【新高考数学】抛物线考点精讲(含答案解析)

4．若点 A 为抛物线 y2 4x 上一点， F 是抛物线的焦点，|AF | 6 ，点 P 为直线 x 1 上的动点，则
| PA | | PF | 的最小值为 。
【答案】 2 21
【解析】由抛物线的定义得：
|AF |
xA
p 2
xA 1 6 ， xA
5，
代入
y2
4x
得：
y
2 A
20 ，不妨设
上有一动点 N，则 | PA | | PN | 最小值为
。
【答案】4
【解析】设抛物线 C 的焦点为 F ，则 F (0,3) ，因为直线 l : y 3 为抛物线的准线，所以 | PA || PF | ，所
以 | PA | | PN | | PF | | PN | | FN | | FM | 1 32 42 1 4 ，当且仅当 N 为线段 FM 与圆 M 的
。
3．已知第四象限内抛物线
y2
16x
上的一点
M
到
y
轴的距离是该点到抛物线焦点距离的
1 5
，则点
M
的
坐标为
。
4．若点 A 为抛物线 y2 4x 上一点， F 是抛物线的焦点，|AF | 6 ，点 P 为直线 x 1 上的动点，则 | PA | | PF | 的最小值为 。
考点二 抛物线的标准方程
第 5 讲 抛物线
1/9
考点一 抛物线的定义及运用
1．已知抛物线 y2 x 上的点 M 到其焦点的距离为 2，则 M 的横坐标是 。
2．已知抛物线 C : x2 12 y 上一点 P，直线 l : y 3 ，过点 P 作 PA l ，垂足为 A，圆 M : (x 4)2 y2 1
上有一动点 N，则 | PA | | PN | 最小值为
_________．
5．若直线 y kx 1与抛物线 y2 4x 有且只有一个公共点,则 k 的值是_______.
6．若直线 2x cy 1 0 是抛物线 x2 y 的一条切线，则 c __________．
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7．已知直线 y a 1 x 1 与抛物线 y2 ax a 0 恰有一个公共点，则 a _______. 第 5 讲 抛物线
p,
y1
2p ，
11 AF BF
3 2 BF
2 p
，
得 BF 3 p, AF 3 p, AB 9 p ．
4
2
4
SOAB
1 2
p (| 2
y1
y2 ))
32 8
p2
29 p 34
，
得 p 2 ，抛物线的标准方程为 y2 4x
考点三 直线与抛物线的位置关系
1．已知抛物线的方程为 y2 4x ，直线 l 过定点 P 2,1 ，斜率为 k ，k 为何值时，直线 l 与抛物线 y2 4x
考点一 抛物线的定义及运用
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1．已知抛物线 y2 x 上的点 M 到其焦点的距离为 2，则 M 的横坐标是 。
7
【答案】
4
【解析】抛物线 y2 x 焦点 F (1 , 0) ，准线方程为 x 1 ，
4
4
设点
M
的横坐标为
x0
，根据抛物线的定义， |
MF
|
x0
1 4
2, x0
7 4
.
2．已知抛物线 C : x2 12 y 上一点 P，直线 l : y 3 ，过点 P 作 PA l ，垂足为 A，圆 M : (x 4)2 y2 1
【解析】抛物线
y2
2
px
p
0 的焦点为
p 2
,
0
,
双曲线 x2 y2 p ,为 x2 y2 1,则 c2 2 p , c 2 p ,焦点为： 2 p, 0 或 2 p , 0 ,所以有 pp p 2 p ,解得 p 0 或 p 8 ,又因为 p 0 ,所以 p 8 . 2 2．已知 A ， B 是过抛物线 y2 2 px （ p 0 ）焦点 F 的直线与抛物线的交点， O 是坐标原点，且满足
（1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点?
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【答案】（1） k 0 或 k 1 或 k 1，（2） 1 k 1 且 k 0 ，（3） k 1 或 k 1
A
5, 2
5
，
点 F 关于直线 x 1 的对称点为 E 3, 0 ，
| PA | | PF || PA | | PE | AE
5 3 2
2
5
2
2
21
考点二 抛物线的标准方程
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1．抛物线 y2 2 px p 0 的焦点是双曲线 x2 y2 p 的一个焦点，则 p
。
【答案】8
交点时，等Leabharlann 成立.3．已知第四象限内抛物线
y2
16x
上的一点
M
到
y
轴的距离是该点到抛物线焦点距离的
1 5
，则点
M
的
坐标为
。
【答案】 1, 4
【解析】设 M (x, y) ，则根据题意及抛物线的定义可得: x 1 (x 4) ，解得 x 1 ， 5
代入抛物线方程得： y 4 ，又点 M 在第四象限，所以 y 4 ，故 M (1, 4) .
1．抛物线 y2 2 px p 0 的焦点是双曲线 x2 y2 p 的一个焦点，则 p
。
2．已知 A ， B 是过抛物线 y2 2 px （ p 0 ）焦点 F 的直线与抛物线的交点， O 是坐标原点，且满足
AF 2FB ， SOAB
2 | AB | ，则抛物线的标准方程为 3
。
考点三 直线与抛物线的位置关系
1．已知抛物线的方程为 y2 4x ，直线 l 过定点 P 2,1 ，斜率为 k ，k 为何值时，直线 l 与抛物线 y2 4x
（1）只有一个公共点； （2）有两个公共点；
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（3）没有公共点?
2．设双曲线
ͳ
ܽ ܽ 的渐近线与抛物线
ͳ
相切，则该双曲线的离心率为
。
3．已知抛物线 C 的方程为 x2 1 y ，过点 A(0, 1) 和点 B(t，3) 的直线与抛物线 C 没有公共点，则实数 t 的 2
取值范围是
。
4．过点 0,1 与抛物线 y2 2 px( p 0) 只有一个公共点的直线的条数是
。
4．已知直线 l : y mx 4 和抛物线 C : y2 8x ，若 l 与 C 有且只有一个公共点，则实数 m 的值为
AF 2FB ， SOAB
2 | AB | ，则抛物线的标准方程为 3
。
【答案】 y2 4x
【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) , AF 2FB ，
则 y1 2 y2 ，又由抛物线焦点弦性质， y1 y2 p2 ，
所以 2 y22 p2 ，得 y2
2 2