习题解答9定积分的概念与性质---定积分的换元法和分部积分法
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【2019年整理】定积分的换元法与分部积分法99169
四、设 f ( x)在 a , b 上连续，
证明
b
f ( x)dx
b f (a b x)dx.
a
a
五、证明：
1 x m (1 x)n dx 1 x n (1 x)m dx .
0
0`
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六、证明：
a f ( x)dx
a
[ f (x)
f ( x)]dx,
a
0
并求
0
0
（2）设 x t dx dt,
x 0 t ,
x t 0,
0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]dt
0 ( t) f (sin t)dt,
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0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
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3
x
3
)dx
___________________；
2、 (1 sin3 )d ________________； 0
3、 2 2 x 2 dx _____________； 0
4、
1 (arcsin x)2
2
1
2
1 x2
4_2_1 定积分的换元法和分部积分法 高等数学 微积分 考研数学
2) 在[ , ] 上 a (t) b ,
则
b
a
f
(
x)dx
f
[ (t)](t) d t
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,
且它们的原函数也存在 . 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数 ,
则F[ (t) ] 是 f [ (t) ](t)的原函数 , 因此有
b
a
f
(
x)
0
sinn(2 Nhomakorabeat) d t
2
22 cosn txddtx
0
令 u sinn1 x , v sin x , 则 u (n 1)sinn2 x cos x ,
v cos x
In
[ cos x sinn1 x]
2
0
(n 1)
2
sin n2
x
cos2
x
dx
0
0
Page 8
I n
(n 1)
f
(
x)
1 3x3
f (e) e f (x) d x 1 Page 11
3. 证明 f (x)
x
2
sin x
dx是以 为周期的函数.
x
证： f (x )
x
2 sin u du
x
令u t
x
2
sin(t )
dt
x
x
2
sin t
dt
x
2 sin x dx
x
x
f (x)
f (x) 是以 为周期的周期函数.
dx
F
(b)
F
(a)
F[ (
)]
第三节定积分的换元积分法与分部积分法
1
1 0
0
1
(1 t )dt e t dt
2 0
1 0 0
1
1 3 t t e t 3 1
1 e. 3
12
二.定积分的分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间[a , b]上具有连续导数， 则有 定积分的分部积分公式
a udv uv a a vdu
sinx 0 2 arctan
/2
2
19
2.
设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任
一实数a ，有
a T
0 a
a T a
f ( x )dx f ( x )dx
0
T a T
T
证 由定积分性质3，有
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1/ 2 2 2
2/2
dx
于是
1 2
2 2
dx x2
2
cos t dt 2 / 6 si n t cos t 1 x2
/4
/4 /6
/4
/6
csc tdt cot t
3 1
10
例7 求
2 2
dx x x2 1
解 设 x se ct 0 t ,则 dx sec t tan tdt 2
3e 1 2(e 1 1) 2 5e 1
16
三.定积分的几个常用公式
1. 证明：设 f ( x ) 在对称区间[ a , a ]上连续，且有
① f ( x ) 为偶函数，则
1 0
0
1
(1 t )dt e t dt
2 0
1 0 0
1
1 3 t t e t 3 1
1 e. 3
12
二.定积分的分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间[a , b]上具有连续导数， 则有 定积分的分部积分公式
a udv uv a a vdu
sinx 0 2 arctan
/2
2
19
2.
设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任
一实数a ，有
a T
0 a
a T a
f ( x )dx f ( x )dx
0
T a T
T
证 由定积分性质3，有
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1/ 2 2 2
2/2
dx
于是
1 2
2 2
dx x2
2
cos t dt 2 / 6 si n t cos t 1 x2
/4
/4 /6
/4
/6
csc tdt cot t
3 1
10
例7 求
2 2
dx x x2 1
解 设 x se ct 0 t ,则 dx sec t tan tdt 2
3e 1 2(e 1 1) 2 5e 1
16
三.定积分的几个常用公式
1. 证明：设 f ( x ) 在对称区间[ a , a ]上连续，且有
① f ( x ) 为偶函数，则
定积分的换元法和分部积分法60463
1x2
1
11
02arcxsdin x [xarcxs]0 2in02x
dx 1x2
1 1 1 dx2
2
2 6 2 0 1x2
1 1 2(1x2)1 2d(1x2) 1220
12[(1x2)12]012
12
3 1 2
15
例2 计算1e xdx 0
1 (e 2
2
1)
18
例4 设 f(x)在 [0,1 ]上连1 [续 1x f， (x)e]f(求 x)d.x 0
解：
1
xf
(x)e f (x)dx
0
1
x
ef
(x)df(x)
0
1xdef (x) 0
[xef(x)]1 001ef(x)dx
故
1[1xf(x)e] f(x)dx[xef
或
abudv[uv]ba
b
vdu
a
这个公式就是定积分分部的积分公式 13
注 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量, 故在计算过程中自始至终均不变限,u 、v的选择 与不定积分的分部积分法相同.
