2014湖南省对口升学数学试题
湖南省对口高考数学试题分值分布(2014年-2019年)
3
12
3
16
3
1
2
函数(指数函数与对数函数)
14
1
1
22
2
1
1
22
3
1
3
三角函数及公式
8
1
1
4
1
14
1
1
4
数列
10
1
14
1
1
14
1
1
5
平面向量
14
1
1
8
1
1
8
1
1
6
直线和圆
8
1
1
8
2
4
1
7
立体几何
8
1
1
10
1
14
1
1
8
概率与统计
22
2
1
1
22
1
2
1
8
2
9
椭圆双曲线抛物线
14
1
1
10
1
10
1
10
职业模块
1
1
8
1
1
6
直线和圆
8
1
1
8
2
4
1
7
立体几何
8
2
14
1
1
14
1
1
8
概率与统计
18
1
1
1
18
2
1
18
2
1
9
椭圆双曲线抛物线
14
1
1
10
1
10
1
10
职业模块
湖南职高对口升学数学复习基础训练题03(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题03（含答案）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )2.函数f(x)对任意x∈R,恒有f(x+2)=-f(x)，且f(1)=2,则f(11)=( )(A)-2 (B)2 (C)0 (D)13.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)+|g(x)|是偶函数(B)f(x)-|g(x)|是奇函数(C)|f(x)|+g(x)是偶函数(D)|f(x)|-g(x)是奇函数4．已知函数f(x)=a x(a>0,a≠1)是定义在R上的单调递减函数，则函数(x+1)的图象大致是( )g(x)=loga5．当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) (A)(2,3］ (B)［4,+∞) (C)(1,2］(D)［2,4)6．定积分ln2x 0e dx ⎰的值为( )(A)-1 (B)1 (C)e 2-1 (D)e 27．设函数f(x)＝13x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x)( )(A)在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点(B)在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点(C)在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(D)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点8．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2xf ′(1)+lnx ，则 f ′(1)=( )(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9．已知函数f(x)的定义域为［-1，1］，图象过点(0，－5)，它的导函数 f ′(x)＝4x 3-4x ，则当f(x)取得最大值-5时，x 的值应为_______.10．定义在R 上的函数f(x)满足(x+2)f ′(x)＜0，又a=f(12log 3), b=f((13)0.3),c=f(ln3)，则a 、b 、c 的大小关系是_______.11．已知函数f(x)=e x -1,g(x)=-x 2+4x-3.若有f(a)=g(b)，则b 的取值范围为______.12．计算(lg 14-lg25)÷12100-=______.13．已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a 的值为______．14．函数f(x)=(x+a)3对任意t ∈R ，总有f(1+t)=-f(1-t)，则f(2)+f(-2)等于______.15．函数f(x)的定义域为A，若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1,x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f:A→B为单函数，则对于任意b∈B,A中至多有一个元素与之对应；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数.其中的真命题是______.(写出所有真命题的编号)17.(12分)(2012·揭阳模拟)已知f(x)=x2+(a-3)x+a.(1)对于 x∈R,f(x) >0总成立，求a的取值范围；(2)当x∈(-1,2)时f(x)>0恒成立，求a的取值范围.答案解析1.【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是［0，1］,函数值的取值范围也是［0，1］,故可排除A、B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x,N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.2.【解析】选A.∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即周期为4，∴f(11)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-2.3.【解析】选A.∵g(x)是奇函数，其图象关于原点对称，∴|g(x) |的图象关于y轴对称，是偶函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)+|g(x)|是偶函数.【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性.(2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.4．【解题指南】由指数函数的单调性可得a 的取值范围，再判断函数g(x)=log a (x+1)的图象.【解析】选D.由题可知0<a<1，函数g(x)的图象由函数y=log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D ．5．【解析】选C.设y 1=(x-1)2，则y 1的图象如图所示:设y 2=log a x ，则y 2的图象应在y 1的图象上方， ∴a ＞1且log a 2≥(2-1)2=1， ∴a ≤2,∴1＜a ≤2.6．【解析】选B.ln2x x ln2ln200e dx e |e e 211.==-=-=⎰ 7．【解析】选D.()11f x 3x'＝－， ∴x ∈(3，＋∞)时，y ＝f(x)单调递增； x ∈(0,3)时，y ＝f(x)单调递减．而0＜1e ＜1＜e ＜3，又f(1e )＝113e ＋＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0， ∴在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点．【一题多解】选D.令g(x)=13x,h(x)=lnx,如图，作出g(x)与h(x)在x>0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(1e,1)内无交点，在(1,e)内有1个交点，故选D.【变式备选】已知函数()24x 4x 1f x x 4x 3,x 1-≤⎧=⎨-+⎩，，＞则关于x 的方程f(x)=log 2x 解的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y=f(x)与y=log 2x 的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.8．【解析】选B.f ′(x)=2f ′(1)+1x，令x=1得f ′(1)=2f ′(1)+1，∴f ′(1)=-1，故选B ． 9．【解析】易知f(x)=x 4-2x 2-5,f ′(x)=0时x=0或x=±1,又因为定义域为［-1，1］，只有f(0)=-5,所以x=0. 答案：010．【解析】∵(x+2)f ′(x)＜0,∴当x ＜-2时,f ′(x)＞0. 当x ＞-2时，f ′(x)＜0.∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增，在(-2,+∞)上单调递减.又()()0.3121log 32,0,()0,1,ln313∈-∈＞，()0.3120.31212log 3()ln3.31a f (log 3)b f (())c f ln3.3∴-∴===＜＜＜＞＞答案：c ＜b ＜a11．【解析】∵f(a)>-1,∴g(b)>-1, ∴-b 2+4b-3>-1,∴b 2-4b+2<0, ∴. 答案：（，）12．【解析】(lg 14-lg25)÷12100-=21114lg lg 10lg1020.2510010-=÷=⨯=- 答案：-2013．【解析】()11y x a x a x a '=+'=++，设切点为(x 0,x 0+1)，则()00011x a ,x 1ln x a ⎧=⎪+⎨⎪+=+⎩ 解得a=2. 答案：214．【解析】令t=1，则f(2)=-f(0). ∴(2+a)3=-a 3，∴a=-1， ∴f(2)+f(-2)=(2-1)3+(-2-1)3=-26. 答案:-26 15．【解析】答案：②③。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题07(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题07（含答案）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.全集U ＝R ，且A={x||x-1|>2},B={x|x 2-6x+8<0},则(U A)∩B=( )(A)[-1,4) (B)(2,3) (C)(2,3] (D)(-1,4)2.下列推理是归纳推理的是( )(A)A ，B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P 点的轨迹为椭圆(B)由a 1=1,a n =3n-1,求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式(C)由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆2222x y a b +=1的面积S=πab (D)以上均不正确3．已知f(x)=x+1x-2(x<0),则f(x)有( ) （A ）最大值为0 （B ）最小值为0（C ）最大值为-4 （D ）最小值为-44.设f(x)=x 232e 1 (x 2)log (x 1) (x 2)⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩,则不等式f(x)>2的解集为( ) (A)(1,2)∪(3,+∞) (B)(10,+∞)(C)(1,2)∪(10,+∞) (D)(1,2)5.设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则111a b c b c a＋，＋，＋ ( ) (A)都不大于－2(B)都不小于－2(C)至少有一个不大于－2(D)至少有一个不小于－26.设函数()2x 4x 6,x 0f x x 6,x 0⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式f(x)>f(1)的解集 是( )(A)(-3,1)∪(3,+∞)(B)(-3,1)∪(2,+∞)(C)(-1,1)∪(3,+∞)(D)(-∞,-3)∪(1,3)7.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )8．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足x 2y 0x y 00y k ≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩＋－，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5二、填空题 (本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9．已知约束条件x 3y 40x 2y 103x y 80≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－＋＋－，＋－若目标函数z ＝x ＋ay(a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 _________.10．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t ≤30)的关系大致满足f(t)＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为()f 10)10的月饼最少为_________.11．如表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前比赛项目 票价(元/场)足球 篮球 乒乓球 10080 60类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数为_________.12. 设A 123n++⋯+＝B=n (n ∈N *),则A 与B 的大小关系是_________.13.不等式组x 20y 20x y 10≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩－＋－＋表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为_________，z 的最大值为_________．14.已知a>0,b>0，则112ab a b++________.15．（预测题）方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝xa(x2)＋有唯一不动点，且x1＝1 000，*n1n1x(n N)1f()x∈＋＝，则x2 012＝__________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知a>b>c，且a＋b＋c＝0.答案解析1．【解析】选C.由题意可解得A＝{x|x>3或x<-1},B={x|2<x<4},∴(UA)∩B=[-1,3]∩(2,4)=(2,3].2.【解析】选B.从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．3．【解析】选C.∵x<0,∴-x>0,∴x+1x-2=-［(-x)+1(x)-］-2≤12(x)2(x)----=-4,等号成立的条件是1x,x-=-即x=-1.4.【解析】选C.当x<2时，2e x-1>2, ∴e x-1>1=e0,∴x-1>0,∴x>1,∴1<x<2.当x≥2时，log3(x2-1)>2,∴x2-1>9,∴x2,∴或,∴综合得x ∈(1,2)∪(10,+∞),所以选择C.5.【解析】选C.因为111a b c 6b c a≤＋＋＋＋＋－，所以三者不能都大于－2. 6.【解析】选A.由2x 0x 4x 63≥⎧⎨-+>⎩（1） 得()()x 0x 1x 30≥⎧⎪⎨-->⎪⎩ 得0≤x<1或x>3，由x 0x 63<⎧⎨+>⎩（2）得-3<x<0， 由（1）（2）可得-3<x<1或x>3.7.【解析】选C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔x 2y 10x 2y 10x y 30x y 30.≥≤⎧⎧⎨⎨≤≥⎩⎩－＋－＋，或＋－＋－ 结合图形可知选C.8．【解析】选B.如图，x ＋y ＝6过点A(k ，k)，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，B(－6,3)，∴z min ＝－6＋3＝－3.【方法技巧】解决线性规划问题的步骤：（1）画出可行域；（2）确定目标函数的斜率；（3）画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线；（4）平移直线，确定满足最优解的点；（5）求满足最优解的点的坐标.9．【解题指南】画出可行域，可知目标函数截距最大时z最大，可解.【解析】画出已知约束条件的可行域为△ABC内部(包括边界)，如图，易知当a＝0时，不符合题意；当a＞0时，由目标函数z＝x＋ay得1zy xa a-＝＋，则由题意得－3＝k AC＜1a－＜0，故a＞13.综上所述，a＞13.答案：a＞1 310．【解析】平均销售量()2f t t10t1616y t1018.t t t≥＋＋＝＝＝＋＋当且仅当16tt＝，即t＝4∈［1,30］等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：1811．【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n∈N*)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得80n60n100152n 1 200 80n100152n≤⎧⎨≤⎩＋＋（－）（－）.解得：55n 514≤≤， 又n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5.∴可以预订足球比赛门票5张．答案：512.【解析】n 1A 1n n n +≥++⋯+共＝B ==. 答案：A ≥B13.【解析】图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为252，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y 得，x ＝2，y ＝3时，有z max ＝5. 答案：252514.【解析】因为11a b ++4=≥， 当且仅当11a b=，=即a=b=1时，取“=”. 所以最小值为4. 答案：415．【解析】由x x a(x 2)＝＋得ax 2＋(2a －1)x ＝0. 因为f(x)有唯一不动点，所以2a －1＝0，即a ＝12. 所以()2x f x .x 2＝＋ 所以n n 1n n12x 11x x .122f x ＋＋＝＝＝＋（）所以x2 012＝x1＋12×2 011＝1 000＋2 0112＝2 005.5.答案：2 005.516． ，只需证b2－ac<3a2，∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证2a2－ab－b2>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，所以(a－b)(a－c)>0，显然成立．故原不等式成立．。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题26(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题26（含答案）第I 卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设A ＝{x|x 2－2x －3＞0}，B ＝{x|x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4］，则a ＋b 等于( )(A)7 (B)-1 (C)1 (D)-72.