习题解答9定积分的概念与性质---定积分的换元法和分部积分法
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【2019年整理】定积分的换元法与分部积分法99169
四、设 f ( x)在 a , b 上连续，
证明
b
f ( x)dx
b f (a b x)dx.
a
a
五、证明：
1 x m (1 x)n dx 1 x n (1 x)m dx .
0
0`
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六、证明：
a f ( x)dx
a
[ f (x)
f ( x)]dx,
a
0
并求
0
0
（2）设 x t dx dt,
x 0 t ,
x t 0,
0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]dt
0 ( t) f (sin t)dt,
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0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
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3
x
3
)dx
___________________；
2、 (1 sin3 )d ________________； 0
3、 2 2 x 2 dx _____________； 0
4、
1 (arcsin x)2
2
1
2
1 x2
4_2_1 定积分的换元法和分部积分法 高等数学 微积分 考研数学
2) 在[ , ] 上 a (t) b ,
则
b
a
f
(
x)dx
f
[ (t)](t) d t
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,
且它们的原函数也存在 . 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数 ,
则F[ (t) ] 是 f [ (t) ](t)的原函数 , 因此有
b
a
f
(
x)
0
sinn(2 Nhomakorabeat) d t
2
22 cosn txddtx
0
令 u sinn1 x , v sin x , 则 u (n 1)sinn2 x cos x ,
v cos x
In
[ cos x sinn1 x]
2
0
(n 1)
2
sin n2
x
cos2
x
dx
0
0
Page 8
I n
(n 1)
f
(
x)
1 3x3
f (e) e f (x) d x 1 Page 11
3. 证明 f (x)
x
2
sin x
dx是以 为周期的函数.
x
证： f (x )
x
2 sin u du
x
令u t
x
2
sin(t )
dt
x
x
2
sin t
dt
x
2 sin x dx
x
x
f (x)
f (x) 是以 为周期的周期函数.
dx
F
(b)
F
(a)
F[ (
)]
第三节定积分的换元积分法与分部积分法
1
1 0
0
1
(1 t )dt e t dt
2 0
1 0 0
1
1 3 t t e t 3 1
1 e. 3
12
二.定积分的分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间[a , b]上具有连续导数， 则有 定积分的分部积分公式
a udv uv a a vdu
sinx 0 2 arctan
/2
2
19
2.
设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任
一实数a ，有
a T
0 a
a T a
f ( x )dx f ( x )dx
0
T a T
T
证 由定积分性质3，有
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1/ 2 2 2
2/2
dx
于是
1 2
2 2
dx x2
2
cos t dt 2 / 6 si n t cos t 1 x2
/4
/4 /6
/4
/6
csc tdt cot t
3 1
10
例7 求
2 2
dx x x2 1
解 设 x se ct 0 t ,则 dx sec t tan tdt 2
3e 1 2(e 1 1) 2 5e 1
16
三.定积分的几个常用公式
1. 证明：设 f ( x ) 在对称区间[ a , a ]上连续，且有
① f ( x ) 为偶函数，则
1 0
0
1
(1 t )dt e t dt
2 0
1 0 0
1
1 3 t t e t 3 1
1 e. 3
12
二.定积分的分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间[a , b]上具有连续导数， 则有 定积分的分部积分公式
a udv uv a a vdu
sinx 0 2 arctan
/2
2
19
2.
