06旋转圆盘--弹塑性力学讲义幻灯片

maxs
s
3
e emax4sa2 ( 3)b4a4
AB、CD：由剪应力不超过剪切屈服条件确定，否则在最 大剪应力处产生切向塑性流动。
结论：
1.角加速度的存在，使旋转圆盘达到弹性极限 或塑性极限状态时的角速度都比等角速度旋转 圆盘在相应状态下的极限值小，且角加速度越 大，极限状态时的角速度越小。
第六章 旋转圆盘的分析
§ 6－1 等速旋转圆盘的分析 § 6－2 变速旋转圆盘的分析 § 6－3 等速旋转圆轴的分析
§ 6－1 等速旋转圆盘的分 析
一、弹性分析
1. 基本方程
❖ 等厚旋转圆盘以等角速度绕其中心轴转动，若材料的 密度为，则径向离心力（即径向体力分量）为：
fr 2r
平衡方程：
r
drr 2r0
积分得：
d(rd r)1 1 2r0
rC1C r2 283 (1 2 ) 2r2
C1C r2 281 (1 2 ) 2r2
z(r)
urE r[(rz)]
1．实心圆轴： 对半径为 b 的实心圆轴，设外边界为自由边界、端部
不受外力作用。
r=0 处，r与 为有限值：C2=0 r=b 处，无面力:
r rbFr0 C1 83(12)2b2
解得：
uA rB12 2r2
r 8E
rC 1C r2 23 8 2r2
C 1C r2 2183 2r2
E
E
C11A, C21B
d r 2 r r 0
dr r
d( r r 2 ) r 3
dr
边界条件：
r
Cr23
1r2
4
➢ 内半径为a、外半径为b，厚度为h（h远小于b）的空心圆 盘，设内孔表面与外边界为自由边界（无面力）。
等强度条件： rconst
设旋转圆盘的厚度 h 为 r 的函数.
取微元体考虑平衡条件
平衡方程：
d(h drrr)hh 2r0
1dh 2r 0 hdr
dh 2r dr
h
dh 2r
dr
h
2rr
hCe 2
h r0 h0
2rr
h h0e 2
位移分量：
urr( E r )1 E r
§6-2 变速旋转圆盘的分 一、基本析方程
rb1 rb2
Eb(b2 b1)
为保证套装的可靠性，套装应力不能为零。 工程上把套装应力为零所对应的角速度称为松脱角速度，
用 * 表示。
当达到松脱角速度时，在 r=b 处的套装压力为零，则有：
*1 b1 4* 2b2[3 ()b c2 2(1)]
*b 21 4* 2b2[3 ()a b2 2(1)]
5．圆盘与轴的套装问题：
➢ 内外半径为b、a 的圆盘（2）与内外半径为 c、b 的轴
（1）套装，套装前的过盈量为 ，轴在套装处的径向
位移为：u1b；圆盘在套装处的径向位移为：u2b；套装 的几何条件：
u2bu1b
u2bE b(b2rb2)
1
u1bE b(b1rb1)
2
套装处轴和圆盘的边界条件（径向压力相等）：
平衡方程：
drr 2r0
dr r
弹性本构方程： r 1E2(r 1)
1E2(1 r)
z(r)
几何方程：
r
du dr
u r
由几何方程得应变协调方程：
r
r
d
dr
0
将本构方程代入上式得： r (1 )rd d -rrd d rr) 0
由平衡方程： rd r (1 )rd rd r 2 r 2 0 dr dr dr
连续条件：r=rp时：u连续
位移分量： u 2E sr 13 2 p s rp 2 5 2 13 2 p s r2 2 3 (rpr0)
径向位移与角速度的关系：
l e
ur=b o ue ul
在外边界处，塑性极限状态与弹性极限状态位移之比：
ul rb ue rb
3.5
三、工程中的等强度旋转圆盘
取： (r)rr
d2r2
dr
(r) 称为应力函数。
代入协调方程得：
r2d d2 2rrd d r(3)2 r20
解得：
C 1rC r23 8 2r2 rC 1C r2 23 8 2r2 C 1C r2 2183 2r2
3. 实心圆盘：
rC 1C r2 23 8 2r2 C 1C r2 2183 2r2
r2r2 3r 2s 2
ra:r 0 342(b21 3 a2) r b44a2a4
弹性极限角速度与角加速度的关系：
e2me2
2 ax