已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi(其中i 为虚数单位)，若复数ab∈R ，则实数x的值为( )(A)-6 (B)6 (C)83 (D)83-3．设向量()(1x 1)x 1,3=-=+，，a b ，则“x=2”是“a b ”的( )(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 4.下列判断错误的是( )(A)“am 2<bm 2”是“a<b ”的充分不必要条件(B)命题“∀x ∈R,x 3-x 2-1≤0”的否定是“∃x 0∈R,3200x x 10-->” (C)若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题 (D)若,≠，且，ab bc b 0则a c5.在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2-10x+16=0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )(A)16 (B)32 (C)64 (D)2566.等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和S 3=304xdx ⎰，则公比q 的值为( )()()()()1A 1 B 211C 1D 122----或或7.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2π)的最小正周期为π，且f(-x)=f(x)，则( )(A)f(x)在(0,2π)上单调递减 (B)f(x)在(3,44ππ)上单调递减(C)f(x)在(0, 2π)上单调递增(D)f(x)在(3,44ππ)上单调递增8.已知x,y 满足x 3y 70x 1,y 1+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z=|y-x|的最大值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上) 9.函数f(x)=2x x 1+-的定义域为集合A ，关于x 的不等式(12)2x >2-a-x (a ∈R)的解集为B ，若A ∩B=B,则实数a 的取值范围为_______.10.如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中，点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上.设BC=x cm,则ABCD 面积最大时，x 的值为_________.11.已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足OA +λOB +(1+λ)OC =0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3，则λ的值为 ___________.12.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y)，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M(x ，y)，N(y ， x)，则向量MN 的模为 ___________．13.已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝__________.14.设实数x,y 满足不等式组y x 1y x 1y 0+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则x y 1+的取值范围是__________．15.已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O 、A 为焦点,OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是__________．答案解析1.【解析】选D.A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4］，则B ＝［－1,4］，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.2.【解析】选C.由于2a 32i (32i)(4xi)122x (83x)ib 4xi (4xi)(4xi)16x＋＋－＋＋－＝＝＝＋＋－＋∈R ， 则8－3x ＝0，∴x ＝83.3.【解析】选A.当x=2时，a =(1,1),b =(3,3)，∴a ∥b ；当a ∥b 时，x 2-1=3，∴x=±2.4.【解析】选C.p ∧q 为假命题，只能说明p ，q 中至少一个是假命题.5.【解题指南】利用根与系数的关系及等比数列性质可求.【解析】选C.由已知得a 1·a 19=16，又a 1·a 19=a 210，∴正项等比数列中，a 10=4. ∴a 8·a 10·a 12=a 310=64.6.【解析】选C.S 3=304xdx 18=⎰，∴266618,q q ++=解得q=1或1q 2=-.【变式备选】由曲线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为( )()()()()1016A B 4C D 633【解析】选C.用定积分求解)34242002116S x 2dx=(x x 2x)|.323=+-+=⎰7.【解题指南】先两角和公式逆用，化为一个角的三角函数，再利用周期及偶函数得解析式，从而可解.【解析】选A.f(x)=2sin(ωx+φ+4π),∵最小正周期为π,所以ω=2，又f(x)为偶函数，∴φ+4π=2π+k π，k ∈Z,得φ=4π+k π,k ∈Z ，又|φ|<2π,∴φ=4π,∴f(x)= 2sin(2x+2π)=2cos2x,由函数单调性选A.8.【解析】选C.作出可行域如图阴影区域.可知A(1，2)，B(4，1)，由z=|y-x|=()y x(y x).x y y x -≥⎧⎪⎨-<⎪⎩(1)当z=y-x 时，目标函数过A(1，2)时，z max =2-1=1. (2)当z=x-y 时，目标函数过B(4，1)时z max =4-1=3. 由(1)(2)可得，z max =3,故选C. 9.【解析】由2xx 1+-≥0且x-1≠0解得x ≤-2或x>1, 于是A= (-∞，-2］∪(1，+∞).2x a x 2x a x 111()2()()222--+>⇔>⇔2x<a+x ⇔x<a, 所以B=(-∞，a).因为A ∩B=B ，所以B ⊆A ，所以a ≤-2. 即a 的取值范围是(-∞，-2］. 答案：(-∞，-2］10.【解析】由BC=x ，则2900x -所以≤x2+(900-x2)=900.当且仅当x2=900-x2,即x=S取最大值为900 cm2.答案：11.【解题指南】将已知条件转化可知O点在三角形中位线上，根据S△OAB与S△OAC之比可得结果.【解析】设AC、BC边的中点为E、F,则由OA OB(1)OC+λ++λ=0得OE OF+λ=0,∴点O在中位线EF上.∵△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，∴点O为EF的靠近E的三等分点，∴λ=1 2 .答案：1 212.【解析】∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·( b－c)＝0，即6－3×(－2－y)＝0，∴y＝－4，∴M(4，－4)，N(－4,4)．故向量MN＝(－8,8)，|MN|＝答案：13.【解析】设公差为d,a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，S k＝ka1 +()k k1d2-=k+k(k-1)=9,解得：k=3.答案：314.【解析】不等式组表示的区域是以点(-1,0)，(1,0)，(0,1)为顶点的三角形(及内部)，xy1+可看作区域内的点与点(0，-1)连线的斜率的倒数.连线的斜率的取值范围是(-∞，-1］∪［1，+∞)，∴xy1+的取值范围是［-1,1］.答案：［-1,1］15.【解析】由题意，PO与PA的差的绝对值是常数，即圆的半径，所以点P的轨迹是以O、A为焦点，OB长为实轴长的双曲线.答案：以O、A为焦点，OB长为实轴长的双曲线。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题20(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题20（含答案）17.(12分)设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B,求实数a的取值范围.18.(12分)设p:函数y=loga(x+1)(a＞0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减; q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果p∧q为假，p∨q为真，求实数a 的取值范围.19.(13分)已知p:-2≤x≤10，q:x2－2x+1－m2≤0(m＞0).若⌝p是⌝q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.20.(13分)求证：方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜13.21.(13分)已知p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈［-1,1］恒成立；q:不等式ax2+2x-1>0有解，若p为真，q为假，求a的取值范围.答案解析17.【解析】A={0,-4},又A∩B=B,所以B⊆A.(1)B=Ø时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)＜0,得a＜-1;(2)B={0}或B={-4}时,把x=0代入x 2+2(a+1)x+a 2-1=0中得a=±1,把x=-4代入x 2+2(a+1)x+a 2-1=0,得a=1或7，又因为Δ=0,得a=-1;(3)B={0,-4}时，Δ=a+1＞0,()22a 14a 10⎧-+=-⎪⎨-=⎪⎩,解得a=1. 综上所述实数a=1或a ≤-1.18.【解析】∵函数y=log a (x+1)在(0,+∞)上单调递减,∴0＜a ＜1，即p:0＜a ＜1,∵曲线y=x 2+(2a-3)x+1与x 轴交于不同的两点,∴Δ＞0，即(2a-3)2-4＞0，解得a ＜12或a ＞52. 即q:a ＜12或a ＞52. ∵p ∧q 为假，p ∨q 为真,∴p 真q 假或p 假q 真, 即0a 115a 22⎧⎪⎨≤≤⎪⎩＜＜ 或⎧⎪⎨⎪⎩a ＞115a ＜或a ＞22. 解得12≤a ＜1或a ＞52. 19.【解析】∵p:－2≤x ≤10,∴⌝p ：A={x|x ＞10或x ＜－2}.由q:x 2－2x+1－m 2≤0(m>0),解得1－m ≤x ≤1+m(m ＞0)，∴⌝q ：B={x|x ＞1+m 或x ＜1－m}(m ＞0).由⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件可知：BA.∴m 01m 21m 10>⎧⎪-≤-⎨⎪+⎩＞或m 01m 21m 10⎧⎪--⎨⎪+≥⎩＞＜，解得m ≥9.∴满足条件的m 的取值范围为m ≥9.【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略处理此类问题一般有两种策略：一是直接求出条件与结论，再根据它们的关系求解.二是先写出命题的逆否命题，再根据它们的关系求解.如果p 是q 的充分不必要条件，那么⌝p 是⌝q 的必要不充分条件；同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，如果p 是q 的充要条件，那么⌝p 是⌝q 的充要条件.20.【证明】(1)充分性:∵0＜m ＜13,∴方程mx 2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m ＞0，且3m＞0, ∴方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性:若方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根, 则有12412m 03x x 0m∆=-⎧⎪⎨=⎪⎩＞＞.∴0＜m ＜13. 综合(1)(2)可知，方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 21.【解题指南】根据已知先得出p 真时a 的范围，再通过讨论a 得到q 真时a的范围，最后根据p真q假，得a的取值范围.【解析】∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，∴x1+x2=m，x1·x2=-2,∴|x1-x2=,∴当m∈［-1,1］时，|x1-x2|max=3,由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈［-1,1］恒成立, 可得：a2-5a-3≥3,∴a≥6或a≤-1,①若不等式ax2+2x-1>0有解，则当a>0时，显然有解，当a=0时，ax2+2x-1>0有解，当a<0时，∵ax2+2x-1>0有解，∴Δ=4+4a>0,∴-1<a<0,所以不等式ax2+2x-1>0有解时a>-1.∴q假时a的范围为a≤-1 ②由①②可得a的取值范围为a≤-1.。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题12(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题12（含答案）三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.（12分）已知sin α＝255，求5sin()2tan()5cos()2πααππα＋＋＋－的值. 17.（12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B －8cosB ＋5＝0，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状.18.(12分)函数f(x)=cos(-x 2)+cos(1x 22π-),x ∈R. (1)求f(x)的值域；(2)求f(x)在[0,π)上的单调递减区间.19.（12分）已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图所示：(1)求函数f(x)的解析式并写出其所有对称中心；(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于点P(4,0)对称，求g(x)的单调递增区间.20.（12分）以40 千米/时的速度向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3分钟后气球上升到1千米处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度.21.(13分)(预测题)已知函数f(x)=2cos 23(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，a,b,c 为内角A,B,C 的对边，若f(C)=2,a+b=4,求△ABC 的最大面积.答案解析16.【解析】∵sinα＝5>0， ∴α为第一或第二象限角.当α是第一象限角时，cos55sin()cos sin cos 152tan()tan .5sin cos sin sin cos 2cos()2παααααπαπαααααα＋＋＋＝＋＝＋＝＝－ 当α是第二象限角时，cosα＝5 原式＝15.sin cos 2αα＝－ 【变式备选】已知α为锐角，且tan(4π＋α)＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin2cos sin cos2αααα－的值. 【解析】(1)tan(4π＋α)＝1tan 1tan αα＋，－ 所以1tan 21tan αα＋＝，－ 1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13. (2)22sin2cos sin 2sin cos sin sin (2cos 1)sin cos2sin .cos2cos2cos2cos2ααααααααααααααα－－－＝＝＝＝ 因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110， 又α为锐角，所以sin所以sin2cos sin cos210αααα－＝ 17.【解析】∵2cos2B －8cosB ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cosB ＋5＝0.∴4cos 2B －8cosB ＋3＝0，即(2cosB －1)(2cosB －3)＝0.解得cosB ＝12或cosB ＝32(舍去). ∵0<B<π，∴B ＝3π. ∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b.222222a c a c ()a c b 12cosB 2ac 2ac 2∴＋＋－＋－＝＝＝， 化简得a 2＋c 2－2ac ＝0，解得a ＝c.∴△ABC 是等边三角形.【一题多解】本题还可用下面的方法求解:∵2cos2B －8cosB ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cosB ＋5＝0.∴4cos 2B －8cosB ＋3＝0.即(2cosB －1)(2cosB －3)＝0.解得cosB ＝12或cosB ＝32(舍去). ∵0<B<π，∴B ＝3π. ∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b.由正弦定理得sinA ＋sinC ＝2sinB ＝2sin 3π∴sinA ＋sin(23π－A)，∴sinA ＋sin 23πcosA －cos 23πsinA .化简得32sinA ＋cosA ，∴sin(A ＋6π)＝1. ∵0<A<π，∴A ＋6π＝2π. ∴A ＝3π，C ＝3π.∴△ABC 是等边三角形. 18.【解析】(1)()x 1x f x cos()cos()222=-+π-=x x x sin cos )2224π+=+,所以，f(x)的值域为f(x)}.(2)由x 32k 2k 2242ππ+π≤+≤π+π,k ∈Z, 得54k x 4k 22π+π≤≤π+π,k ∈Z. 又x ∈[0,π)，令k=0,得5x 22π≤≤π; 令k=-1,得73x 22π-≤≤-π(舍去)， 所以f(x)在[0,π)上的单调递减区间是[2π，π). 19.【解题指南】(1)先由图象直接得A ，求得周期T 进而求得ω,代入点求得φ，这样得解析式求得对称中心.(2)利用对称中心为P （4，0），求得g(x)的解析式，再求单调递增区间.【解析】(1)由图可得，A ，T 2＝6－(－2)＝8， 所以， T ＝16，ω＝8π，则此时f(x)sin(8πx ＋φ)，将点(2)代入，可得φ＝4π.∴f(x)＝sin(8πx ＋4π)； 对称中心为(8k －2,0)(k ∈Z).