设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任
一实数a ，有
a T
0 a
a T a
f ( x )dx f ( x )dx
0
T a T
T
证 由定积分性质3，有
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1/ 2 2 2
2/2
dx
于是
1 2
2 2
dx x2
2
cos t dt 2 / 6 si n t cos t 1 x2
/4
/4 /6
/4
/6
csc tdt cot t
3 1
10
例7 求
2 2
dx x x2 1
解 设 x se ct 0 t ,则 dx sec t tan tdt 2
3e 1 2(e 1 1) 2 5e 1
16
三.定积分的几个常用公式
1. 证明：设 f ( x ) 在对称区间[ a , a ]上连续，且有
① f ( x ) 为偶函数，则
定积分的换元法和分部积分法60463
1x2
1
11
02arcxsdin x [xarcxs]0 2in02x
dx 1x2
1 1 1 dx2
2
2 6 2 0 1x2
1 1 2(1x2)1 2d(1x2) 1220
12[(1x2)12]012
12
3 1 2
15
例2 计算1e xdx 0
1 (e 2
2
1)
18
例4 设 f(x)在 [0,1 ]上连1 [续 1x f， (x)e]f(求 x)d.x 0
解：
1
xf
(x)e f (x)dx
0
1
x
ef
(x)df(x)
0
1xdef (x) 0
[xef(x)]1 001ef(x)dx
故
1[1xf(x)e] f(x)dx[xef
或
abudv[uv]ba
b
vdu
a
这个公式就是定积分分部的积分公式 13
注 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量, 故在计算过程中自始至终均不变限,u 、v的选择 与不定积分的分部积分法相同.
14
1
例1 计算2arcsxindx 0
解uarcx,sv ix n ,d u dx,d vdx
上、下限 (t代 )然入 后相减 . 即可
4
换元公式也可以反过来使用 :
a bf[(x)]'(x)d xa bf[(x)d ](x)
t (x)
f(t)dt((a),(b))
5
例2 计算 e2lnxdx 1x 6
此 种 方 法 可 以 不出明新显变写量 ， 如 上 例 也 可这样解：
第三节定积分的换元法与定积分的分部积分法-资料
(a),(b)，这样就有
b
令t (x)
f[(x)](x)dx
a
f(t
) dt
例2
计算
2
0
co5s xsi nxdx.
解
2
0
co5sxsinxdx
2
0
co5sxd(coxs)
令t coxs
0
t 5dt
1
t6 1 1 . 66
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
二、定积分的分部积分公式
定理 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
第三节 定积分的换元法 与 定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定 理 设 函 数f ( x)在 区 间[a, b]上 连 续,
函 数x (t)满 足 条 件:
(1) ( ) a, ( ) b (2) (t)在[ , ](或[ , ])上 具 有 连 续 的 导 数,
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
b
令t (x)
f[(x)](x)dx
a
f(t
) dt
例2
计算
2
0
co5s xsi nxdx.
解
2
0
co5sxsinxdx
2
0
co5sxd(coxs)
令t coxs
0
t 5dt
1
t6 1 1 . 66
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
二、定积分的分部积分公式
定理 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
第三节 定积分的换元法 与 定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定 理 设 函 数f ( x)在 区 间[a, b]上 连 续,
函 数x (t)满 足 条 件:
(1) ( ) a, ( ) b (2) (t)在[ , ](或[ , ])上 具 有 连 续 的 导 数,
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
定积分的换元法和分部积分法课件
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
定积分的换元积分法,分部积分法
设 u = arctan x , dv = dx ,
dx , v = x, 则 du = 2 1+ x 1 1 x 1 ∫0 arctan xdx = [x arctan x ]0 − ∫0 1 + x 2 dx 1 π 1 π 1 2 − ln 2 . = − [ln( 1 + x ) ]0 = 4 2 4 2
F ' ( x ) = f ( x ), N - L ⇒ ∫ f ( x )dx = F (b) − F (a ).
