3.2 简单的三角恒等变换2

3.2 简单的三角恒等变换2
一、三维目标
知识与技能：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，能推导半角公式，积
化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

过程与方法：对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何
根据问题的条件进行公式变形。

情感态度与价值观: 在变换过程中体现换元、逆向使用公式等数学思想方法，从而加深
理解变换思想，提高学生的推理能力。

二、学习重、难点：
重点： 形如sin cos y a x b x =+的函数的变换。

难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从
整体上把握变换过程的能力。

三、学法指导:熟记所学的三角公式，体会三角变换的数学思想方法，利用小组合作，
探讨研究形如sin cos y a x b x =+的函数的变换。

四、知识链接:写出三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等公式 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式：
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式：
3.半角公式：
1cos sin
2
2α
α-=±
，1cos cos 22αα+=±，1cos tan 21cos αα
α
-=±+， 五、学习过程 A 例1.求证：
⑴1
sin cos [sin()sin()]2
αβαβαβ=
++-
⑵sin sin 2sin
cos
2
2
θϕ
θϕ
θϕ+-+=．
A 例2.计算或化简
（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-； 2、化简2cos 6sin x x -
B 例3.如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为
3
π
的扇形，C
是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积。

C 例4. 已知函数2
()5sin cos f x x x x =-+
（其中x ∈R ），求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间;
(3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心。

六、达标检测:
A1.已知3sin ,5
αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭的值。

A2.利用和（差）角公式计算或化简下列各式：
（1）、cos 20cos70sin 20sin 70-；
（2）. sin
12
12
π
π
B3.已知5sin 2,,1342
ππ
αα=
<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值。

B4. 求函数2()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最值。

C5.已知1
sin cos ,05
αααπ-=≤≤，求sin(2)4
π
α-
值。

C 6.[]1已知函数22(sin cos )2cos y x x x =++（1）求它的递减区间；（2）求它的最大
值和最小值
[]2.已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--（1）求它的最小正周期
（2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎦⎣
时，求它的最小值以及取得最小值时自变量的集合。

C7、已知函数22
sin sin 23cos y x x x =++，求
（1）函数的最小值及此时的x 的集合。

（2）函数的单调减区间
（3）此函数的图像可以由函数2y x =
的图像经过怎样变换而得到。

七、课堂小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，
在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用。

sin cos y a x b x =+的函数的变换。

八、课后反思：
简单恒等变换学案2答案
A 例1、求证：
（１）、()()1
sin cos sin sin 2αβαβαβ=
++-⎡⎤⎣
⎦； （２）、sin sin 2sin
cos
2
2
θϕ
θϕ
θϕ+-+=．
证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．
两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；
即()()1
sin cos sin sin 2
αβαβαβ=
++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，
那么,2
2
θϕ
θϕ
αβ+-=
=
．
把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin
cos
2
2
θϕ
θϕ
θϕ+-+=．
A 例2计算或化简
（1）、()1
sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242
sin 302
-=-==
；
（2）x x
)()1
cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭
B 例3分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大，可分二步进行：
⑴找出S 与α之间的函数关系；
⑵有的处的函数关系，求出S 的最大值． 解：设矩形ABCD 的面积为S ，则
S=AB •BC=(33
cos -
αsin α)sin α =
3
1sin(26
3)6
-
+
π
α 当6
π
α=
时 S=
6
3 因此，当6
π
α=
时，矩形ABCDde 面积最大，最大面积为
6
3 C 例4
解：f （x ）=5sin(2x-
3
π) (1)最小正周期为π (2)增区间：5,1212k k ππππ⎡⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
， 减区间：511,1212k k ππππ⎡⎤
+
+
⎢⎥⎣
⎦
，其中k ∈Z (3)对称轴方程：5,212k x ππ=+ 对称中心：,026k ππ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，其中k ∈Z 达标测试：
A1、已知3sin ,5
αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭的值.
解：因为3sin ,5αα=-
是第四象限角，得4cos 5α===，
3
sin 3
5tan 4cos 45
ααα-
===- ，
于是有
43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫
⎛⎫-=-=--=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫
⎛⎫+=-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3
tan tan
1
44tan 7341tan tan 144π
απαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭
A2（1）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070
cos90
0-=+==
（2）sin
212
cos
312
=-π
π
sin(
12π-3π)=-2sin 4
π
=-2 B3、已知5sin 2,,1342
ππ
αα=
<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由
,4
2
π
π
α<<
得
22
π
απ<<．
又因为5sin 2,13α
=12cos 213α===-．
于是512120
sin 42sin 2cos 221313169
ααα⎛⎫==⨯
⨯-=- ⎪⎝⎭； 2
25119
cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯=
⎪⎝⎭
；120
sin 4120169tan 4119cos 4119169
ααα-
===-
B4：f(x)=2(1-sin x 2)+3sinx=-2(sinx-
43)8
252+ 当x=
4
3时，. y max =25
8, 当x=-1时，y
3min
-=
C5： 解： 22
5
1
cos sin 〈
〈-〈αα 又25
24sin2240=∴〈〈∴≤≤απαππα 257cos2-
=∴α 250
31
)42(sin =
-∴πα C6： (1)y=2sin(2x+
4π)+2 减区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππK 85,K 8 K ∈Z y max =2+2 y min =2-2
(2) y=2cos(2x+
4
π
) 最小正周期T=π 当x=π8
3时 y min =-2
C7： 解： y=2sin(2x+
4
π
)+2 （1）函数的最小值为2-2 此时x 的集合为{Z K ,K 8
3x x ∈+-=ππ}
（2），减区间⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡++ππππK 85,K 8 K ∈Z
（3）先把y=sin2x 向左平移
8π个单位，再把y=sin(2x+4
π
)向上平移个单位就得到 y=2sin(2x+
4
π
)+2的图像。