第三章多维随机变量及其分布

【注】边缘分布律可由联合分布律表所决定:
Y
X
y1
y2
yj
pi.
x1 x2
p11
p21
p12 p22
p1 j
p1. p2.
p2 j
xi
pi1
pi 2
pij
pi.
p. j
p.1
p.2
p. j
1
即 pi. 是联合分布律表中 x 所在行的概率之和
i
p. j 是联合分布律表中 y j 所在列的概率之和
• 例：令随机变量X表示在1,2,3,4中等可能地 取一个值，令随机变量Y表示在1~X中等可 能地取一个值。求(X,Y)分别关于X和Y的边 缘分布律。 • 解：P{X=i,Y=j}=(1/i)(1/4),(i≥j) 于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布 1 2 3 4 P{Y=j} 律为 Y X
F ( x, y ) P ( X x, Y y ) pij
xi x y j y
其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y的来求和的
• 例：令随机变量X表示在1,2,3,4中等可能地 取一个值，令随机变量Y表示在1~X中等可能 地取一个值。求(X,Y)的联合分布律及F(3,2)。 • 解： P{X=i,Y=j}=(1/4)(1/i)(i≥j) 于是(X,Y)的分布律为
其中1, 2 ,1 0, 2 0, 1 1为常数，称(X,Y)服 2 2 , , , 从参数为 1 2 1 2 , 的二维正态分布，记 为 ( X , Y ) ~ N (1, 2 ,12 , 22 , ) 。
§2 边缘分布
• 二维随机变量(X,Y)作为一个整体有分布函 数F(x,y)，而其分量X和Y是一维随机变量， 它们各有其分布函数，记作FX(x)和FY(y)称 为二维随机变量(X,Y)分别关于X和Y的边缘 分布函数。 • 边缘分布函数可以由X、Y的联合分布函数 F(x,y)确定
F ( x, y)

f (u, v)dudv
x
y
则称(X,Y)为二维连续型随机变量， 称f(x,y) 为(X,Y)的概率密度或称为X和Y的联合概率 密度或联合密度函数。
• 二维连续型随机变量联合密度函数的性质 (1)非负性f(x,y)≥0
f ( x, y)dxdy 1 (2)
Y 1 2 3 4 X 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16
F(3,2)=P( X 3, Y
2)
1 1 1 1 1 2 0 4 8 8 12 12 3
（三）二维连续型随机变量 • 定义：设二维随机变量(X,Y)的联合分布函 数为F(x,y)。如果存在非负函数f(x,y)，对任 意实数x,y，有

i 1, 2,
i 1
j 1
j 1
j 1
p. j P(Y y j ) P( ( X xi ), Y y j ) P( X xi , Y y j ) pij ,


j 1, 的边缘分布律
1 e0.5 x e0.5 y e0.5( x y ) x 0, y 0 F ( x, y) . 其它 0
求(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数FX(x) • F 解： (X,Y)关于X的边缘分布函数 Y (y )
FX ( x) F ( x, ) lim F ( x, y)
FX ( x) P( X x) P( X x, Y ) F ( x, ) lim F ( x, y)
y
FY ( y ) P(Y y ) P( X , Y y ) F (, y ) lim F ( x, y )
x
• 例：设(X,Y)的联合分布函数
第三章 多维随机变量及其分布
• 在实际问题中，某些随机试验往往需要同 时综合几个因素来讨论其结果。
– 研究某一地区学龄前儿童的发育情况，需要综 合考虑身高和体重的因素。样本空间S={e}={某 地区全部学龄前儿童}，在样本空间S上定义两 个随机变量H(e)和W(e)表示身高和体重，则学 龄前儿童的发育情况可用向量(H,W)表示。 – 如射击时考虑子弹在靶标上的位置，我们用定 义在同一个样本空间S上的两个随机变量X(e)和 Y(e)分别表示子弹在靶标上的横坐标与纵坐标， 则子弹在靶标上的位置可用向量(X,Y)表示。
0 1 6/20 6/20 6/20 2/20
3 2 6 P( X 0, Y 1) 5 4 20
• 二维离散型随机变量联合分布律的性质 (1) 0≤pij≤1 (2)
p
i 1 j 1