b a
2
复合而成的函数。 Φ ( t ) = F [ϕ ( t )]看作是由 F ( x )与 x = ϕ ( t )复合而成的函数。
dF dx ∴ Φ'(t ) = = f ( x )ϕ ' ( t ) = f [ϕ ( t ) ]ϕ ' ( t ). dx dt
例5
证明： 证明： 若 f ( x ) ∈ C [− a , a ], ⇒
∫
a
−a
2 a f ( x ) dx , f ( x ) ∫0 f ( x ) dx = 0, f (x)
为偶函数 为奇函数
8
证Q
∫− a
∫− a
0
a
a
f ( x ) dx =
∫− a
a
0
f ( x ) dx +
人在不同的状态下的脑电波是不同的， 人在不同的状态下的脑电波是不同的， 放松性警觉状态”称为α波状态。 “放松性警觉状态”称为α波状态。暗示教 学的专家发现：每分钟60——70拍的音乐， 60——70拍的音乐 学的专家发现：每分钟60——70拍的音乐， 有助于人们进入α波状态。在这种状态下， 有助于人们进入α波状态。在这种状态下， 人的潜意识思维活跃。学习的效果比“ 人的潜意识思维活跃。学习的效果比“完 全清醒状态”高出几十至几百倍。 全清醒状态”高出几十至几百倍。 适当的音乐至少有三个作用： 适当的音乐至少有三个作用：帮助放 松、激活右脑、将信息移入长期记忆。 激活右脑、将信息移入长期记忆。 所以说：音乐是学习的高速公路。 所以说：音乐是学习的高速公路。
53第三节定积分的换元法和分部积分法
0
0
a
武 汉
f(x )d x f( t)d tf(t)d t
a
a
0
科
技
学
a
0
a
a
院 数
f( x ) d x f( x ) d x f( x ) d x 2f( x ) d x
a
a
0
0
理
系
高 等
(3) 令x=t+l,则dx=dt,且当x=l时,t=0,当x=a+l时,t=a
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 利用换元法计算定积分时,要注意:
数 学
(1).在换元时,积分的上下限必须同时变化.
电 (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有
子 教
意义.
案
如果用x=1/t,则注意积分区域是否有x=0的情况,
如果用x=t2,则被积函数开方时要注意在积分区域里
+2,也可为-2.
案 面对有正负号时,应该
考虑被积函数的情况
x 3
武
当t=-1时,要注意 t2 t
0
t
汉
科 技
代入被积函数
-2 -1 1 2
学
院
数
理 系
如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了
高 此外当积分区域应该考虑
等 数
如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了
学 电
根据定积分的性质3可加性(p221)其结果是一样的.
2
教 案
0 c o s 3 x c o s 5 x d x 0 c o s 3 2 x 1 c o s 2 x d x 0 c o s 3 2 x s i n x d x
5.3 定积分的换元法和分部积分法
( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
高数5.3 定积分的换元法和分部积分法
2
2
x cos x ,
n2
v cos x
I n [ cos x sin
n 1
x] 0 (n 1) sin 0
x cos x dx
2
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0
(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx
第五章
第三节 定积分的换元法和分部积分法
不定积分 换元积分法 分部积分法 换元积分法 分部积分法
定积分
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理1 设函数 2) 在[ , ] 上 单值函数
满足:
1) (t ) C1[ , ] , ( ) a , ( ) b ;
0 0
5
5
答案为: 7
例12 证明
n 1 n 3 3 1 , n n2 4 2 2 n 为偶数
n 为奇数
证: 令 t x, 则 2
令
n sin (2
2
0
t ) d t 2 cos n t d t
0 n2
则 u (n 1) sin
0
a
最后得到等式
T 0
f ( x)dx
a T
a
f ( x)dx
这个等式说明连续的周期函数在任意一个以周期 T 为长度的区间上的定积分都是相等的.
二、定积分的分部积分法
定理2 设 u ( x) , v( x) C [a , b] , 则 b
1
a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
6.2(2) 定积分的换元法和
(t ) (t )
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 .
则
(t ) 是
(t ) (t ) 的原函数 , 因此有
F (b) F (a) F [ ( )] F [ ( )]
(t ) (t )
2
(t ) (t )
提示: 两边求导, 得
19
3. 设
求 解:
(分部积分)
20
例题
1. 证明 是以 为周期的函数.
证：
令u t
是以 为周期的周期函数.
21
2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数 , 且 f (a)
f (b) 0 , 试证
1 b 解： 右端 ( x a )( x b) d f ( x) 分部积分积分 2 a b 1 ( x a)( x b) f ( x) 2 a 1 b f ( x)(2 x a b) d x 2 a
Байду номын сангаас
a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
两端在 [a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x)v( x) dx u ( x)v( x) dx a a a b b u ( x)v( x) u ( x) v( x) dx a a
x2
sin t dt , 求 t
xf ( x )dx.