14
1
例1 计算2arcsxindx 0
解uarcx,sv ix n ,d u dx,d vdx
上、下限 (t代 )然入 后相减 . 即可
4
换元公式也可以反过来使用 :
a bf[(x)]'(x)d xa bf[(x)d ](x)
t (x)
f(t)dt((a),(b))
5
例2 计算 e2lnxdx 1x 6
此 种 方 法 可 以 不出明新显变写量 ， 如 上 例 也 可这样解：
第三节定积分的换元法与定积分的分部积分法-资料
(a),(b)，这样就有
b
令t (x)
f[(x)](x)dx
a
f(t
) dt
例2
计算
2
0
co5s xsi nxdx.
解
2
0
co5sxsinxdx
2
0
co5sxd(coxs)
令t coxs
0
t 5dt
1
t6 1 1 . 66
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
二、定积分的分部积分公式
定理 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
第三节 定积分的换元法 与 定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定 理 设 函 数f ( x)在 区 间[a, b]上 连 续,
函 数x (t)满 足 条 件:
(1) ( ) a, ( ) b (2) (t)在[ , ](或[ , ])上 具 有 连 续 的 导 数,
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
b
令t (x)
f[(x)](x)dx
a
f(t
) dt
例2
计算
2
0
co5s xsi nxdx.
解
2
0
co5sxsinxdx
2
0
co5sxd(coxs)
令t coxs
0
t 5dt
1
t6 1 1 . 66
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
二、定积分的分部积分公式
定理 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
第三节 定积分的换元法 与 定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定 理 设 函 数f ( x)在 区 间[a, b]上 连 续,
函 数x (t)满 足 条 件:
(1) ( ) a, ( ) b (2) (t)在[ , ](或[ , ])上 具 有 连 续 的 导 数,
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
定积分的换元法和分部积分法课件
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
定积分的换元积分法,分部积分法
设 u = arctan x , dv = dx ,
dx , v = x, 则 du = 2 1+ x 1 1 x 1 ∫0 arctan xdx = [x arctan x ]0 − ∫0 1 + x 2 dx 1 π 1 π 1 2 − ln 2 . = − [ln( 1 + x ) ]0 = 4 2 4 2
F ' ( x ) = f ( x ), N - L ⇒ ∫ f ( x )dx = F (b) − F (a ).
b a
2
复合而成的函数。 Φ ( t ) = F [ϕ ( t )]看作是由 F ( x )与 x = ϕ ( t )复合而成的函数。
dF dx ∴ Φ'(t ) = = f ( x )ϕ ' ( t ) = f [ϕ ( t ) ]ϕ ' ( t ). dx dt
例5
证明： 证明： 若 f ( x ) ∈ C [− a , a ], ⇒
∫
a
−a
2 a f ( x ) dx , f ( x ) ∫0 f ( x ) dx = 0, f (x)
为偶函数 为奇函数
8
证Q
∫− a
∫− a
0
a
a
f ( x ) dx =
∫− a
a
0
f ( x ) dx +
人在不同的状态下的脑电波是不同的， 人在不同的状态下的脑电波是不同的， 放松性警觉状态”称为α波状态。 “放松性警觉状态”称为α波状态。暗示教 学的专家发现：每分钟60——70拍的音乐， 60——70拍的音乐 学的专家发现：每分钟60——70拍的音乐， 有助于人们进入α波状态。在这种状态下， 有助于人们进入α波状态。在这种状态下， 人的潜意识思维活跃。学习的效果比“ 人的潜意识思维活跃。学习的效果比“完 全清醒状态”高出几十至几百倍。 全清醒状态”高出几十至几百倍。 适当的音乐至少有三个作用： 适当的音乐至少有三个作用：帮助放 松、激活右脑、将信息移入长期记忆。 激活右脑、将信息移入长期记忆。 所以说：音乐是学习的高速公路。 所以说：音乐是学习的高速公路。
53第三节定积分的换元法和分部积分法
0
0
a
武 汉
f(x )d x f( t)d tf(t)d t
a
a
0
科
技
学
a
0
a
a
院 数
f( x ) d x f( x ) d x f( x ) d x 2f( x ) d x
a
a
0
0
理
系
高 等
(3) 令x=t+l,则dx=dt,且当x=l时,t=0,当x=a+l时,t=a
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 利用换元法计算定积分时,要注意:
数 学
(1).在换元时,积分的上下限必须同时变化.
电 (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有
子 教
意义.
案
如果用x=1/t,则注意积分区域是否有x=0的情况,
如果用x=t2,则被积函数开方时要注意在积分区域里
+2,也可为-2.
案 面对有正负号时,应该
考虑被积函数的情况
x 3
武
当t=-1时,要注意 t2 t
0
t
汉
科 技
代入被积函数
-2 -1 1 2
学
院
数
理 系
如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了
高 此外当积分区域应该考虑
等 数
如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了
学 电
根据定积分的性质3可加性(p221)其结果是一样的.
2
教 案
0 c o s 3 x c o s 5 x d x 0 c o s 3 2 x 1 c o s 2 x d x 0 c o s 3 2 x s i n x d x