第一换元积分法的技巧

第一换元积分法的技巧

摘要：第一换元积分法是不定积分教学中的重点和难点。文中从基本初等函数着手，探讨了第一换元积分法的常用解题技巧。

关键词：基本初等函数第一换元积分被积表达式

第一换元积分法（也称凑微分法）是最基本的积分方法，是基本思想就是数学中的化归思想

化难为易、化繁为简。由于被积函数的复杂性、多样性，换元的技巧性强，灵活性大，因此同学们在具体使用时不知如何换元。本文就从基本初等函数着手探讨第一换元积分法的解题技巧，此方法可以使初学者更快、更好地理解和掌握第一换元积分法。

1基本理论

1.1基本初等函数

基本积分表给出的都是基本初等函数的积分运算，因此要想利用积分表，必须首先将被积函数变形成基本初等函数的形式。为此，先介绍基本初等函数：

在上面的五类基本初等函数中x只能具备这样的形式，不能是经

过有限次四则运算或有限次复合运算之后的形式，否则就是初等函数了。

1.2第一换元积分法依据的主要定理

从定理可知，利用第一换元积分法进行计算时，第一步：找到中间变量（内层函数），换元将被积函数变形成基本初等函数，第二步：利用基本积分公式进行求解。在这两步中，第一步是关键，也是难点。本文结合基本初等函数的类型，通过例题，总结技巧和规律，突破难点。

2基本技巧

这部分主要从上面基本初等函数x中的变化找到被积函数中复合函数的内层函数，然后进行换元求解。

2.1被积函数中复合函数为幂函数

上述例题依托基本初等函数，条理清楚，学生只需观察被积函数中复合函数为哪类基本初等函数，然后对照x的变化即可得到换元函数。学生平时学习中要多做题熟悉公式，还应注意多总结规律性的技巧以帮助更好的理解和掌握题目。

3结语

总之，在利用第一换元积分法时，应着眼于基本初等函数中x的变化，从而进行换元。另外对这种方法的理解也应该是在不断练习总结的过程中得以体会。注意此方法对有些题目也不太适用，还需要学生在掌握此技巧的基础上灵活换元。只有在基本类型比较熟练的时候才能达到举一反三的效果。

参考文献

[1]同济大学数学系，高等数学[M]．高等教育出版社，2010：194 -199．