(2)由g(x)的图象与f(x)的图象关于点P(4,0)对称，得g(x)＝－f(8－x)，∴g(x)＝－2sin ［8π(8－x)＋4π］ 552sin(x)2sin(x )4884ππππ＝－－＝－， 令52k x 2k ,2842πππππ≤≤π－－＋得16k ＋6≤x ≤16k ＋14, 即g(x)的单调递增区间为［16k ＋6,16k ＋14］(k ∈Z).20.【解题指南】先根据已知作出图形，这样把实际问题转化成解三角形问题，利用余弦定理求得.【解析】如图，船从A 航行到C 处，气球飘到D 处.由题知，BD ＝1千米，AC ＝2千米，∵∠BCD ＝30°，∴BC ＝3千米，设AB ＝x 千米，∵∠BAC ＝90°－30°＝60°，∴由余弦定理得22＋x 2－2×2xcos60°＝(3)2，∴x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1.∴气球水平飘移速度为1120＝20（千米/时）. 21. 【解析】(1)由已知得f(x)=cos2x+1+3sin2x=2sin(2x+6π)+1, ∴最小正周期为T=22π=π. (2)由(1)知f(C)=2sin(2C+6π)+1=2, 即1sin(2C )62π+=,又0<C<π,∴132C ,C 6663πππ<+<π∴=.△ABC 的面积21a b S absinC ()22+==≤=当且仅当a=b=2时，S max .。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题05(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题05（含答案）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列赋值能使y的值为4的是( )(A)y-2=6 (B)2*3-2=y(C)4=y (D)y=2*3-22.某单位员工按年龄分为A、B、C三个组，其人数之比为5∶4∶1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙两人均被抽到的概率为125，则该单位员工总数为( )（A）110 （B）100 （C）90 （D）803.有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：甲乙（A）期望与方差（B）正态分布（C）K2（D）概率4.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈.③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是( )（A）①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样（B）①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样（C）①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样（D）①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样5.在样本的频率分布直方图中，一共有m(m≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1个小矩形面积之和的14，且样本容量为100，则第3组的频数是( )（A）0.2 （B）25（C）20 （D）以上都不正确6.(2012·杭州模拟)下面的程序语句输出的结果S为( )（A）17 （B）19 （C）21 （D）237.（2012·广州模拟）如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )（A）62 （B）63 （C）64 （D）658.（预测题）为了做一项调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷数是( )（A）30份（B）35份（C）40份（D）65份二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2 000元以下罚款.据《法制晚报》报道，2011年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28 800人，如图是对这28 800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为_________.10.如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则a 1，a2的大小关系为_______.(A)a1>a2(B)a2>a1(C)a1＝a2(D)a1、a2的大小不确定11.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是__________.P(K2≥k) …0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 …k… 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 …12.如图，判断正整数x是奇数还是偶数，①处应填______.13.319,377,116的最大公约数是______.14.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为_________.15.（易错题）已知一个回归直线方程为y＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则y＝______.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.（12分）（2012·唐山模拟）某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名，现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩.（1）求抽取的男生和女生的人数.（2）男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率.（3）从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2：表1：成绩分组（60，70］（70，80］（80，90］（90，100］人数 3 m 8 6表2：成绩分组（60，70］（70，80］（80，90］（90，100］人数 2 5 n 5答案解析1.【解析】选D.赋值时把“＝”右边的值赋给左边的变量，故选D.2.【解析】选B.设甲被抽到的概率为x,单位员工总数为a,由题意知乙被抽到的概率为x. ∴21x ,25=∴x=1,5∴a 5,201=∴a=100, 故选B.3.【解析】选A.应该评价抗拉强度的大小和波动情况，故应从期望和方差入手.4.【解析】选A.观察所给的三组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，是简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，是系统抽样，③个体有明显的差异，所以选用分层抽样法，是分层抽样，故选A.【方法技巧】简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法,简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的.5.【解析】选C.设第3个小矩形的面积为S ，则由频率分布直方图性质可知其余m-1个小矩形面积之和为1-S,∴S=(1-S)×1,4得1S ,5= ∴第3组的频率是1,5∵样本容量为100， ∴第3组的频数为100×15＝20. 6.【解题指南】该程序是当型循环，进入依次执行循环，直至结束.【解析】选A.i 从1开始，依次取3,5,7,9，…，当i<8时，循环继续进行，故当i ＝9时，跳出循环，故输出S ＝2×7＋3＝17.7.【解题指南】求解本题需看懂茎叶图，找出甲、乙的中位数，相加即得.【解析】选C.由题意知：甲的比赛得分由高到低为：41，39，37，34，28，26，23，15，13乙的比赛得分由高到低为：47，45，38，37，36，33，32，25，24∴甲、乙的中位数分别为28，36，故和为64，选C.8.【解析】选C.由分层抽样的特点知：样本中各单位的问卷数也成等差数列，设其公差为d，D单位抽取x份，则20-d+20+20+d+x=100，∴x=40.9. 【解析】由图可知，醉驾人数约为(0.005+0.005)×10×28 800=2 880人.答案：2 88010.【解析】∵甲、乙分数在70、80、90各分数段的打分评委人数一样多，先去掉一个最高分和一个最低分，两名选手的分数都只剩十位数为8的，故只需看个位数的和，乙的个位数字总和为25，甲的个位数字总和为20，∴a2>a1，答案：a2>a111. 【解析】∵K2＝6.023＞5.024，∴市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是1-0.025=97.5%.答案：95.5%12.【解析】由奇数、偶数性质知正整数x除以2的余数为1时为奇数，不为1时为偶数，再由判断框意义知①处应为r＝1？答案：r＝1?13.【解析】选用辗转相除法求319与377的最大公约数.∵377＝319×1＋58，319＝58×5＋29,58＝29×2，∴319与377的最大公约数是29.再求29与116的最大公约数.∵116＝29×4，∴29与116的最大公约数是29.故319,377,116的最大公约数是29.答案：2914.【解析】由图可知支出在[50,60)元的同学占有的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，所以30n=0.3,解得n=100.答案：10015.【解析】因为1x(1751319)95=＋＋＋＋＝，且y1.5x45＝＋，所以y＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.5【误区警示】本题易错之处是根据x的值及y＝1.5x＋45求出y的值再求y，因为用y＝1.5x＋45求得的y值不是原始数据，故错误.16.【解析】（1）由抽样方法知：抽取的男生人数为45 25025450⨯=，抽取的女生人数为45 20020450⨯=，（2）男生甲和女生乙被抽到的概率均为0.1.所以男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率为1-（1-0.1）2=0.19. （3）由（1）知：m=25-（3+8+6）=8，n=20-（2+5+5）=8，据此估计男生平均分为65375885895681.8.25⨯+⨯+⨯+⨯=女生平均分为65275585895583.20⨯+⨯+⨯+⨯=这450名学生的平均分为81.825832082.33.45⨯+⨯≈。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题09(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题09（含答案）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法不正确的是( )(A)空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形(B)同一平面的两条垂线一定共面(C)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内(D)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直2.在△ABC中，AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )(A)32π (B)52π (C)72π (D)92π3.下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB BC CD DA;+++=0②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP xOA yOB zOC=++(其中x、y、z∈R),则P、A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)44．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α,β，有下列命题①若l∥α,m∥β,且α∥β,则l∥m②若l⊥α,m⊥β,且l∥m,则α∥β③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α其中真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)15.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )(A)48 (B)32+817 (C)48+817 (D)806．如图，下列四个正方体图形中，A,B 为正方体的两个顶点，M,N,P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )(A)①④ (B)②④ (C)①③④ (D)①③7.如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起，使面ABD ⊥面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)18.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题： ①点M 到AB 2； ②三棱锥C-DNE 的体积是16；③AB 与EF 所成的角是2.其中正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为_________.(填你认为正确的图序号)10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是_________.11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在1AC上且11AM MC,2=N为B1B的中点，则MN为_______.12.有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母，下图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是________.13．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________．14.三棱锥S－ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，给出以下结论：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是12a.其中正确结论的序号是__________.15.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为33，M,N分别是AC,BC的中点，则EM,AN所成角的余弦值等于______.答案解析1.【解析】选D.一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；对于D，把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.2.【解题指南】△ABC绕直线BC旋转一周后所得几何体为一圆锥，但其内部缺少一部分.用大圆锥的体积减去小圆锥的体积即为所求几何体的体积.【解析】选A.旋转后得到的几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥.故所求体积为V=V大圆锥-V小圆锥=13πr2(1+1.5-1)=32π.3.【解析】选C.①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有|a|+|b|=|a+b|,错误;③中a、b所在直线可能重合，错误；④中需满足x+y+z=1,才有P、A、B、C四点共面，错误.4．【解析】选C.①中的直线l、m可能平行、相交或异面，故不正确；②中由垂直于同一直线的两平面平行可得α∥β；③中的α,β可能相交，故不正确；④中由面面垂直的性质定理知正确.综上②④正确.5.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图，根据直观图求得几何体的表面积. 【解析】选C.由三视图知该几何体的直观图如图所示.几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2、下底长为4、高为4；另两个侧面是矩形，且宽为4224117+=所以S表=42+2×4+12×(2+4)×4×2+41717.6．【解析】选D.①取前面棱的中点，证AB平行于平面MNP即可；③可证AB 与MP平行.7.【解析】选B.因为AB⊥BD,面ABD⊥面BCD，且交线为BD，故有AB⊥面BCD，则面ABC ⊥面BCD ，同理CD ⊥面ABD ，则面ACD ⊥面ABD ，因此共有3对互相垂直的平面.8.【解析】选D.依题意可作出正方体的直观图如图，显然M 到AB 的距离为12MC 22=，∴①正确，而C DNE 111V 111326-=⨯⨯⨯⨯=,∴②正确，AB 与EF 所成的角等于AB 与MC 所成的角，即为2π， ∴③正确.9．【解析】由正视图及侧视图可知，该几何体可由圆柱及四棱柱组成， 故俯视图可能为①或②. 答案：①②10．【解题指南】根据组合体的特征求得三棱柱的底面边长和高，然后求体积即可.【解析】选D.易求得球的半径为2，球与正三棱柱各个面都相切，可知各切点为各个面的中心，棱柱的高等于球的直径，设棱柱底面三角形的边长为a ，则有31a 2a 4323⨯=⇒=，故棱柱的体积23V (43)44834=⨯⨯=.故选D. 11.【解析】以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,a2).设M(x,y,z),∵点M 在111AC AM MC ,2=上且 ∴(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z), 2a a x a,y ,z .333∴===得M(2a a a ,,333),∴MN (a==答案：a 612.【解析】因为正方体的骰子共有六个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，又与标有S 的面相邻的面有四个，由图可知，这四个平面分别标有H 、E 、O 、P 四个字母，故能说明S 的反面是D ，翻转图②使P 调整到正前面，S 调整到正左面，则O 为正下面，所以H 的反面是O. 答案：O13．【解析】设正三棱柱的底面边长为a ，高为2h ，则BD=C 11BC =BC 1D 是面积为6 的直角三角形， 得2222222(a h )a 4h 1(a h )62⎧⨯=⎪⎨=⎪⎩＋＋＋，解得2a 8h 2⎧=⎨=⎩，故此三棱柱的体积为1V 8sin 6042=⨯⨯︒⨯=答案：14.【解析】由题意知AC ⊥平面SBC ， 故AC ⊥SB ，SB ⊥平面ABC ， 平面SBC ⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离,为12a ，④正确．答案:①②③④15.