ij
1
(3)设二维离散型随机变量X和Y具有分布律 P{X= xi,Y= yj}=pij ,(i,j=1,2,...)，则二维离散型 随机变量(X,Y)的联合分布函数为
FY ( y ) F (, y ) lim F ( x, y )
x 0.5 x 0.5 y 0.5( x y ) 0.5 y lim [1 e e e ] y 0 1 e y0 x . y0 y 0 0 0
• 二维随机变量分布函数F(x,y)的性质 (1) F(x,y)分别关于x和y单调不减。 即当x2>x1时，F(x2,y)≥F(x1,y) 当y2>y1时，F(x,y2)≥F(x,y1)
(2)0≤F(x,y)≤1且
F ( x, ) F (, y) F (, ) 0, F (, ) 1
(3) F(x,y)分别关于x和y右连续， 即 F(x,y)=F(x+0,y) F(x,y)=F(x,y+0)
(4)对于任意(x1,y1)(x2,y2)，若x1<x2，y1<y2， 则随机点(X,Y)落在矩形区域 {(x,y)| x1<X≤x2, y1<Y≤y2}的概率 P(x1<X≤x2, y1<Y≤y2)= F(x2,y2)- F(x1,y2)F(x2,y1)+ F(x1,y1)≥0
2 F ( x, y ) (3)若f(x,y)在点(x,y)连续，则有 f ( x, y) xy

(4)设G是xOy平面上的一个区域，点(X,Y) 落在G内的概率为 P(( X , Y ) G ) f ( x, y )dxdy
G
• 例：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
Y
y1
y2
yj
X
x1 x2
p11
p21
p12 p22
p1 j
p2 j
xi
pi1
pi 2
pij
• 例: 袋中有2个黑球3个白球，从袋中随机取 两次，每次取一个球，取后不放回。令 1 第一次取到黑球 1 第二次取到黑球 X , Y , 0 第一次取到白球 0 第二次取到白球 求(X,Y)的联合分布律。 • 解：(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 则(X,Y)的联合分布律为 3 2 6 P ( X 0, Y 0) X Y 0 1 5 4 20
P{Y X } P{( X , Y ) G}
p ( x, y )dxdy
G


0


y
2e
( 2 x y )
1 dxdy 3
• 例：设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数
1 1 (1 )(1 ) x 1, y 1 x y F ( x, y) 0 其它
• 常用的二维连续型随机变量 (1)设G为平面上的有限区域，如果(X,Y)的 概率密度为 1
( x, y) G f ( x, y) A(G) , 0 ( x, y) G
其中A(G)是区域G的面积，称(X,Y)服从区 域G上的均匀分布。
(2)如果(X,Y)的概率密度
x 1 2 1 f ( x, y ) exp{ [( ) 2 2 2(1 ) 1 21 2 1 1 x 1 y 2 y 2 2 2 ( )( )( ) ]}, x, y , 1 2 2
求(X,Y)的联合概率密度函数。 • 解：
1 f ( x, y ) x 2 y 2 0 x 1, y 1 其它
• 关于二维随机向量的讨论，可以推广到 n(n>2)维随机向量的情况。 • 设(X1, X2,…, Xn)为n维随机向量，对于任意 n个实数x1, x2,…, xn，n元函数 F(x1, x2,…, xn)=P{X1≤x1,X2 ≤x2,…, Xn ≤xn} 称为n维随机向量(X1, X2,…, Xn)的分布函数或 随机变量X1, X2,…, Xn的联合分布函数。它具 有类似于二维随机向量的分布函数的性质。
（二）二维离散型随机变量 • 定义：如果二维随机变量(X,Y)的可能取值 是有限组或可列无限组，则称(X,Y)为二维 离散型随机变量，将(X,Y)取每组值的概率 P{X= xi,Y= yj}=pij ,(i,j=1,2,...) 称为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布 律。
二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表
kx 0 x y 1 f ( x, y) . 0 其他
• 解：(1)由 得
求：(1)常数 k；(2)P(X+Y≤1)
f ( x, y )dxdy 1
1 1

k 1 dx kxdy 6 0 x
1 2
所以 k=6 (2) P( X Y 1)
y 0.5 x 0.5 y 0.5( x y ) 0.5 x lim [1 e e e ] x 0 1 e x0 y x0 x 0 0 0