函数的奇偶性

函数的奇偶性

第一部分 知识清单

一、函数单调性的判断方法 （1）定义法： ①一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

②一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有

)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

③“定义域不对称别谈奇偶性”：奇函数、偶函数的定义域都是关于原点对称的. ④奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称 （2）奇偶性的合成与运算：

①两个奇函数相加减得奇函数，两个偶函数相加减得偶函数

奇±奇=奇 偶±偶=偶

②两个奇函数相乘除得偶函数，两个偶函数相乘除得偶函数，奇函数与偶函数相乘除得奇函数

⎩⎨⎧奇×奇=偶，奇÷奇=偶. ⎩⎨⎧偶×偶=偶，偶÷偶=偶. ⎩⎨⎧奇×偶=偶，奇÷偶=偶.

归纳：同性质的相乘除得偶，异性质的相乘除得奇，即“同偶异奇”

③奇函数的倒数、相反数仍然是奇函数，偶函数的倒数、相反数仍然是偶函数

1奇 =奇 —奇=奇 1

偶

=偶 —偶=偶 归纳：将函数取倒数、相反数均不会改变其奇偶性 ④奇函数的平方、绝对值是偶函数： 奇²=偶 |奇|=偶 （3）常见函数的奇偶性

①奇数幂为奇函数：x ，x 3，x 5，……，以及它们的倒数、相反数构成的式子： 1x ，3x 3 ，5

x

5 ，-3x ，-x 3，-2x 5，……，都是奇函数 而偶数幂：x 2，x 4，x 6，……，以及它们的倒数、相反数构成的式子： 1x 2 ，3x 4 ，5x

6 ，-x 2，-3x 4，-2x 6

，……，都是偶函数 ②奇次方根系列的函数：3x ，5x ，7

x ，…… ③三角函数：sinx 、tanx 为奇函数 ④|x|为偶函数

第二部分 微题快测

1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )

2．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝x 2

C ．y ＝x 2

＋x

D ．y ＝x 3

3．函数f(x)＝x 3

＋3

x 的奇偶性为( ) A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a ＝____. 5.判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x ＋1； (2)f(x)＝x －1＋1－x (3)f(x)＝|x －2|＋|x ＋2|； (4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

12x 2

＋1，x ＞0

－1

2x 2

－1，x ＜0

.

(5)f(x)＝1x

； (6)f(x)＝－3x 2

＋1；

(7)f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2

＋x ，x<0，

x －x 2

，x>0； (8)f(x)＝0；

(9)f(x)＝2x ＋1； (10)f(x)＝x 3

－x

2

x －1.

(11)f(x)＝(x －1)

x ＋1x －1； (12)f(x)＝1－x

2

|x ＋2|－2

. （13）y ＝3

x ； （14）y ＝1x (x>0)；

（15）y ＝x 3

＋1； （16）y ＝x 2

＋1

x

，

（17）f(x)＝|x|＋1 （18）f(x)＝1

x

－x

6.已知函数f(x)＝

ax ＋b 1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝2

5

，求函数f(x)的解

析式.