1)、(2)性质的矩阵为随机矩阵. • 为进一步讨论马尔可夫链的统计性质, 还须了解n步转 移概率,初始概率和绝对概率的概念. 定义4.4 称条件概率
• 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略.
设P为一步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间I={1,2,
…},则
p11 p12 … p1n …
P=
p21 p22 … p2n … … … … ……
pi1 pi2 … pin … …… … … …
称为系统状态的一步转移概率矩阵.
• 一步转移概率矩阵具有性质:
马尔可夫链的概念及转移概率
4.1 马尔可夫链的概念及转移概率
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1.马尔可夫链的定义
设随机过程{Xn,n∈T}的参数集T={0,1,2,…},Xn可能
取值的全体组成的状态空间为I={i1,i2,i3,…}.
定义4.1 设有随机过程{Xn,n∈T},若对于任意的整数n∈
T和任意的i0,i1,…,in+1∈I,条件概率满足
pij(n)=P{Xm+n=j|Xm=i},i,j∈I,m≥0,n≥1 为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率,并称
P(n)=(pij(n))
为马尔可夫链的n步转移矩阵,其中pij(n)≥0, pij(n)= jI
马尔可夫链的概念及转移概率
1,即P(n)也是随机矩阵.
当n=1时,pij(1)=pij,此时一步转移矩阵P(1)=P. 此外规
pij(n)=P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔可夫链{Xn,n∈T}在时刻n的一步转移概率,简称 为转移概率,其中i,j∈I.
• 一般, 转移概率pij(n)不仅与状态i,j有关,而且与时刻 n有关.当pij(n)不依赖时刻n时,表示马尔可夫链具有平稳
马尔可夫链的概念及转移概率
转移概率.
定义4.3 若对任意的i,j∈I, 马尔可夫链{Xn,n∈T}的转 移概率pij(n)与时间n无关,则称马尔可夫链是齐次的, (亦称是时齐的,即具有平稳转移概率)并记pij(n)为pij.
一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5)
上,则下一时刻就以概率1移动到点2(或4)上.点1与5称为
反射壁.并称上述这种游动为带有两个反射壁的随机游动.
若以Xn表示时刻n时Q的位置, 不同的位置就是Xn的不
马尔可夫链的概念及转移概率
状态,则{Xn,n=0,1,2,…}是一随机过程, 状态空间就是I, 而且当Xn=i,i∈I为已知时,Xn+1所处的状态的概率分布只 与Xn=i有关,而与Q在时刻n以前,如何到达i是完全无关的, 所以{Xn,n=0,1,2,…}是一马氏链,而且还是齐次的.这一 齐次马氏链的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为:
1/3,j=i-1,i,i+1,1＜i＜5,
pij=P{Xn+1=j|Xn=i}=1,i=1,j=2或i=5,j=4,
0,|j-i|≥2.
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改变游动的概率规则,可以
1 0 1 0 0 0 得到不同方式的随机游动和相
P=
2 3 4 5
1/3 1/3 1./3 0 0
0 1/3 1/3 1/3 0 0 0 1/3 1/3 1/3 00010
定pij(0)= 10,,ii=≠(jj,P. (0)是单位矩阵).
例4.1 (一维随机游动)
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设一醉汉Q(即一随机游动的质点), 在如右上图所示的
直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒
…等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点
i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动
马尔可夫链的概念及转移概率
2.转移概率 条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}的直观含义是:系统在时刻n处
于状态i的条件下,在时刻n+1系统处于状态j的概率.这相 当于随机游动的质点在时刻n处于状态i的条件下,下一步 转移到状态j的概率. 记此条件概率为pij(n),其严格定义 是: 定义4.2 称条件概率
Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in2}…P{X1=i1|
X0=i0}P{X0=i0}. 即马尔可夫链的统计特性完全由条件概率
P{Xn+1=in+1|Xn=in} 所决定. 如何确定这个条件概率,是马尔可夫链理论和应
硕士研究生学位课程《应用数学基础》
马尔可夫过程
(Markoff process)
(演示文稿)
主讲教师 段禅伦
2008年秋季学期
第四章 马尔可夫链
马尔可夫链是最简明的马尔可夫过程, 它是状态、时 间都是离散量的马尔可夫过程.
马尔可夫过程是随机过程中历史最悠久且充满活力的 一类随机过程.自20世纪初俄罗斯数学家A.A.MapkoB等