【解析】设AB=2，作CO ⊥平面ABDE,OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C-AB-D的平面角·cos∠CHO=1，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则11AN(AB AC),EM AC AE22=+=-,111AN EM(AB AC)(AC AE)222=+-=.故EM,AN所成角的余弦值为AN EM16 |AN||EM|=.答案: 1 6。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题24(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题24（含答案）三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知a =(cosx+sinx,sinx),b =(cosx-sinx,2cosx)，设f(x)= a ·b .(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设三角形ABC 的三个角A 、B 、C 所对边分别是a,b,c ，且满足A ,3π=f(B)=1,3a 2b + =10,求边c.17.(12分)已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，AB=1,AD=2，(1)证明：直线AM ∥平面NEC ；(2)求二面角N —CE —D 的余弦值．18.(12分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率;(3)求ξ的分布列和数学期望.答案解析16.【解析】(1)∵f(x)=a ·b =(cosx+sinx)·(cosx-sinx)+sinx ·2cosx=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+cos2x cos sin2x)44).4ππ=+π=+由f(x)递增得-2π+2kπ≤2x+4π≤2π+2kπ,即3k x k,88ππ-+π≤≤+πk∈Z.∴f(x)的单调递增区间是［3k8π-+π,k8π+π］,k∈Z.(2)由f(B)=1⇒sin(2B+4π)=2及0<B<π得B=4π,设a b ck,sinA sinB sinC===510k10k 4.342ππ+=⇒=⇒=所以c=ksinC=4sin(A+B)=4(sin cos cos sin)3434ππππ+=17.【解析】以N为坐标原点，NE，ND所在直线分别为x,y轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，-1，0)，B(0，-1，1)，D(0，1，0)，N(0，0，0)，0，0)，C(0，1，1)，-12，12).(1)设平面NEC的一个法向量为n=(x,y,1)，因为NC=(0，1，1)，NE0，0)，所以NCn=y+1=0，NE 3x=n=0；所以n=(0,-1,1)，因为311AM()222=，，，AMn =0，所以AM⊥n，因为AM ⊄平面NEC ，所以直线AM ∥平面NEC.(2)设平面DEC 的一个法向量为m =(1,y,z),因为DC =(0,0,1),()DE 3,1,0=- , 所以DC z 0,DE 3y 0===-=；m m 所以()=m. cos ,||||2-===⨯〈〉n m n m n m 因为二面角N —CE —D 的大小为锐角， 所以二面角N —CE —D 的余弦值为18.【解析】(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x,y,z ；依题意得()()()()()()x 1y 1z 0.08,xy 1z 0.12,11x 1y 1z 0.88,--=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩解得x 0.4y 0.6,z 0.5=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数，则ξ=0，∴P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.6×0.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24,∴事件A 的概率为0.24.(3)依题意知ξ=0，2，则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为E(ξ)=0×0.24+2×0.76=1.52.。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题18(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题18（含答案）17.（12分）在等比数列{a n }中，a n ＞0（n ∈N *），且a 1a 3=4,a 3+1是a 2和a 4的等差中项.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =a n+1+log 2a n （n=1,2,3,…），求数列{b n }的前n 项和S n .18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n,S n )(n ∈N *)均在函数f(x)=-x 2+3x+2的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n -a n }是首项为1，公比为q(q ≠0)的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *,点(a n ,S n )都在直线2x-y-2=0上.(1)求{a n }的通项公式;(2)是否存在等差数列{b n }，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =(n-1)·2n+1+2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出{b n }的通项公式；若不存在，说明理由. 20．（13分）已知等差数列{a n }中，前n 项和S n 满足: S 10+S 20=1 590,S 10-S 20=-930.（1）求数列{a n }的通项公式以及前n 项和公式.(2)是否存在三角形同时具有以下两个性质，如果存在，请求出三角形的三边长和b 值;如果不存在，请说明理由.①三边是数列{a n +b}中的连续三项，其中b ∈N *; ②最小角是最大角的一半. 21.(13分)在数列{a n }中，a 1=2,a 2=8,且已知函数()()()3*n 2n 1n 1n 1f x a a x 3a 4a x(n N )3+++=---∈在x=1时取得极值. (1)求证数列{a n+1-2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项a n ;(3)设3n b n =(-1)n a n ,且|b 1|+|b 2|+…+|b n |<n 12m 3n 3+⎛⎫- ⎪⎝⎭对于n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围.答案解析17．【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q.由a 1a 3=4可得22a =4, 因为a n ＞0，所以a 2=2，依题意有a 2+a 4=2(a 3+1)，得2a 3=a 4=a 3q 因为a 3＞0，所以q=2，所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. （2）n n n 12n b a log a 2n 1+=+=+-，可得()()n 23nn n 1n2(12)S (2222)123n 1122--=+++⋯+++++⋯+-=+-［］=()n 1n n 122.2+--+18．【解析】(1)∵S n =-n 2+3n+2,∴()()n n n 14 n 1 4 n 1a S S (n 2)2n 4(n 2).-⎧==⎧⎪⎪==⎨⎨-≥-+≥⎪⎪⎩⎩(2)∵b n -a n =q n-1,∴T n -S n =1+q+q 2+…+q n-1=()nn q 1,1q (q 1)1q ⎧=⎪⎨-≠⎪-⎩ ()2n n 2n 4n 2 q 1T .1q n 3n 2(q 1)1q ⎧-++=⎪∴=⎨--++≠⎪-⎩19．【解析】（1）由题意得2a n -S n -2=0,当n=1时，2a 1-S 1-2=0得a 1=2,当n ≥2时，由2a n -S n -2=0 ①得 2a n-1-S n-1-2=0 ② ①-②得2a n -2a n-1-a n =0即a n =2a n-1, 因为a 1=2，nn 1a 2,a -=所以{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以a n =2·2n-1=2n .(2)假设存在等差数列{b n }，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =(n-1)·2n+1+2对一切n ∈N *都成立，则当n=1时，a 1b 1=(1-1)·22+2得b 1=1, 当n ≥2时，由a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n=(n-1)·2n+1+2 ③得 a 1b 1+a 2b 2+…+a n-1b n-1=(n-1-1)·2n +2 ④ ③-④得n n n a b n 2=即b n =n,当n=1时也满足条件，所以b n =n,因为{b n }是等差数列，故存在b n =n(n ∈N *)满足条件. 【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化，构造出等差数列或等比数列.一般根据递推式子的特点采取以下方法： （1）递推式为a n+1=qa n （q 为常数）：作商构造； （2）递推式为a n+1=a n +f(n)：累加构造； （3）递推式为a n+1=pa n +q （p,q 为常数）：待定系数构造； （4）递推式为a n+1=pa n +q n （p,q 为常数）：辅助数列构造； （5）递推式为a n+2=pa n+1+qa n ：待定系数构造；思路：设a n+2=pa n+1+qa n 可以变形为：a n+2-αa n+1=β(a n+1-αa n )，就是a n+2=(α+β)a n+1-αβa n ，则可从pq α+β=⎧⎨αβ=-⎩解得α,β，于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型.（6）递推式为a n+1=f(n)a n (n ∈N *)：累乘构造； （7）递推式为a n -a n-1+pa n a n-1=0（p 为常数）：倒数构造. 20．【解析】(1)由S 10+S 20=1 590,S 10-S 20=-930得S 10=330,S 20=1 260,设{a n }的公差为d,则1110a 45d 33020a 190d 1 260+=⎧⎨+=⎩得a 1=6,d=6,故2n n a 6n,S 3n 3n.==+(2)假设存在三角形三边为：6n-6+b,6n+b,6n+6+b,内角为α,π-3α,2α， 则由正弦定理得：()6n 6b 6n 6b 6n 6bcos sin sin226n 6b -+++++=⇒α=αα-+, 由余弦定理得()()()()()()2226n 6b 6n b 6n 6b 6n 6b b cos n 5,26n 6b 26n 6b 6n b 6++++--+++α==⇒=--++++由于n,b ∈N *,故有n 4,3,2,1b 6,12,18,24=⎧⎨=⎩，对应的三角形边长为24、30、36可以验证这个三角形满足条件.21. 【解析】(1)∵f ′(x)=(a n+2-a n+1)x 2-(3a n+1-4a n ),f ′(1)=0, ∴(a n+2-a n+1)-(3a n+1-4a n )=0,即a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n ),又a 2-2a 1=4,∴数列{a n+1-2a n }是以2为公比，以4为首项的等比数列. (2)由(1)知a n+1-2a n =4×2n-1=2n+1,n 1n 1n 1n a a a 1,1,222++∴-==且 ∴数列{nna 2 }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴n n a 2=1a 2+(n-1)×1=n, ∴a n =n •2n .(3)由3n b n =(-1)n a n ,∴bn=(-1)n n(23)n , 令S n =|b 1|+|b 2|+…+|b n | =23+2(23)2+3(23)3+…+n(23)n , 23S n =(23)2+2(23)3+…+(n-1)( 23)n +n(23)n+1, 得23n 1n 122222S n n 333333+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭nn 1n 1n n 1n 1n 221332n 23132221n n ,33222S 613n m 3n ,333++++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--<-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦要使得|b 1|+|b 2|+…+|b n |<m-3n(23)n+1对于n ∈N*恒成立，只需m ≥6, 所以实数m 的取值范围是m ≥6.。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题29(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题29（含答案）三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)设CD=a,求三棱锥A-BFE的体积.17.(12分)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°?18.(12分)设Sn 为数列{an}的前n项和，Sn=λan-1(λ为常数，n=1,2,3,…).(1)若a3=a22,求λ的值；(2)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(3)当λ=2时，若数列{bn }满足bn+1=an+bn(n=1,2,3,…),且b1=32,令cn=()nn na,a1b+求数列{cn }的前n项和Tn.答案解析16.【解析】(1)在图甲中，∵AB=BD 且∠A=45°,∴∠ADB=45°,∠ABD=90°,即AB ⊥BD ，在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD ∩平面BDC=BD ，∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD.又∠DCB=90°，∴DC ⊥BC ，且AB ∩BC=B ， ∴DC ⊥平面ABC.(2)∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点，∴EF ∥CD ，又由(1)知，DC ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，∴A BFE F AEB AEB 1V V S FE 3--==在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°.由CD=a 得BD=2a,BC=3a,EF=12CD=12a,∴2ABC 11S AB BC 2a 3a 3a 22==⨯⨯=，∴2AEB3Sa 2=，∴23A BFE 1313V a a a 32212-=⨯⨯=. 17.【解析】设AD=DE=2AB=2a ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0,0)，B(0,0,a)，C(2a,0,0)，3a ,0)，3a ,2a)，∵F 为CD 的中点，∴F(33a,a,022)．(1)AF =(33a,a,022)，BE (a,3a,a),= BC (2a,0,a).=-∵()1AF BE BC 2=+，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE ． (2)∵33AF (a,22=， CD (3a,0),=- ED (0,0,2a).=-∴AF CD 0=， AF ED 0=，∴AF CD AF ED ⊥⊥，．又CD ∩DE=D ，∴AF ⊥平面CDE ，又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ．(3)存在.设平面BCE 的一个法向量为n =(x,y,z)，由BE 0=n ，BC 0=n 可得：x+3y+z=0,2x-z=0,取n =(1,3-,2)．设存在P(a,3a ,ta)满足题意，则()BP(a,3a,t1a)=- (0≤t≤2),设BP和平面BCE所成的角为θ，则()()2a3a2a t1BP1 sin,2 ||BP8a13t1-+-θ===⨯++-nn解得：t=3±6，又∵t∈［0,2］,故取t=3-6.∴存在P(a,3a,(36)a)-，使直线BP和平面BCE所成的角为30°．【变式备选】如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E 为侧棱SC上一点.(1)当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面SAC；(3)当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由. 【解析】(1)连接OE，由条件可得SA∥OE.因为SA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以 SA∥平面BDE.(2)由题意知SO⊥平面ABCD，AC⊥BD.故建立如图所示的空间直角坐标系.设四棱锥S-ABCD的底面边长为2，则2),22,0)，2,0,0)，2,0).所以AC2，0，0)，BD =(0，20).设CE=a(0<a<2)，由已知可求得∠ECO=45°.所以22E(22222BE(22,22=--设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z)，则BD0BE0⎧=⎪⎨=⎪⎩nn,即y0,.22(22y0=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令z=1，得a(,0,1).2a=-n易知()BD 0,=-是平面SAC 的一个法向量. 因为()a BD (0,1)0,22,00,2a=-=-，n 所以n ⊥BD ，所以平面BDE ⊥平面SAC. (3)由(2)可知，平面BDE 的一个法向量为a(,0,1).2a=-n 因为SO ⊥底面ABCD ， 所以OS )是平面BDC 的一个法向量.由已知二面角E-BD-C 的大小为 45°.所以|cos 〈OS ，n 〉|=cos45°=2，2=解得a=1. 所以点E 是SC 的中点.18.【解析】(1)因为S n =λa n -1,所以a 1=λa 1-1,a 2+a 1=λa 2-1,a 3+a 2+a 1=λa 3-1.由a 1=λa 1-1可知：λ≠1.