1 0
sin t 解 因为 没有初等形式的原函数（积分正弦)， t 无法直接求出 f ( x ) ，所以采用分部积分法 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 0 xf ( x )dx 2 0 f ( x )d ( x ) 2 x f ( x ) 0 2 0 x df ( x ) 1 1 2 1 1 1 2 si nx 2 2 x dx f (1) 0 x f ( x )dx 0 x 2 2 x 2 2
高等数学：第三节 定积分的换元法、分部积分法
2
0
sin 3 x cos x d x
sin 3 x cos x d x
2
2
0
sin 3 x d (sin x)
sin 3 x d (sin x)
2
[2 5
sin
5 2
x]
2 0
[2 5
sin
5 2
x]
( 20) (0 2 )
5
5
4 5
2
例4：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
2
2
对称性 02
2
sin 2 x cos 2 x d x 1
2 sin 2 2 x d x
0
20
1 2
2
0
1 cos 4 x d x 2
1 4
[
x
sin4 4
x
]
2 0
8
3
e4
例7 计算
1
dx
e x ln x(1 ln x)
3
解：原式 e4
1
d ln x
e ln x(1 ln x)
x
0
t
2
,
x t 0, 2
2
0
f (sin x)dx
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）设 x t 可以证明
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
定积分的换元法与分部积分法
(1)
且其值域 R [a , b], 则有:
b
a
f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt
定积分换元公式
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
注 (1) 换 ( x )dx
三 个 变 化
(2) 公式特点 例1 计算 例2
b
a
b
b
a
udv uv a vdu
b b a
定积分的分部积分公式 注 使用分部积分公式应边积边代限 例14 计算
1 2
0
arcsin xdx 例15 计算 e x dx
0
1
例16 证明
n 1 n 3 3 1 , n n2 4 2 2
被积函数 f ( x ) 积分元素 dx 积分区间[a , b]
f [ ( t )] ( t )dt
f ( ( t )) ( t )dt [ , ] 或 [ , ]
变量不必回代
计算
a
换元必换限 必须注意积分限 上限对上限 下限对下限 注意简便算法
0
4
a 2 x 2 dx (a 0)
第三讲 定积分的换元法和分部积分法
定积分
牛-莱公式
换元积分法
不定积分 分部积分法
?
特点?
定积分的换元法与分部积分法
一、换元法
二、分部积分法
定积分的换元法与分部积分法
一、换元法
二、分部积分法
定理 假设f(x)在区间[a,b]上连续,函数 x ( t )满足条件:
( ) a, ( ) b ; (2) ( t )在[ , ](或[ , ])上具有连续导数，
且其值域 R [a , b], 则有:
b
a
f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt
定积分换元公式
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
注 (1) 换 ( x )dx
三 个 变 化
(2) 公式特点 例1 计算 例2
b
a
b
b
a
udv uv a vdu
b b a
定积分的分部积分公式 注 使用分部积分公式应边积边代限 例14 计算
1 2
0
arcsin xdx 例15 计算 e x dx
0
1
例16 证明
n 1 n 3 3 1 , n n2 4 2 2
被积函数 f ( x ) 积分元素 dx 积分区间[a , b]
f [ ( t )] ( t )dt
f ( ( t )) ( t )dt [ , ] 或 [ , ]
变量不必回代
计算
a
换元必换限 必须注意积分限 上限对上限 下限对下限 注意简便算法
0
4
a 2 x 2 dx (a 0)
第三讲 定积分的换元法和分部积分法
定积分
牛-莱公式
换元积分法
不定积分 分部积分法
?
特点?