eme aLeabharlann Baidu2
1
e 2 m 4 a s x 3 b 2 1 a 2
e m 4 as a x 2 3b 4 a 4
r rb 0
r
1 4
b2(br22
r2 b2 )
rrarrb0
C1
3
8
2(b2
a2 )
C2
3
8
2b2a2
r
32(b2
8
a2
ar2b22
r2)
32(b2
8
a2
a2b2 r2
133r2)
❖ 弹性极限状态： 设材料为理想弹塑性体，服从Mises条件。
(r ) 2 (r z ) 2 (z ) 2 6 r2 2 s 2
r
h b
r
r
o
b
r0:r3 82 b2
应变分量：
r
12[(3)b23(1)r2]
8E
12[(3)b2(1)r2]
8E
位移分量： u r 1 8 E 2 r [3 ( )b 2 (1 )r 2 ]
4．空心圆盘：
➢内、外半径为a、 b ，厚度为 h（h 远大于 b ）的空心圆盘
➢内孔表面与外边界为自由边界。
应力分量：
r
32 8(1)
2(b2
r2)
32 2(b2 8(1)
12 r2) 32
r0:rm a xm a8 x 3 (1 2 )2 b2
若端部不受外力作用：Nz=0 b
zdA 2 zrdr 0
A
0
b
E z ( r )rdr 0
0
当应变为常数时得：
Ez
2b2
2
z (34(12))2[b2[2b222r2]r2]
r
r
o a ab b
ra: brm a3 x 82 (b 2 a 2)
应变分量：
r
3
8E
2[1 ()b (2a2)(1)ar2b 223(3 1 2)r2]
3
8E
2[1 ()b (2a2)(1)ar2b 22132r2]
位移分量：
u 3 8 E2 r [1 ()b 2 ( a 2 ) ( 1 )a r 2 b 2 2 1 3 2 r 2 ]
2.剪应力具有静定性质，即由平衡方程和边界 条件确定，与应力组合是否进入塑性状态无关。 剪应力的存在，使旋转圆盘的主应力方向随时 间而变化。
§6-3 等速旋转圆轴的分析
一、弹性分析
➢ 圆轴以等角速度 绕其中心轴转动（平面应变问题）。 ➢ 若材料的密度为，则径向离心力（即径向体力分量）为：
fr 2r
超速工序：0p 0 e
4. 位移分量：
=1/2，ij=e ij
弹性区： urE 1(r)
u E r 2 s 2 p r2 3 3 2 3 5 r 2 r p 4 4 5 r 8 r p 2 (rp r b )
塑性区：
平面应力状态： z=0 体积不可压缩：z= -（r+） 形变理论：（r-z）：（-z）=r：
drr 2r0
dr r
r2r2 3r 2s 2
d rr4 s 23 r 2 1r 2 2 2 r0
dr
2 r
边界条件： rrb0 rrp:(r)e(r)p ()e()p
➢ 数值解法求塑性极限状态
当塑性区扩大到外边界时，进入塑性极限状态，此时rp=b，
角速度达到塑性极限角速度l：
b/a=2；=0.3
s
1 3
12
p2rp2
C2
13
24
p2rp2
2p
[(1 3)rp4
24b2s 2(1 3)b2rp2
3(3 )b4]
弹性区内的应力分量：
rsp 2 r 2 [ 3 8 1 2 3( 4 r r p ) 4 1 1 3( 2 r r p ) 2
sp 2 r 2 [ 1 8 3 1 2 3( 4 r r p ) 4 1 1 3( 2 r r p ) 2
r s1 3 p2r2C r3
实心圆盘：r =0 时，r 为有限值：C3 = 0
塑性区的应力分量为：
r
s
1
3
p2r2
s
(0rrp)
弹性区内的应力分量： rC 1C r2 23 8 p2r2
边界条件：
C 1C r2 21 8 3p 2r2
rrb0
rrp:(r)e(r)p ()e()p
解得：
C1
r2)
83(12)2(b2a2ar2b22 1322r2)
z 4((314 (12)))2[ b2[2b2a 2a2 3 22r22]r2]
z const z 0
二、弹塑性分析（理想弹塑性材料）
半径为 b 的实心圆轴，体积不可压缩：=1/2。