所以2123231a ,a ,a .1(1)(1)λλ===λ-λ-λ-因为a 3=a 22, 所以2234.(1)(1)λλ=λ-λ-所以λ=0或λ=2. (2)假设存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列，则2a 2=a 1+a 3.由(1)可得：22321.(1)1(1)λλ=+λ-λ-λ-所以2232221(1)(1)λλ-λ+=λ-λ-，即1=0,矛盾.所以不存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列. (3)当λ=2时，S n =2a n -1,所以S n-1=2a n-1-1(n ≥2),且a 1=1. 所以a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1(n ≥2). 所以a n ≠0(n ∈N *),且nn 1a a -=2(n ≥2). 所以，数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列. ∴a n =2n-1,又b n+1=a n +b n , ∴b n+1-b n =2n-1, ∴b 2-b 1=20 b 3-b 2=2 b 4-b 3=22 ……b n -b n-1=2n-2 各式相加，得b n -b 1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1∵b 1=32,∴b n =2n-1+12=n 21,2+ 所以n 1n n n 12c 21(21)2--=++⨯n 1n 1n 22.(21)(21)--⨯=++因为n 1n 1n n 1n 211(21)(21)2121---=-++++，所以T n =c 1+c 2+…+c n 2n 1n 1111112()22121212121-=-+-+⋯+-+++++n nn 2211.2121-=-=++ 【方法技巧】求数列通项的方法(1)公式法：当已知数列类型时，可利用公式求数列的通项；(2)已知S n 或已知S n 和a n 的关系时，可利用a n =()1n n 1S n 1S -S (n 2)-⎧=⎪⎨≥⎪⎩求通项； (3)已知a n+1=pa n +q(p ≠1,q ≠0)时，可根据构造法，通过构造等比数列求通项；(4)已知a n+1=a n +f(n)时，可通过累加的方法求通项； (5)已知()n 1n a a f n +=时，可利用累乘法求通项.。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题15(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题15（含答案）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知平面向量a 、b 共线，则下列结论中不正确的个数为( ) ①a 、b 方向相同②a 、b 两向量中至少有一个为0 ③∃λ∈R ，使b =λa④∃λ1,λ2∈R ，且λ12+λ22≠0,λ1a +λ2b =0(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.如果复数a2i 1i++是实数，(i 为虚数单位，a ∈R),则实数a 的值是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3.已知向量a =(1,-2),b =(x,2),若a ⊥b ,则|b |=( ) (A)5 (B)25 (C)5 (D)204.已知向量,m n 满足m =(2,0)，n =(3,22).在△ABC 中，AB 22,=+m nAC 26=-，m n D 为BC 边的中点，则|AD |等于( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 5.复数z=a+bi(a,b ∈R)的虚部记作Im(z)=b,则1Im()2i+= ( )(A)13 (B)25(C)- 13 (D)-156.已知|a |=2|b |,且|b |≠0,关于x 的方程x 2+|a |x-a ·b =0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )()()()()2A B C D 6333ππππ--7.已知与i j 为互相垂直的单位向量，2,=-=+λa i j b i j 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )(A)(-∞,-2)∪(-2, 12) (B)［12,+∞)(C)(-2, 23)∪(23,+∞) (D)(-∞, 12)8.已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足12OB OA OC AB BC 33=+，则∶=( )(A)1∶3 (B)3∶1 (C)1∶2 (D)2∶1二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.函数y=tan(x )42ππ-的部分图象如图所示，则OA OB AB +() =_____10.已知,a b 是不共线的向量，AB ,AC (,R)=λ+=+μλμ∈，a b a b 那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ________11.如图，△ABC 中，AD=DB ，AE=EC ，CD 与BE 交于F ，设AB ,AC ,==a bAF x y =+，a b 则(x,y)为 __________.12.若非零向量，，a b c 满足()2⊥+且，则a b a c c a b =______.13.已知复数3iz z 3i=+，是z 的共轭复数，z 则的模等于_________. 14.设向量a =(1,sin θ),b =(3sin θ,1),且a ∥b ,则cos2θ等于__________.15. O 是平面α上一点，点A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP OA (AB AC)=+λ+，当λ=12时，PA (PB PC)+的值为_________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)已知a =33(cos,sin )22θθ,b =(cos ,sin )22θθ-,且θ∈[0,3π]. (1)若|a +b |=1,试求θ的值； (2)求•||+a ba b 的最值.答案解析1.【解析】选C.若a 、b 均为非零向量，则由a ∥b 知a 、b 方向相同或相反，故①②不正确；若a =0，b ≠0，则不存在实数λ使b =λa ，故③不正确；若a 、b 均为零向量，则④正确，若a ≠0，则由两向量共线知，存在λ≠0，使b =λa 即λa -b =0，则④正确，综上，只有④正确，故选C.2.【解析】选D.2i+a 1i + =()()()a 1i 2i 1i 1i -++-=a ai a a 2i 2i 222-⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭, ∵a 2i 1i ++是实数，∴2-a2=0⇒a=4. 3.【解析】选B.由a ⊥b 可得x=4,故b =(4,2), ∴|b=.4.【解题指南】由D 为BC 边的中点可得()1AD AB AC AD 2=+，再用、表示m n 即可.【解析】选A.∵D 为BC 边的中点,∴()11AD AB AC (2226)22=+=++-m n m n ()(32222,02(,1,,22=-=-=m n∴|AD |=2.5.【解析】选D.∵()()12i 2i 21i,2i 2i 2i 555--===-++- ∴11Im .2i 5=-+（） 6.【解析】选D.设向量a 与b 的夹角为θ，由方程x 2+|a |x-a ·b =0有两相等的实根可得Δ=|a |2+4a ·b =0,即4|b |2+8|b |2cos θ=0,∴cos θ=-12,则向量a 与b 的夹角为2.3π7.【解题指南】设a 、b 的夹角为θ，由θ为锐角可得0＜cos θ=a ba b·＜1，进而可求出λ的取值范围.【解析】选A.∵====||a同理可求=b()222 ()(2)212,=-+λ=+λ--λ=-λ又a b i j i j i i j j ··· 设、a b 的夹角为θ，则0°＜θ＜90°, cos θ==a b a b ·由0＜cos θ＜1得λ＜-2或-2＜λ＜12. 【误区警示】θ为锐角⇒0＜cos θ＜1，易忽略cos θ＜1而误选D.8.【解题指南】把目标向量AB BC 、用已知向量OA OB OC 、、表示是解题的关键. 【解析】选D.因为12111OB OA OC OB OC OA OC CB CA,33333=+-=-=，所以，得又222OB OA OA OC AB AC 333-=-+=，得，所以21AB BC 2133==∶∶∶，故选D. 9.【解析】由tan(x 42ππ-)=0结合图象知A(2,0);由tan(x 42ππ-)=1结合图象得B(3,1),故()OA OB AB +·=(5,1)·(1,1)=5+1=6.答案：610.【解析】由题意得必存在m(m ≠0)使AB m AC,m()=λ+=+μ即，a b a b ·得λ=m,1=m μ, ∴λμ=1. 答案：λμ=111.【解题指南】利用B 、F 、E 三点共线，D 、F 、C 三点共线是解答本题的关键，而用两种形式表示向量AF 是求x,y 的桥梁.【解析】11AB ,AC BE ,DC .22===-=-，得a b b a b a 因为B ，F ，E 三点共线，令()1BF t BE,AF AB t BE 1t t .2==+=-+则a b 因为D ，F ，C 三点共线，令DF s DC,=则()1AF AD s DC 1s s .2=+=-+a b 根据平面向量基本定理得111t s 22,1s t2⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2111t ,s ,x ,y ,3333====得即(x,y)为(13,13). 答案：(13,13)12.【解析】∵()0.220.⊥∴⊥==∴+=+=且，，从而a b a c b c c b c a c a b c a c b ·····答案：013.【解析】∵2z i,===-∴z =i,∴|z |=1. 答案：114. 【解析】由a ∥b ⇒sin 2θ=13,∴cos2θ=1-2sin2θ=1-23=13. 答案：1315.【解析】由已知得()OP OA AB AC -=λ+，即()AP AB AC =λ+，当()11AP AB AC ,22λ==+时，得()2AP AB AC,AP AB AC AP,BP PC PB PC PB BP ,PA PB PC PA 0.∴=+-=-∴=∴+=+=∴+==即，00··答案：016. 【解析】(1)a •b =cos2θ,|a +b |2=|a |2+|b |2+2a •b =2+2cos2θ=4cos 2θ,∵θ∈[0,3π],∴|a +b |=2cos θ,∴2cos θ=1,∴θ=3π.(2)•||+a b a b cos21cos ,2cos 2cos θ==θ-θθ令t=cos θ,则2111t 1,(t )10,22t 2t≤≤-'=+> ∴1t 2t -在t ∈[12,1]上是递增的，∴-12≤1t 2t -≤12,即要求式子的最大值为12，最小值为-12.。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题08(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题08（含答案）17.（12分）设不等式x 2-2ax+a+2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1,4］，求实数a 的取值范围.18.（12分）某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p 元(即税率为p%)，因此每年销售量将减少20p 3万件． (1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p%应怎样确定？(3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p 值？19．（13分）已知关于x 的不等式(kx-k 2-4)(x-4)>0，其中k ∈R.（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z=B （其中Z 为整数集）. 试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由.20.（13分）已知二次函数f(x)=x 2+bx+c(b 、c ∈R),不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0，f(2+cos β)≤0.(1)求证：b+c=-1;(2)求证：c ≥3;(3)若函数f(sin α)的最大值为8，求b 、c 的值.21.(13分)函数()()x f x x 01x =>+,数列{a n }和{b n }满足：a 1=12,a n+1=f(a n ),函数y=f(x)的图象在点(n,f(n))(n ∈N *)处的切线在y 轴上的截距为b n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列n 2n n b {}a a λ-的项中仅5255b a a λ-最小，求λ的取值范围； (3)若函数()x g x ,1x=-令函数h ()()()221x x f x g x ,0x 1,1x -=+<<⎡⎤⎣⎦+数列{x n }满足：x 1=12,0<x n <1且x n+1=h(x n )证明：()()()2221223n 1n 1223n n 1x x x x x x 1.x x x x x x 8++---++⋯+<答案解析17.【解题指南】此题需根据Δ<0,Δ>0,Δ=0分类讨论，求出解集M ，验证即可，不要忘记M=Ø的情况.【解析】(1)当Δ=4a 2-4(a+2)<0，即-1<a<2时，M=Ø,满足题意；(2)当Δ=0时，a=-1或a=2.a=-1时M={-1}，不合题意；a=2时M={2}，满足题意；(3)当Δ>0，即a>2或a<-1时，令f(x)=x 2-2ax+a+2，要使M ⊆［1,4］，只需()()1a 4f 13a 0f 4187a 0⎧<<⎪=-≥⎨⎪=-≥⎩得2<a ≤187；综上，-1<a ≤187. 【变式备选】若关于x 的方程4x +a ·2x +a+1=0有实数解，求实数a 的取值范围.【解析】方法一：令t=2x >0，则原方程有实数解⇔t 2+at+a+1=0在（0，+∞)上有实根得()2a 4a 10a 0⎧∆=-+≥⎪⎨-≥⎪⎩ 或()2a 4a 10a 0a 10⎧∆=-+≥⎪-<⎨⎪+<⎩得()2a 4a 10a 0⎧-+≥⎪⎨-≥⎪⎩，得a ≤2-方法二：令t=2x （t>0）,则原方程化为t 2+at+a+1=0,变形得()()()221t (t 1)222a t 1t 12221t t 1t 1t 1+-+=-=-=--+=-++-≤-=-++++［］［］∴a 的取值范围是（-∞,2-.18.【解析】(1)由题意，该商品年销售量为(80－203p)万件，年销售额为60(80－203p)万元，故所求函数为y ＝60(80－203p)·p%.由80－203p>0，且p>0得，定义域为(0,12)．(2)由y ≥128，得60(80－203p)·p%≥128，化简得p 2－12p ＋32≤0，(p －4)(p －8)≤0，解得4≤p ≤8.故当税率在［4%,8%］内时，政府收取税金不少于128万元．(3)当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售额为g(p)＝60(80－203p)(4≤p ≤8)． ∴g(p)为减函数，∴［g(p)］max ＝g(4)＝3 200(万元)．19．【解析】（1）当k=0时，A=(-∞,4)；当k>0且k ≠2时，A=(-∞,4)∪(k+4k,+∞)； 当k=2时，A=(-∞,4)∪(4,+∞)；当k<0时，A=(k+4k,4). （2）由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限；当k<0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集.因为k+4k≤-4，当且仅当k=-2时取等号，所以当k=-2时，集合B 的元素个数最少.此时A=(-4,4)，故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.20.【解题指南】本题考查的是不等式的综合应用问题.在解答时：（1）充分利用条件不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0,f(2+cos β)≤0.注意分析sin α、2+cos β的范围，利用夹逼的办法即可获得问题的解答；（2）首先利用（1）的结论对问题进行化简化为只有参数c 的函数，再结合条件不论β为何实数，恒有f(2+cos β)≤0，即可获得问题的解答;（3）首先对函数进行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答.【解析】(1)∵|sin α|≤1且f(sin α)≥0恒成立，可得f(1)≥0.又∵1≤2+cos β≤3且f(2+cos β)≤0恒成立，可得f(1)≤0,∴f(1)=0,∴1+b+c=0,∴b+c=-1.(2)∵b+c=-1,∴b=-1-c,∴f(x)=x 2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c).又∵1≤2+cos β≤3且f(2+cos β）≤0恒成立，∴x-c ≤0，即c ≥x 恒成立.∴c ≥3.（3）∵f(sin α)=sin 2α-(1+c)sin α+c=(sin α-1c 2+)2+c-(1c 2+)2, ∵1c 2+≥2 ∴当sin α=-1时，f(sin α)的最大值为1-b+c.由1-b+c=8与b+c=-1联立，可得b=-4,c=3.即b=-4,c=3.21. 【解析】(1)∵a n+1=f(a n )=n n a 1a +,得n 1n 11111 2.a a a +-==， ∴{n1a }是以2为首项，1为公差的等差数列，故n 1a n 1=+.(2)()()()()2x 1f x x 0,f x ,1x 1x =>∴'=++ ∴y=f(x)在点(n,f(n))处的切线方程为 ()()2n 1y x n ,n 11n -=-++ 令x=0得()2n 2n b .1n =+()222n 2n n b n n 1(n ).a a 24λλλ∴-=-λ+=--λ- ∵仅当n=5时取得最小值，∴4.5<2λ<5.5. ∴λ的取值范围为(9，11).(3)()()()221x h x f x g x 1x -=+⎡⎤⎣⎦+ 222x x 1x 2x ,0x 1,1x 1x 1x1x -⎡⎤=+=<<⎢⎥+-++⎣⎦因为x n+1=h(x n ), 所以()n n 1n n n 2n 1x x x x 1x ,x 1++-=-+又因0<x n <1,则x n+1>x n . 