高中数学必修五 3.4 基本不等式 教学课件 PPT (4)

=P；
lg a lg b
Q2=
所以12Pl＜g aQ＜lgRb. lg
a lg
b lg
ab＜lg a b R. 2
【规律总结】利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与 积)，同时要注意结合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
2
即 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 a b c，
当且仅当a b c时，等号成立.
类型二 利用基本不等式证明不等式
1.(2014·天津高二检测)设a，b是正实数，以下不等式：
①
②a>|a-b|-b；③a2+b2>4ab-3b2；④ab+
其中a恒b 成a2立abb的；是(
半弦长.
(3)基本不等式亦可表述为：两个正数的算术平均数不小于它
们的几何平均数.
(4)基本不等式
与不等式a2+b2≥2ab成立的条件不
同，前者是a，ba∈Rb+， 后ab者是a，b∈R. 2
【拓展延伸】基本不等式的常用结论
(1)当x>0时，x+ 1 ≥2；当x<0时，x+ 1 ≤－2.
(2)当ab>0时， x
)
2 ab
>2.
A.①③
【自主解答】1.选D.对于A：a b 1 2 ab 1
2 2 ab
1
不等式成立.
2 2，
ab
ab
对于B：因a为b
相乘得
a
b成立2 .
ab
0，1 a
1 b
2
1 0. ab
对于C： a因为b (
1 a
1 b
)
4
又
a2 b2 a b2成 2立ab. a b2 2(a b)2 2(a b)2，
当ab<0时， x
(3)若a，b∈R，ba则
a b
2；
ba≥aabb， －当2.且仅当a=b时，等
号成立.
a2 b2 (a b)2
2
2
(4)若a，b∈R+，则
当且仅当
a=b时，等号成立.即调a2和 平b2 均 a数≤b 几何ab平 均数2 ≤，算术平均数
22
11
≤平方平均数.
ab
类型一 利用基本不等式比较大小 1.(2014·济宁高二检测)设a>0，b>0，则下列不等式中，不成 立的是( )
条件是____.
2
(3)有关a概=b念：____叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正
ab
数a，b的几何平均2 数.
ab
1.a，b，c是互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列关系中可
能成立的是( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.b>a>c
D.a>c>b
【解析】选C.因为a，c均为正数，且a≠c， 所以a2+c2>2ac， 又因为a2+c2=2bc，所以2bc>2ac， 所以b>a，可排除A，D.取a=1，b=2， 则有c2-4c+1=0，解得c=2± ，
2
2
对于aDb： 因a 为b 1 2 ，所以 a2 b2 a b
2 ab a b
ab
a b 2 ab 1 1 ， a b 2 ab
所以 2ab 2ab ab，即 2ab ab不成立.
a b 2 ab
ab
2.因为a＞b＞1，所以lg a＞lg b＞0，所以Q=
1(lg a+lg b)＞
(1)用a，b如何表示CD？ 提示：由条件知Rt△ACD∽Rt△DCB，所以CD2=CA·CB，所以 CD= .
(2)ABa与b DE的大小关系怎样？
提示：AB≥DE.
(3) a b ab 成立吗？
2
提示：成立.因为AB≥DE，即a+b≥2 ，所以
ab
ab
ab.
(4)C点在何位置时，上述不等式等号成立？
2
提示：当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.
探究2：根据基本不等式及其成立的条件，
回答下列问题：
(1)若a，b同号，则
的关系如何？
ab与 提示：当a，b>0时， 2
ab
源自文库
当a，b<0时，－a，a－2bb>0，ab；
所以a b －－a －b － －a－b － ab，即a b ab.
当c=2- 时，有b>a>c. 3
3
2.不等式a+1≥2 (a>0)中等号成立的条件是
.
a
【解析】a+1≥2 可变形为
a
a 1 等a 号1，成立的条件为a=1.
答案：a=1
2
3.若P=x2+1，Q=2x，则P与Q的大小关系是
.
【解析】根据重要不等式知P=x2+1≥2x，故P≥Q.
答案：P≥Q
基本不等式 探究1：观察如图所示图形，其中AB是☉O的直径，点C是AB上 的一点，CD⊥AB，AC=a，BC=b，据此思考下列问题：
A.a b 1 2 2B.a b(1 1) 4
ab
ab
2C..若a2 a＞b2b＞a 1，bP=DQ=. 2ab(lg aa+blg b)，R=
ab
ab
试比较P，Q，R的大l小g a关lg系b.， 1
lg a b，
2
2
【解题指南】1.对每一选项利用基本不等式逐一判断. 2.在a>b>1的条件下，可得lga>lgb>0，进而可利用基本不 等式比较P与Q的大小；再根据基本不等式及对数函数的单调 性得出Q与R的大小.
3.4 基本不等式： ab a b 2
第1课时 基本不等式
1.理解基本不等式及其证明过程. 2.能用基本不等式证明不等式及比较大小.
重要不等式与基本不等式
(1)重要不等式：a2+b2_≥__2ab，条件：a，b∈R；“=”成立的
条件是：____.
a=b
(2)基本不等式：__a_b___a __b_，条件：a>0，b>0，“=”成立的
【变式训练】已知a，b，c都是非负实数，试比较 a2 b2
与 (a+b+c)的大小.
b2 c2 c2 a2
2
【解析】因为a2+b2≥2ab，所以2(a2+b2)≥(a+b)2，
所以 a2 b2 2 a b，
2
同理 b2 c2 2 b c，c2 a2 2 c a，
2
2
所以 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2［a b b c c a ］，
2
2
2
(2)当a，b异号时，不等式 a b ab 成立吗？ 2
提示：一定不成立，因为当a，b异号时，ab<0，所以 无意
ab
义，故不等式一定不成立.
【探究总结】对基本不等式的四点说明
(1)“当且仅当”的含义是a=b⇔ a b ab. (2)基本不等式的几何意义是：圆的2半径不小于垂直于直径的