r
1 2
2(b2
r2)
1 2(b2 r 2 )
松脱角速度为：
* 2
b
E b(3)a2b2c2
圆盘与实心轴套装： *2 E a b(3)
二、弹塑性分析（理想弹塑性材料）
1. 弹性极限状态：（半径为 b 的实心圆盘）
r
h b
r
3
8
2(b2
r2)
3 2(b2
8
13 r2) 3
r
r
o
b
r0:r3 82 b2
屈服条件： M oT r:r 3 82 b 2 s
4(1)
32
z const z 0
2. 空心圆轴：
内半径为a、外半径为 b 的空心圆轴，设内孔表面与外边
界为自由边界。
r=a 处与 r=b 处，无面力： rrarrb0
C1
3 2 8(1 )
2(b2
a2 )
C2
3 2 8(1 )
2b2a2
应力分量：
r
32 2(b2 8(1)
a2ar2b22
➢半径为 b ，厚度为 h（h 远小于 b ）的实心圆盘 ➢设外边界为自由边界。
r=0 处，r 与 为有限值：C2 = 0
r=b 处，无面力：
r rbFr 0
r
C1
32b2
8
r
3
8
2(b2
r2)
3 2(b2
8
13 r2) 3
h b
应力分量：
r
3
8
2(b2
r2)
3 2(b2 13 r2)
8
3
r=a 处与 r=b 处，无面力： rrarrb0
rC 1C r2 23 8 2r2
C 1C r2 2183 2r2
r
C1
3
8
2(b2
a2 )
C2
3
8
2b2a2
ab
h
应力分量：
r
32(b2
8
a2
a2b2 r2
r2)
32(b2
8
a2
ar2b22
133r2)
r
ab
h
ra:m a3 x 42 (b21 3 a2)
dr r
h b
弹性本构方程：
几何方程：
r E 1(r )
E 1( r) z E (r )
r
du dr
u r
边界条件：
r S Fr u Su u
2．解答：
由几何方程得应变协调方程： 将本构方程代入上式得：
r
r
d
dr
0
由平衡方程：
(1 )( r) r(d d - rd d r) 0
d(d rrr) 2r20
s
r
o rp
b
塑性区的应力分量：
r s 13p2r2
s
(0rrp)
r
3. 塑性极限状态
当塑性区扩大到外边界时，进入塑性极限状态，此时rp=b，
角速度达到塑性极限角速度
l
：
l
1 b
3 s
应力分量为：
r
s (1
r b
2 2
)
s
塑性极限角速度与弹性极限角速度之比为：
el
3(3)
8
13 1.118 12 1.146
❖ 等厚旋转圆盘以角速度 、角加速度 d/dt 绕其中心 轴转动。
❖ 若材料的密度为，则径向离心力（即径向体力分量） 和切向惯性力为：
fr 2 r , f r
❖ 若不考虑刚体位移，圆盘的几何形状及体力与无关， 故应力分量、应变分量及位移分量均为r的函数。
平衡方程：
dr r 2r 0
dr
r
dr 2r r 0
dr r
弹性本构方程： r 1E2(r )
E
12
(
r)
边界条件：
r S Fr
u Su u
几何方程：
r Gr
r d du r u r r d d v r v r
二、弹性分析：
将几何方程代入本构方程中，再代入平衡方程得：
d d2u 2r1 rd d u rru 21 E 22 r0
三、弹塑性分析：
e2me2ax2
emeax
2
1
e2max 4s 3 b2 1a2
emax 4sa2 ( 3) b4 a4
弹性区内的应力分量： rC 1C r2 23 8 p2r2 C 1C r2 21 8 3p 2r2
r 1 4 b2(b r2 2b r2 2)
在塑:性 区 r0
2
z
12[b22r2]
4
=r z
弹性极限角速度：
e
1 b
8s (3)
应力分量：
r
(1
r b
2 2
)
s
s
(1 1 3 3
r2 b2
)
s
o
r
b
2. 弹塑性状态
e
弹 性 区 与 塑 线性 为区 以 rp的 的 半 ,此 圆 分 径时 界 为角 p速 :
在塑: 性 区 r 0
T: s
平衡方程：
drr 2r0
dr r
d(d rrr)sp2r2