显然1>x n+1>x n >…x 2>12. ()n n 1n nn 2n 1x x x x 1x x 1++-=-+ n n 11111•,2448222x 12x 1≤<=-++-+ ()()2n 1n n 1n n1n n n 1n n 1x x x x x x x x x x +++++--∴=- n 1n n n 1n n 111111(x x )()()x x 8x x +++=--<-,()()()2221223n 1n 1223n n 1x x x x x x x x x x x x ++---∴++⋯+1223n n 11111111[()()()]8x x x x x x +<-+-+⋯+-1n 1n 111111()(2).8x x 8x ++=-=- ∵12<x n+1<1, n 1n 11112,021,x x ++∴<<∴<-<2221223n 1n 1223n n 1(x x )(x x )(x x )x x x x x x ++---∴++⋯+n 1111(2).8x 8+<-<。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题10(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题10（含答案）三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)如图，在△ABC中，∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高，沿AD 把△ABD折起，使∠BDC=90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值.17.(12分)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分别是棱CC1、AB的中点.(1)求证：CF⊥BB1；(2)求四棱锥A-ECBB1的体积.18.(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分别是PD、BC的中点 .(1)求证：AE⊥PC；(2)求直线PF与平面PAC所成的角的正切值.19.(13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形.(1)求证：A1B∥平面AC1D；(2)求证:CE⊥平面AC1D；(3)求二面角C-AC1-D的余弦值.20.(13分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．21.(13分)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1．(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)若点G在BC上，2BG3=，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1；(3)用θ表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tanθ．答案解析16.【解析】(1)∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD．∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由∠BDC=90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，3，E(1322，，)，∴13AE(,,3)DB(10,0)22=-=，，，∴AE与DB夹角的余弦值为1AE DBcos<AE DB>22|AE ||DB |1===⨯，. 17.【解析】(1)∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱, ∴BB 1⊥平面ABC ，又∵CF ⊂平面ABC ， ∴CF ⊥BB 1.(2)∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱， ∴BB 1⊥平面ABC ，又∵AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1, ∵∠ACB=90°,∴AC ⊥BC,∵BB 1∩BC=B.∴AC ⊥平面ECBB 1，∴11A ECBB ECBB 1V S AC 3-=四形边,∵E 是棱CC 1的中点，∴EC=12AA 1=2，∴()()11ECBB 11S EC BB BC 242622=+=⨯+⨯=四形边,∴11A ECBB ECBB 11V S AC 62433-==⨯⨯=四形边.18.【解析】方法一：(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥DC 因为底面ABCD 是正方形，所以AD ⊥DC. AD ∩PA=A,故DC ⊥平面PAD, AE ⊂平面PAD ，所以AE ⊥DC ， 又因为PA=AD,点E 是PD 的中点, 所以AE ⊥PD ，PD ∩DC=D ， 故AE ⊥平面PDC ，PC ⊂平面PDC ，所以AE ⊥PC.(2)连接BD，过点F作FH⊥AC于点H，连接PH，由F是棱BC的中点，底面是正方形，可得FH∥BD,FH=14 BD,又由PA⊥底面ABCD得到PA⊥FH，AC∩PA=A，故FH⊥平面PAC，所以∠FPH为直线PF与平面PAC所成的角,设AD=1，得到2 FH4=，在Rt△PAH中，34 PH4=，FH17tan FPHPH17∠==.方法二：以A为原点，分别以AB AD AP，，的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，设PA=AD=1，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),(1)∵点E、F分别是PD、BC的中点,∴E(0，12，12)，F(1，12，0).AE=(0,12,12),PC=(1,1,-1)，AE PC0=,所以AE⊥PC.(2)连接BD，由PA⊥底面ABCD得到PA⊥BD，AC⊥BD，AC∩PA=A，BD⊥平面PAC. 取平面PAC的一个法向量BD=(-1，1，0)，设直线PF与平面PAC所成的角为θ,PF=(1,12,-1)BD PF2sin|cos<BD,PF>|||6|BD||PF|θ===,cosθ=346,故tanθ=1717.19.【解析】(1)连接A1C,与AC1交于O点，连接OD.因为O，D分别为AC1和BC的中点,所以OD∥A1B.又OD⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D,所以A1B∥平面AC1D.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD.因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面B1BCC1.又CE⊂平面B1BCC1,所以AD⊥CE.因为四边形B1BCC1为正方形，D，E分别为BC,BB1的中点, 所以Rt△CBE≌Rt△C1CD,∠CC1D=∠BCE.所以∠BCE+∠C1DC=90°.所以C1D⊥CE.又AD∩C1D=D,所以CE⊥平面AC1D.(3)如图，以B1C1的中点G为原点，建立空间直角坐标系.则A(0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),C1(-3,0,0).由(2)知CE⊥平面AC1D，所以CE=(6,-3,0)为平面AC1D的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面ACC1的一个法向量,AC =(-3，0，-4)，1CC =(0，-6，0). 由1n AC 0,n CC 0.⎧=⎪⎨=⎪⎩可得3x 4z 0,6y 0.--=⎧⎨-=⎩令x=1,则y=0,3z 4=-.所以3n (1,0,)4=-.从而CE n 8cos<CE,n>525|CE ||n |==.因为二面角C-AC 1-D 为锐角, 所以二面角C-AC 1-D 的余弦值为8525. 20.【解析】(1)因为∠DAB=60°，AB=2AD, 由余弦定理得BD=3AD, 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD,又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD,又PD ∩AD=D, 所以BD ⊥平面PAD,故 PA ⊥BD. (2)如图，作DE ⊥PB ，垂足为E.已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC. 由(1)知BD ⊥AD ，又BC ∥AD ，所以BC ⊥BD,因为BD ∩PD=D, 故BC ⊥平面PBD ，所以BC ⊥DE. 则DE ⊥平面PBC.由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2， 根据DE ·PB=PD ·BD ，得3DE 2=， 即棱锥D-PBC 的高为32. 21.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则BE =(3,0,1)，BF =(0,3,2)，1BD =(3,3,3)， 所以1BD BE BF =+， 故1BD ，BE ，BF 共面． 又它们有公共点B ， 所以E,B,F,D 1四点共面．(2)设M(0,0,z)，则2GM (0,,z)3=-，而BF =(0,3,2)，由题设得2GM BF 3z 203=-⨯+=，得z=1．因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，有ME =(3,0,0)， 又1BB =(0,0,3)，BC =(0,3,0)， 所以1ME BB 0ME BC 0==，， 从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC ． 又BB 1∩BC=B, 故ME ⊥平面BCC 1B 1．(3)设向量BP =(x,y,3)且BP ⊥截面EBFD 1，于是BP BE BP BF ⊥⊥，． 而BE =(3,0,1)，BF =(0,3,2)，得BP·BE=3x+3=0，BP·BF=3y+6=0，解得x=-1，y=-2，所以BP=(-1,-2,3)．又BA=(3,0,0)且BA⊥平面BCC1B1，所以BP和BA的夹角等于θ或π-θ(θ为锐角)．于是|BP BA|1 cos|BP||BA|14θ==．故tanθ。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题11(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题11（含答案）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列说法正确的是( )(A)第二象限的角比第一象限的角大(B)若sin α＝12，则α＝6π(C)三角形的内角是第一象限角或第二象限角(D)不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 2.若角α的终边过点(sin30°,-cos30°),则sin α等于( )1133A B C D 2223---（） （） （） （）3.已知函数y=cos(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜π)的部分图象如图所示，则( )（A ）ω=1,φ=23π（B ）ω=1,φ=-23π（C ）ω=2,φ=23π（D ）ω=2,φ=-23π4.将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )(A)y ＝sin(2x －10π) (B)y ＝sin(2x －5π)(C)y ＝sin(12x －10π) (D)y ＝sin(12x －20π)5.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知sinB=1,向量p =(a,b),q =(1,2),若p ∥q ,则∠C 的大小为( )(A)6π (B)3π (C)2π (D)23π6.已知sin(π－α)＝－2sin(2π＋α)，则sin α·cos α＝( )（A ）25 （B ）-25 （C ）25或-25 （D ）-157.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若c=3,b=3, B=120°,则a 等于( ) (A)6(B)2(C)3(D)28.若α，β∈(0，2π)，cos (α－3)22β＝，sin(2α－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )3113A B C D 2222--（） （） （） （） 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.已知f(x)＝sinx ＋3cosx(x ∈R)，函数y ＝f(x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是下列中的_________.①2π②3π ③4π ④6π 10.已知tan α和tan(4π－α)是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是_______.11.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为______.12.已知角α的终边经过点P(x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为_______.13.已知sin(π+α)=-13,且α是第二象限角，则sin2α=______.14.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC的面积为33BAC ＝________.15.定义一种运算：(a 1，a 2)⊗(a 3，a 4)＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f(x)＝3，2sinx)⊗(cosx ，cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为_______.答案解析1.【解题指南】根据三角函数的定义和角的定义逐一分析即可.【解析】选D.排除法可解．第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A 错误；当sin α＝12时，也可能α＝56π，所以B 错误；当三角形一内角为2π时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故C 错误，D 正确. 2.【解析】选C.∵角α的终边过点(sin30°,-cos30°), ∴x=sin30°,y=-cos30°,r=1,则sin α=y cos30r =-︒=故选C. 【变式备选】已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点(12－)，2α∈［0,2π)，则tan α＝( )A B C D -（））【解析】选B.由角2α的终边在第二象限，知tan α>0，依题设知tan2，所以2α＝23π，得α＝3π，tan 3.【解析】选D.∵T 772T 2,2.412341223ππππππ=-=∴=π∴ω=⨯+ϕ=∴ϕ=-，，又，4.【解析】选C.将y ＝sinx 的图象向右平移10π个单位得到y ＝sin(x －10π)的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin(12x －10π)的图象.5. 【解析】选B.∵sinB=1,∴∠B=90°. 又由p ∥q 可得a 1b 2=.∴在Rt △ABC 中，cosC=a 1b 2=, ∴C=60°,即C ＝3π. 6.【解析】选B.由sin (π－α)＝－2sin (2π＋α)⇒sin α＝－2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，则sin αcos α＝－2cos 2α＝－25，故选B.7.【解析】选C.在△ABC 中，由正弦定理得：b c 31sinC C 30,sinB sinC sin120sinC 2=⇒=⇒=⇒=︒︒ 又∵B=120°,∴A=30°. 故△ABC 为等腰三角形，∴a=c=.8.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得α－2β和2α－β的度数，再根据条件作出判断，进而求得cos(α＋β). 【解析】选B.∵α，β∈(0，2π)， 422224πβππαπ∴<α<<β<－－，－－，由cos (α－2β)sin (2α－β)＝12- ，可得α－2β＝±6π， 2α－β＝－6π， 当α－2β＝－6π，2α－β＝－6π时，α＋β＝0与α，β∈(0，2π)矛盾；当α－2β＝6π，2α－β＝－6π时，α＝β＝3π，此时cos (α＋β)＝12- .9. 【解析】因为f(x)＝sinx cosx ＝2(12sinx ＋2cosx)＝2sin(x ＋3π)，所以f(x ＋φ)＝2sin (x ＋3π＋φ)，因为y ＝f(x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称， 因此sin (0＋3π＋φ)＝±1，可得3π＋φ＝k π＋2π (k ∈Z)，即φ＝k π＋6π，k ∈Z ，因此φ的值可以是6π.答案：④10.【解题指南】利用根与系数的关系得到tan α和tan(4π-α)与系数a,b,c 的关系，再利用正切的两角和公式得到a,b,c 的关系.【解析】b tan tan()4ac tan tan()4a π⎧αα⎪⎪⎨π⎪αα⎪⎩＋－＝－，－＝∴tan 4πb a tan ()1c 41aπαα－＝－＋＝＝，－［］ ∴b c 1a a－＝－，∴－b ＝a －c ，∴c ＝a ＋b. 答案：c=b+a11.【解析】在△PAB 中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m, sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°1222=-= 由正弦定理得:PB AB,sin30sin15=︒︒160PB 30,⨯∴==∴树的高度为PBsin45°=30×2)m. 答案：)m12.【解题指南】利用三角函数的定义直接求出x.【解析】根据题意知63tan x 5 －＝＝－，所以x ＝10.答案：1013.【解析】由题意可得sin α=13,cos α∴sin2α=2sin αcos α=-9.答案：-914.【解析】由∠ADB ＝120°知∠ADC ＝60°，又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin60°＝3所以DC ＝－1)，又因为BD ＝12DC ，所以BD 1， 过A 点作AE ⊥BC 于E 点，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3，所以AE ，又在直角三角形AED 中，DE ＝1，所以BE ，在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ， 所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°，在直角三角形AEC 中，EC ＝－3，所以tan ∠ACE ＝AE 2EC 所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°. 答案：60°【方法技巧】巧解三角形解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成，这种方法是最基本的，也是很重要的方法.