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线性规划专题——SIMPLEX 单纯形算法（三）图解——示例、注意点

线性规划专题——SIMPLEX 单纯形算法（一）

线性规划专题——SIMPLEX 单纯形算法（二）

前面两篇博文已经把单纯形算法里面的核心思想给解释清楚了，主要是要认识到在线性规划里面的以下几点：

目标函数的最优值一定在可行域的顶点取得。

可行域的顶点对应这系数矩阵的一组基；系数矩阵的一组基也对应这一个可行域上的顶点

顶点的转移是通过在旧的基本列里面加入新的列，同时为了保持rank 一致，再从基本列里面删去一列。在转移的时候，重点就是要求出那个λ?vec lambdaλ来，它其实是使得Aλ?=0Aveclambda=0Aλ=0 的λ?vec lambdaλ的解，只不过在解这个方程的时候，选择AAA 的那组旧的基本列来求解。

单纯形法的终止条件是，添加任意的非基本列都不能改善目标函数，此时目标函数到达最小值。

OK,本博客来看看到底如何来用这个单纯形法来解线性规划。

一般，单纯形法会使用一个表格。使用表格来记录。我们来举几个例子。

再次使用如下记号来表示线性规划的松弛型：

几个例子

假设存在如下的线性规划：

这是一个标准型的线性规划。我们添加松弛变量，得到松弛型：

这个线性规划的右边的所有bib_ibi? 都是非负的，所以：X=[0,0,0,4,2,3,6]X=[0,0,0,4,2,3,6]X=[0,0,0,4,2,3,6] 就是满足条件的一个顶点。

我们画出下面这个表格出来：

这个表格一共有5部分组成。

第1部分，表示各个变量。

第2部分，目标函数的各个系数，这些系数是与第一部分的变量是对应起来的。c￣ioverline c_ici? 与 xix_ixi?对应。

第3部分，当前得到的目标函数值的相反数。

第4部分，对应于AX=bAX=bAX=b 的 b，它其实表示了选定基本列后，基本列对应的xix_ixi?的值，那些非基本列的xjx_jxj? 全部为0。上面的表格说明基本列是第4,5，6,7列，这组基对应的顶点是X=[0,0,0,4,2,3,6]X=[0,0,0,4,2,3,6]X=[0,0,0,4,2,3,6] 第5部分，系数矩阵。每一列与变量也是对应的，第i列表示第i个变量的系数列。

注意，我们需要始终保持基本列都是eie_iei? ,eie_iei?是单位阵的第iii列。化成这种形式是为了方便的解方程和求λ?vec lambdaλ。

怎么操作呢？

每次从第2部分中，选择一个负的 c￣ioverline c_{i}ci? ，负的意味着把cic_ici?对应的列添加进来以后，目标函数是会减少的量的多少。

例如，现在x4,x5,x6,x7x_4,x_5,x_6,x_7x4?,x5?,x6?,x7? 对应的列都是基本列，现在c￣1overline c_1c1? 是小于0的。那么，我们就想把这一列换到基本列去，然后把旧的基本列某一列给丢掉。

既然要换入第1列，那么我们就要解出λ?vec lambdaλ来，也就是要用第4，5,6，7列去表示第1列。

我们发现第1列是[1,1,0,0][1,1,0,0][1,1,0,0]，而基本列刚好是单位阵的列，所以第1列其实也就表明了如何用基本列去表出它。即我们可以很快的写出：λ?=[?1,0,0,1,1,0,0]vec lambda=[-1,0,0,1,1,0,0]λ=[?1,0,0,1,1,0,0].后面4个元素就是第1列的4个元素，这得益于基本列是单位阵的列。

找到了λ?vec lambdaλ,我们选择合适非负的θthetaθ,使得X′=X?θλ?X#x27;=X-theta vec lambdaX′=X?θλ也是个顶点。为啥要选择非负的θthetaθ呢。

这是因为：Aλ?=0?Aveclambda=vec 0Aλ=0，而AX=bAX=bAX=b，于是AX′=AX?θAλ?=bAX#x27;=AX-theta Aveclambda=bAX′=AX?θAλ=b 是满足第一个约束。

考虑到X′=X?θλ?X#x27;=X- theta vec lambdaX′=X?θλ里面，X=[0,0,0,4,2,3,6]X=[0,0,0,4,2,3,6]X=[0,0,0,4,2,3,6] 的每一项都是非负，而且是非基本列对应的项为0，第1列不是基本列，所以x1x_1x1?也是0。而λ?vec lambdaλ出了第1项为-1，其他也全部非负。当θ≤0theta leq 0θ≤0,那X′X#x27;X′的第1项x1′=?θλ1=θlt;0x#x27;_1=-thetalambda_1=theta lt;

0x1′?=?θλ1?=θ0 就不满足条件了。

所以得考虑非负的θthetaθ。

这个θthetaθ的取法是，用表格的第4部分的每一行的元素去对应除以第1列的元素，得到他们的最小非负的商。对于30frac{3}{0}03? 和60frac{6}{0}06? 的情况，记他们的商为正无穷。

这样除下去，我们得到所有可能的θ?vec thetaθ为[4,2,+∞,+∞][4,2,+infty,+infty][4,2,+∞,+∞]，其中最小的是θ2=2theta_2=2θ2?=2，于是选择θ=2theta=2θ=2，然后现在关键来了：以第1列的第2行为主元，通过高斯消元法，把第1列第2行的其他元都消掉，包括c￣overline cc那一行，消元的时候带着第4部分一起消。

经过处理后，我们得到：

变化后：

变化前：

注意变化前后的对比。

变化后，我们获得一组新的基本列：第1列，第4列，第6列，第7列，而且每一列都是正交单位向量(这意味这把原来的第5列给踢掉了)。而且c￣1overline c_1c1? 的值是0。这组基下的顶点的坐标是：X=[2,0,0,2,0,3,6]X=[2,0,0,2,0,3,6]X=[2,0,0,2,0,3,6]，此时的目标函数值为：-2。这个值通过看第3部分可得到。

接下来，我们再看新状态下，第2部分是否有小于0的c￣ioverline c_ici? ,发现c￣3overline c_3c3? 小于0。