定积分的换元法与分部积分法
一、换元法
二、分部积分法
定积分的换元法与分部积分法
一、换元法
二、分部积分法
定理 假设f(x)在区间[a,b]上连续,函数 x ( t )满足条件:
( ) a, ( ) b ; (2) ( t )在[ , ](或[ , ])上具有连续导数，
定积分的换元法与分部积分法
1
1 1 1 1 xf ( 2 x )0 f ( 2 x )dx 2 2 0
1 1 1 f ( 2) f ( 2 x )0 2 4 5 1 f ( 2) f (0) 2. 2 4
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练 习 题1
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
2、
0
(1 sin 3 )d ________________；
2
3、 0 4、
2 x 2 dx _____________；
2
1 x 5 x 3 sin 2 x dx ________________________ .. 5、 5 4 2 x 2x 1
2 , 3 , t tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
3 4
2 3
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
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思考题2解答
1 1 0 xf (2 x )dx 2 0 xdf (2 x )
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
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b
应用换元公式时应注意:
t （1）用 x (t ) 把变量x 换成新变量 时，积分限也
相应的改变.
求出 f [ ( t )] ( t )的一个原函数(t ) 后，不 （2）
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入(t ) 然后相减就行了.
1 1 1 1 xf ( 2 x )0 f ( 2 x )dx 2 2 0
1 1 1 f ( 2) f ( 2 x )0 2 4 5 1 f ( 2) f (0) 2. 2 4
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练 习 题1
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
2、
0
(1 sin 3 )d ________________；
2
3、 0 4、
2 x 2 dx _____________；
2
1 x 5 x 3 sin 2 x dx ________________________ .. 5、 5 4 2 x 2x 1
2 , 3 , t tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
3 4
2 3
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
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思考题2解答
1 1 0 xf (2 x )dx 2 0 xdf (2 x )
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
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b
应用换元公式时应注意:
t （1）用 x (t ) 把变量x 换成新变量 时，积分限也
相应的改变.
求出 f [ ( t )] ( t )的一个原函数(t ) 后，不 （2）
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入(t ) 然后相减就行了.
定积分的换元法和分部积分法
1
4
R2
R
x x
例2 计算
0
cos3 x cos5 xdx
2
解
0
cos3 x cos5 xdx
2
0
cos3 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
1 cos2 xdx
0
3
cos 2 x sin x dx
2
2
2
0
3
cos2 x sin xdx
2
0
2
3
cos 2
解:
I1 tax
a 0
f (a t) dt f (a t) f (t)
2I1
a 0f f(a (ax) x)f f
(x) (x)
dt
a,
I1
a 2
I2 tx
0
( 1
t) sin cos2 t
t
dt
sin t 0 1 cos2 t dt
t sin t
0
1
cos2
dt t
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续 可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]上单调变化,且 φ(α)=a,φ(β)=b则
b
a f (x)dx f [ (t)](t)dt(1)
xd
cos
x
2 5
5
cos 2
x |0 2
2 5
利用换元法计算定积分时,要注意: (1).在换元时,积分的上下限必须同时变化. (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有 意义.
定积分的换元积分法与分部积分法
1 0
f (2x)dx
1
f (2)
1
1
f (2x)d(2x)
2
40
1 2
f
(2)
1f
4
(
2
x
)
1 0
5 1 f (2) f (0) 2.
24
23
定积分的换元法和分部积分法
思考题 试检查下面运算是否正确?
如 令x 11 dx11Fra bibliotek x2t
1 1
1
1
1 t2
d
1 t
1 dt 11 t 2
0t
x2
0
sinu
u
du x
x2 sin u du
0u
原式 lim x0
x
x2 sin u du 0u
x2
0
lim
sin x2 x2
2x
1
0 x0
2x
17
定积分的换元法和分部积分法
二、定积分的分部积分法
definite integral by parts
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
x3 sin2 x4 2x2
x
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
2 x5 x4 x3 x2 2dx
2
1x2
奇
偶
2 2
x15xx23dx
2 x4 x2 2 2 1 x2 dx
02
2 0
x4 x2 1 x2
2dx
8 3
12
定积分的换元法和分部积分法
2
0 20
2
定积分的换元法和分部积分法
2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变 量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17