有些三角形问题，除了常规方法外，还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想，往往可以构造设计一个恰当的三角形，借助于平面几何、解三角形等知识去解决.15.【解题指南】根据新定义写出三角函数关系式并化简三角函数式，再根据性质求得最小值.【解析】由新定义可知f(x)－sin2x ＝2cos(2x ＋6π)，所以函数f(x)的图象向左平移512π个单位长度后为y ＝-2cos2x 的图象，该函数为偶函数，所以n 的最小值为512π.答案：512π。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题30(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题30（含答案）19.(13分)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形.(1)证明直线BC∥EF；(2)求棱锥F-OBED的体积.20.(13分)一个多面体的三视图及直观图如图所示：(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)试在平面ADD1A1中确定一个点F，使得FB1⊥平面BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角F―CC1―B的余弦值.21.(13分) 如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点.(1)求证：BD1∥平面A1DE；(2)求证：D1E⊥A1D；(3)在线段AB上是否存在点M，使二面角D1-MC-D的大小为6?若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.19.【解析】(1)设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点， 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，且OA=1，OD=2，所以OB12DE ，OG=OD=2.同理，设G ′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点，有OC 12DF ，OG ′=OD=2.又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G与G ′重合.在△GED 和△GFD 中，由OB 12DE 和OC 12DF ，可知B ，C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF. (2)由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知S △EOB 3，而△OED 是边长为2的正三角形， 故S △OED 3S 四边形OBED =S △EOB +S △OED =332. 过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F-OBED的高，且3F OBED OBED 13V FQ S .32-==四边形20.【解析】依题意知，该多面体为底面是正方形的四棱台，且D 1D ⊥底面ABCD.AB=2A 1B 1=2DD 1=2a.以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2a ，0， 0)，B 1(a ，a ，a)，D 1(0，0，a)，B(2a ，2a ，0)，C(0，2a ，0)，C 1(0，a ，a).(1)∵()1AB a,a,a ,=- ()1DD 0,0,a =，∴211112211AB DD a 3cos AB ,DD AB DD 3a a ===〈〉 即异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33(2)设F(x ，0，z)，∵1BB =(-a,-a,a),BC =(-2a,0,0)，1FB =(a-x,a,a-z)，由FB 1⊥平面BCC 1B 1得111FB BB 0FB BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()2a a x a a a z 02a a x 0⎧---+-=⎪⎨--=⎪⎩，得x a z 0=⎧⎨=⎩，∴F(a,0,0)，即F 为DA 的中点.(3)由(2)知1FB 为平面BCC 1B 1的一个法向量.设n =(x 1,y 1,z 1)为平面FCC 1的一个法向量. ∵1CC =(0,-a,a),FC =(-a,2a,0)，由1n CC 0n FC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111ay az 0ax 2ay 0-+=⎧⎨-+=⎩，令y 1=1得x 1=2，z 1=1，∴n =(2,1,1),1121n FB a 3cos n,FB |n |FB 62a ===⨯〈〉即二面角F ―CC 1―B 的余弦值为33【方法技巧】高考中立体几何解答题的常见题型(1)线面平行、垂直的证明.解题时主要利用相关的判定定理进行解题即可，但要注意表达的规范性，即要把相关定理的内容完全表示为符号语言. (2)空间角的求法.一般以二面角的求法为主，解题时可根据所给几何体的特征建立坐标系，利用向量的运算来解题.21.【解析】(1)连接AD 1，四边形ADD 1A 1为正方形，O 是AD 1的中点，点E 为AB 的中点，连接OE.∴EO 为△ABD 1的中位线，∴EO ∥BD 1，又∵BD 1⊄平面A 1DE ，OE ⊂平面A 1DE ，∴BD 1∥平面A 1DE.(2)正方形ADD 1A 1中，A 1D ⊥AD 1，由已知可得：AB ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1∴AB ⊥A 1D ，AB ∩AD 1=A ，∴A 1D ⊥平面AD 1E ，D 1E ⊂平面AD 1E ， ∴A 1D ⊥D 1E.(3)存在.由题意可得：D 1D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，设M(1，y 0，0)(0≤y 0≤2)，∵MC =(-1，2-y 0，0)，1D C =(0，2,-1) 设平面D 1MC 的法向量为n 1=(x,y,z)则111MC 0D C 0⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 得()0x y 2y 02y z 0-+-=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取平面D 1MC 的一个法向量10(2y ,12),=-，n 而平面MCD 的一个法向量为 2n =(0，0，1),二面角D 1-MC-D 的大小为6π，则12cos|cos ,|6π=〈〉n n 1212||||||=n n n n ()2220322y 12==-++ 解得：03y 23=-(0≤y 0≤2),当AM=2-33时，二面角D 1-MC-D 的大小为6π.。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题19(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题19（含答案）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合A={x|y=23x-,x∈R}，B={y|y=x2-1,x∈R}，则A∩B=( )(A){(-2,1),(2,1)} (B)Ø(C){z|-1≤z≤3} (D){z|0≤z≤3}2.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,a-2,5},UA={2,4}，则a的值为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)63.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )4.“若a∉A，则b∈B”的否定是( )(A)若a∉A，则b∉B (B)若a∈A，则b∉B(C)若b∈B，则a∉A (D)若b∉B，则a∈A5.集合A={y∈R|y=2x}，B={-1,0,1}，则下列结论正确的是( )(A)A∩B={0,1} (B)A∪B=(0,+∞)(C)(R A)∪B=(-∞,0) (D)(RA)∩B={-1,0}6.下列说法中，正确的是( )(A)命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题(B)命题“∃x0∈R，2x-x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2-x≤0”(C)命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题(D)已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件7.下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x 0∈R ，使得sinx 0-cosx 0=-1.5(B)∀x ∈R ，总有x 2-2x-3≥0(C)∀x ∈R ，∃y ∈R ，y 2＜x(D)∃x 0∈R ，∀y ∈R ，y ·x 0=y8.已知命题p: ∃x 0∈R ，有20x =-1;命题q: ∀x ∈(0, 2π)，有 x ＞sinx.则下列命题是真命题的是( )(A)p ∧q (B)p ∨(⌝q)(C)p ∧(⌝q) (D)(⌝p)∧q二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.已知全集U=R ，集合M={x||x|＜2},P={x|x ＞a}，并且MU P ，那么a 的取值范围是_________.10.设条件p:a>0;条件q:a 2+a ≥0,那么p 是q 的______条件.11.已知a ＞0，设p:存在a ∈R ，使y=a x 是R 上的单调递减函数； q:存在a ∈R ，使函数g(x)=lg(2ax 2+2x+1)的值域为R ，如果“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，则a 的取值范围是_______.12.命题“∃x 0∈R ，使得20x +2x 0+5=0”的否定是____________________. 13.设集合U={1,3a+5,a 2+1},A={1,a+1}，且U A={5}，则a=________.14.原命题：“设a,b,c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有________个.15.已知p:-4＜x-a ＜4，q:(x-2)(3-x)＞0,若⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|2-a ≤x ≤2+a}，B={x|x 2-5x+4≥0},(1)当a=3时，求A ∩B ，A ∪(U B);(2)若A ∩B=Ø，求实数a 的取值范围.答案解析1.【解析】选C.由3-x 2≥0得-3≤x ≤3，∴A={x|-3≤x ≤3}.∵x 2-1≥-1,∴B={y|y ≥-1}.∴A ∩B={z|-1≤z ≤3}.2.【解析】选C.∵U A={2,4},∴A={1,3,5},∴a-2=3,∴a=5.3.【解析】选B.由N={x|x 2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.故选B. 4.【解析】选B.“若a ∉A ，则b ∈B ”的否定为“若a ∈A ，则b ∉B ”.5.【解析】选D.因为A={y ∈R|y=2x }={y|y>0}，R A={y|y ≤0}，∴(R A)∩B={-1,0}.6.【解析】选B.由特称命题的否定是全称命题知选项B 正确.7.【解析】选D.当x 0=1时，对∀y ∈R ，y ·x 0=y 恒成立，故选D.8.【解析】选D.∵当x ∈R 时，x 2≥0,∴命题p 是假命题,令f(x)=x-sinx,则f ′(x)=1-cosx ＞0,∴f(x)在(0，2π)上是增函数, ∴f(x)＞f(0)=0,即x ＞sinx,故命题q 是真命题.∴(⌝p)∧q 是真命题.9.【解题指南】首先化简集合M ，然后利用数轴求出a 的取值范围.【解析】∵M={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，UP={x|x≤a},∴M U P⇔M(-∞,a］⇔a≥2,如数轴所示：答案：{a|a≥2}10.【解析】a2+a≥0⇒a(a+1)≥0,可得a≥0或a≤-1, 故p是q的充分不必要条件.答案：充分不必要11.【解析】由题意知p:0＜a＜1，q:0＜a≤1 2 ,因为“p∧q”为假，“p∨q”为真，所以p、q一真一假.当p真q假时，得12＜a＜1，当p假q真时，a的值不存在，综上知12＜a＜1.答案：(12,1)12.【解析】特称命题的否定是全称命题，其否定为“∀x∈R，都有x2+2x+5≠0”. 答案：∀x∈R，都有x2+2x+5≠013.【解析】由U A={5}知5∈U且5∉A，若3a+5=5，则a=0，不合题意.若a2+1=5，则a=2或a=-2,当a=2时，A={1,3}，不合题意.当a=-2时,A={1,-1}，符合题意，故a=-2.答案：-214.【解析】∵“若ac2＞bc2，则a＞b”是真命题,∴逆否命题是真命题.又逆命题“若a＞b，则ac2＞bc2”是假命题，∴原命题的否命题也是假命题.答案：115.【解析】p:-4＜x-a＜4⇔a-4＜x＜a+4, q:(x-2)(3-x)＞0⇔2＜x＜3,又⌝p是⌝q的充分条件，即⌝p⇒⌝q,等价于q⇒p,所以a42a43-≤⎧⎨+≥⎩，解得-1≤a≤6.答案：［-1,6］【误区警示】解答本题时易弄错p、q的关系，导致答案错误，求解时，也可先求出⌝p、⌝q，再根据其关系求a的取值范围.16.【解析】(1)当a=3时，A={x|-1≤x≤5},B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}，UB={x|1＜x＜4},A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5},A∪(U B)={x|-1≤x≤5}.(2)当a＜0时，A=Ø，显然A∩B=Ø,合乎题意.当a≥0时，A≠Ø，A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}.由A∩B=Ø，得2a 12a 4-⎧⎨+⎩＞＜，解得0≤a ＜1. 故实数a 的取值范围是(-∞,1).。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题35(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题35（含答案）三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知命题p:函数22y log (x 2ax 3a 2)=-+-的定义域为R ；命题q:方程2ax 2x 10++=有两个不相等的负数根，若p ∨q 是假命题，求实数a 的取值范围． 17.(12分)如图,设点P 从原点沿曲线y=x 2向点A(2,4)移动,记直线OP 、曲线y=x 2及直线x=2所围成的面积分别为S 1,S 2,若S 1=S 2,求点P 的坐标.18.(12分)集合A 是由具备下列性质的函数f(x)组成的：①函数f(x)的定义域是[0，＋∞)；②函数f(x)的值域是[－2,4)；③函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试分别探究下列两小题：(1)判断函数()()x 121f x x 2(x 0)f x 46()(x 0)2≥≥＝－及＝－是否属于集合A ？并简要说明理由；(2)对于(1)中你认为属于集合A 的函数f(x)，不等式f(x)＋f(x ＋2)<2f(x ＋1)是否对于任意的x ≥0恒成立？请说明理由．19.(13分)如图所示：图1是定义在R 上的二次函数y=f(x)的部分图象，图2是函数g(x)＝log a (x ＋b)的部分图象．(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；(2)如果函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，求m的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a、c∈N*)满足：①f(1)＝5；②6<f(2)<11.(1)求a、c的值；(2)若对任意的实数x∈[1322，]，都有f(x)－2mx≤1成立，求实数m的取值范围．21.(13分) 已知函数f(x)=x2+bsinx-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数x，恒有F(x)-F(-x)=0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围；(3)函数h(x)=ln(1+x2)-12f(x)-k有几个零点？答案解析16.【解析】由题意得p 和q 均是假命题，由p:x 2-2ax+3a-2＞0恒成立，Δ=4a 2-4(3a-2)＜0得1＜a ＜2,﹁p 真：a ≥2或 a ≤1，由q ：当a=0时，不满足,当a ≠0时，020a10a⎧⎪∆⎪-⎪⎨⎪⎪⎪⎩＞＜＞,得0＜a ＜1,﹁q 真：a ≥1或a ≤0,综上，由p 假和q 假得a ≤0或a=1或a ≥2.17.【解析】设直线OP 的方程为y=kx,P 点的坐标为(x,x 2),则()()x 2220x kx x dx x kx dx,-=-⎰⎰ 即23x 3220x 1111(kx x )(x kx )2332-=-， 解得12kx 2-13x 3=83-2k-(13x 3-12kx 2),解得k=43,即直线OP 的方程为y=43x, 所以点P 的坐标为(43,169). 18.【解析】(1)函数f 1(x)＝－2不属于集合A.因为f 1(x)的值域是[－2，＋∞)，所以函数f 1(x)＝－2不属于集合A.f 2(x)＝4－6·(12)x (x ≥0)属于集合A ，因为：①函数f 2(x)的定义域是[0，＋∞)；②f 2(x)的值域是[－2,4)；③函数f 2(x)在[0，＋∞)上是增函数．(2)是.∵f(x)＋f(x ＋2)－2f(x ＋1)＝6·(12)x (14－)<0， ∴不等式f(x)＋f(x ＋2)<2f(x ＋1)对任意的x ≥0恒成立．19.【解题指南】解答本题关键是借助图形得到函数所过的点，求出对应的解析式，进而求解(2).【解析】(1)由题图1得，二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f(x)＝k(x －1)2＋2，又函数f(x)的图象过点(0,0)，故k ＝－2，整理得f(x)＝－2x 2＋4x.由题图2得，函数g(x)＝log a (x ＋b)的图象过点(0,0)和(1,1)，故有a alog b 0log (1b)1⎧⎨⎩＝，＋＝，∴a 2b 1⎧⎨⎩＝，＝， ∴g(x)＝log 2(x ＋1)(x>－1)．(2)由(1)得y ＝g(f(x))＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立． 由t ＝0得xt 的图象的对称轴为x ＝1. 所以满足条件的m 的取值范围为1<m<22. 20.【解析】(1)∵f(1)＝a ＋2＋c ＝5，∴c ＝3－a.①又∵6<f(2)<11，即6<4a ＋c ＋4<11，② 将①式代入②式，得13－<a<43， 又∵a 、c ∈N *，∴a ＝1，c ＝2.(2)由(1)知f(x)＝x 2＋2x ＋2.方法一：设g(x)＝f(x)－2mx ＝x 2＋2(1－m)x ＋2. ①当－2(1m)2－≤1，即m ≤2时， g(x)max ＝g(32)＝294－3m ，故只需294－3m ≤1， 解得m ≥2512，又∵m ≤2，故无解． ②当2(1m)2－－>1，即m>2时，g(x)max＝g(12)＝134－m，故只需134－m≤1，解得m≥94.又∵m>2，∴m≥9 4 .综上可知，m的取值范围是m≥9 4 .方法二：∵x∈[12，32]，∴不等式f(x)－2mx≤1恒成立⇔2(1－m)≤－(x＋1x)在[12，32]上恒成立．易知[－(x＋1x)]min＝52－，故只需2(1－m)≤52－即可．解得m≥94.【方法技巧】二次函数的最值求解技巧：当二次函数的定义域不是R时,求函数的最值，要充分利用函数的图象，重点关注开口方向和对称轴与所给定区间的关系：若对称轴不在区间内，则该区间是函数的单调区间，最值在两个端点处，反之，则必有一个在顶点处取，即函数的最值不在端点处，就在顶点处.21. 【解析】（1）F(x)=f(x)+2=x2+bsinx-2+2=x2+bsinx，依题意，对任意实数x，恒有F(x)-F(-x)=0.即x2+bsinx-(-x)2-bsin(-x)=0,即2bsinx=0,所以b=0，所以f(x)=x2-2.（2）∵g(x)=x2-2+2(x+1)+alnx,∴g(x)=x2+2x+alnx,g′(x)=2x+2+a x .∵函数g(x)在（0，1）上单调递减，∴在区间（0，1）上，g′(x)=2x+2+ax=22x2x ax++≤0恒成立，∴a ≤-(2x 2+2x)在（0，1）上恒成立, 而-(2x 2+2x)在（0，1）上单调递减，∴a ≤-4.（3）∵h(x)=ln(1+x 2)-12f(x)-k =ln(1+x 2)-12x 2+1-k, ∴h ′(x)=22x 1x+ -x. 令h ′(x)= 22x 1x+-x=0，解得x=0,-1,1, ∴当x<-1时，h ′(x)>0,当-1<x<0时，h ′(x)<0, 当0<x<1时，h ′(x)>0,当x>1时，h ′(x)<0, ∴h(x)极大值＝h(±1)=ln2+12-k, ∴h(x)极小值＝h(0)=1-k, 所以①当k>ln2+12时，函数没有零点； ②当1<k<ln2+12时，函数有四个零点； ③当k<1或k=ln2+12时，函数有两个零点； ④当k=1时，函数有三个零点.。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题14(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题14（含答案）17.（12分）某单位甲、乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查. (1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；(3)记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望.男 女甲科室 6 4 乙科室 3 218.（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过复审专家评审的概率为0.3.各专家独立评审． (1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率． 19．（13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495］，（495，500］，…，（510，515］.由此得到样本的频率分布直方图，如图所示： （1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为质量超过505克的产品数量，求ξ的分布列； （3）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的质量超过505克的概率.20.（13分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为（x-2,x-y),记ξ=|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；性别人 数科 别(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.21．（13分）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）10~20203030~4040~5050~60L1的频率0.1 0.2 0.3 0.2 0.2L2的频率0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望.答案解析17．【解析】（1）从甲科室应抽取的人数为3×1015=2,从乙科室应抽取的人数为3×515=1;(2)从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率26210C2P 1C3=-=(或P=112464210C C C2C3+=）.（3）ξ的可能取值为0,1,2,3,P（ξ=0）=214221105C C4 C C75=.P(ξ=1)=11112463242121105105C C CC C22 C C C C75+=.P(ξ=3)=216321105C C1 C C5=,P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=3475(或P（ξ=2）=21111664322121105105C C C CC34C C C C75+=），∴ξ的分布列为E（ξ）=0×75+1×75+2×75+3×5=5.18.【解析】(1)记A表示事件：稿件恰能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋BC，P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40.即投到该杂志的1篇稿件被录用的概率为0.40.(2)记A0表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；A1表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用．P(A0)＝(1－0.4)4＝0.129 6，P(A1)＝14C×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6，P(2A)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.129 6＋0.345 6＝0.475 2，P(A2)＝1－P(2A)＝1－0.475 2＝0.524 8.即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率为0.524 8.【方法技巧】较复杂事件的概率的求法（1）求某些较复杂的事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和；二是先求此事件的对立事件的概率.若用直接法求某一事件的概率较为复杂时，第二种方法常可使概率的计算得到简化.（2）如果采用第一种方法，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏，如果采用第二种方法，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误. （3）一般此类问题均可用随机事件的概率求法来探求，但利用互斥事件和对立事件来处理往往可使问题得以简化.（4）通过对较复杂事件概率的探求，可使我们充分体会到多种方法解决问题的思维方式，从而能提高我们综合应用知识来解决问题的能力.19．【解析】（1）质量超过505克的产品数量是40×(0.05×5+0.01×5)=12（件）. （2）ξ的所有可能取值为0,1,2P(ξ=0)=228240C63C130=,P(ξ=1)=111228240C CC=56130=2865，P(ξ=2)=212240C11 C130=,ξ的分布列为（3）由（1）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的质量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其质量超过505克的概率为0.3，令η为任取的5件产品中质量超过505克的产品数，则η～B(5,0.3)，故所求的概率为P(η=2）=()3225C 0.3)0.70.308 7⨯⨯=（.【方法技巧】较复杂事件的概率的求法（1）求某些较复杂的事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和；二是先求此事件的对立事件的概率.若用直接法求某一事件的概率较为复杂时，第二种方法常可使概率的计算得到简化.（2）如果采用第一种方法，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏，如果采用第二种方法，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误. （3）一般地此类问题均可用随机事件的概率求法来探求，但利用互斥事件和对立事件来处理往往可使问题得以简化.（4）通过对较复杂事件概率的探求，充分体会多种方法解决问题的思维方式，从而提高综合应用知识解决问题的能力. 20.【解析】(1)∵x,y 可能的取值为1,2,3, ∴|x-2|≤1,|y-x|≤2,∴ξ≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时，ξ=3. 因此，随机变量ξ的最大值为3.∵有放回抽两张卡片的所有情况有9种，故P （ξ=3）=29，即事件“ξ取得最大值”的概率是29.（2）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3.因为当ξ=0时，只有x=2,y=2这一种情况，所以P（ξ=0）=1 9 .因为当ξ=1时，有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3，共4种情况,P(ξ=1)=4 9 ;因为当ξ=2时，有x=1,y=2或x=3，y=2两种情况.P（ξ=2）=29；所以随机变量ξ的分布列是因此随机变量ξ的数学期望为E（ξ）=0×9+1×9+2×9+3×9=9.21．【解题指南】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率，再比较概率大小；（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可求出数学期望．【解析】（1）A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率，则有：P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5；∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择路径L1；P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9；∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择路径L2．（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知P(A)=0.6，P(B)=0.9，又事件A ，B 相互独立，X 的取值是0，1，2，∴P(X=0)=P(AB )=P(A )·P(B )=0.4×0.1=0.04， P(X=1)=P(A B+A B )=P(A )P(B)+P(A)P(B ) =0.4×0.9+0.6×0.1=0.42， P(X=2)=P(AB)=P(A)·P(B) =0.6×0.9=0.54. ∴X 的分布列为E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5. 【变式备选】甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12,a,a(0<a<1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ. （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P(ξ=i)(i=0，1，2，3)中,若P(ξ=1)的值最大, 求实数a 的取值范围. 【解析】 (1)由题意ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ=0)= 01C ×(1-12) 02C (1-a)2=12 (1-a)2, P(ξ=1)= 11C ×1202C (1-a)2+ 01C ×(1-12) 12C a (1-a)= 12(1-a 2), P(ξ=2)= ()11022121211C C a 1a C 1C a 22⨯-+⨯-（）=21(2a a )2-, P(ξ=3)= 2122121a C C a .22⨯=所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E （ξ）=0×()()2222111a 11a 11a 2(2a a )32a 22222-+⨯-+⨯-+⨯=+.(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)= ()()2211a 1a 2---［］ =a(1-a),P(ξ=1)-P(ξ=2)= ()22112a1a (2a a )22----=［］， P(ξ=1)-P(ξ=3)= ()222112a 1a a 22---=［］，由()2a 1a 012a100a 1,0a ,2212a 02⎧⎪-≥⎪-⎪≥<<<≤⎨⎪⎪-≥⎪⎩和得即a 的取值范围是（0，12］.。
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湖南省2013年普通高等学校对口招生考试
数 学
（时量：120分钟；满分：120分）
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。
）
1、已知集合A={1,4}，B={4,5,6}，则A B=（ ）
{4,5,6} B. {1,4,5,6} C.{1,4} D.{4}
2、函数f(x )=3x (x ∈[0,2] )的值域为（ ）
[0，9] B.[0，6] C.[1，6] D.[1，9]
3、“x =y ”是“|x |=|y |”的（ ）
充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4、已知点A （5,2），B （－1,4），则线段AB 的中点坐标为（ ）
A.(3，－1)
B.(4，6)
C.(－3，1)
D.(2，3)
5、的系数为的二项展开式中）（261x x
x -（ ） A 、 -30 B 、 15 C 、-15 D 、30
6、函数）（）（R x x cos x sin x f ∈+=的最大值为( )
A 、 2
2 B 、 1 C 、2 D 、2 7、若a <0，则关于x 的不等式023<+-)a x )(a x (的解集为（ ）
A 、{x |3a <x <-2a }
B 、{x |x <3a 或x>-2a }
C 、{x |-2a <x <3a }
D 、{x |x <-2a 或x>3a }
8、如图1，从A 村去B 村的道路有2条，从B 村去
C 村的道路有4条，从A 村直达C 村的道路有3条，
则从A 村去C 村的不同走法种数为（ ）
A 、9
B 、 10
C 、11
D 、 24 C 村
A 村
B 村
9、如图2，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面
直线AB 1与BC 1所成的角为（ ）
A 、 90°
B 、45°
C 、 60°
D 、30°
10、已知直线y =x -1与抛物线y 2=4x 交于A ，B
两点，则线段AB 的长为（ ）
A 、64
B 、8
C 、24
D 、32
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11、已知一组数据1，3，4，x ，y 的平均数为5，则x +y =_________。
12、已知向量a =（3，-1），b =（x ，4）若a//b ，则x = 。
13、圆(x -3)2+(y -4)2=4上的点到原点O 的最短距离为 。
14、已知=∈-=αππαα则),,(,cos 2
322 。
15、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形， 60BAD =∠，PA ┴
平面ABCD ，PA=2，则该四棱锥P-ABCD 的体积为 。
三、解答题(共有7小题，其中第21、22小题为选做题，共60分)
16、（本题满分10分）已知函数.)(f ),x (log a )x (f 11322=-++=且
（1）求a 的值并指出f (x ) 的定义域；
（2）求不等式f (x )≥1的解集。
17、（本题满分10分）从4名男生和3名女生中任选4人参加独唱比赛，设随机变量ξ表示所选4人中女生的人数。
（1）求ξ的分布列；
（2）求事件“所选4人中女生人数2≤ξ”的概率。
18、（本题满分10分）已知向量a ，b 满足 |a|=2，|b|=4，a 与b 的夹角为60°。
（1）若(2a )·b 的值；
（2）若(a-2b)┴(k a -b )，求k 的值。
19、（本题满分10分）已知等差数列｛a n ｝为的前n 项和为S n ，若a 5=12，S 2=38.求：
（1）数列｛a n ｝的通项公式；
（2）数列｛a n ｝中所有正数项的和。
20、（本题满分10分）已知椭圆C :
)b a (b y a x 012222>>=+的离心率为2
3，且焦距为32，
（1）求C 的方程。
（2）设F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，问：在C 上是否存在点M ，使得MF 1┴MF 2？ 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
注意：第21题、22题为选做题，请考生选择其中一题作答。
21、（本题满分10分）已知A ，B ，C 是∆ABC 的三个内角，且.B cos ,A cos 5
3135=-= （I ）求sin C 的值；
（II ）若BC =5，求∆ABC 的面积。
22、（本题满分10分）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料需磷酸盐20吨、硝酸盐5吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料需磷酸盐10吨、硝酸盐5吨。
现库存磷酸盐40吨、硝酸盐15吨，在此基础上生产这两种肥料。
若生产1车皮的甲种肥料，产生的利润为3万元；生产1车皮的乙种肥料，产生的利润为2万元.那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，才能够产生最大利润？并求出最大利润。