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部分分式展开法

若F(s)为的s有理分式，则可表示为

式中，a i(i=0,1,2,...,n-1)、b i(i=0,1,2,...,m)均为实数。

若m≥n，则B(s)/A(s)为假分式。若m

若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和，即

式中，c i(i=0,1,2,...,n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到阶m-n导数之和。

D(s)/A(s)为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。例如，

则 f(t)=￡-1[F(s)]=

若F(s)=B(s)/A(s)为有理真分式，可直接展开为部分分式后求逆变换。要把F(s)展开为部分分式，必须先求出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项式，所以A(s)=0有n个根s i(i=1,2,...n)。s i可能为单根，也可能为重根；可能为实根，也可能为复根。s i又称为F(s)的极点。F(s)展开为部分分式的具体情况取决于的上述性质。

本书附录A中介绍了关于有理真分式的部分是展开法，下面将应用部分分式展开法求拉普拉斯逆变换的几种情况归纳如下：

F(s)仅有单极点

若A(s)=0仅有n 个单根，则根据附录A 中式(A-2)，无论s i 是实根还是复根，都可将F(s)展开为

(1)

式中，各部分分式项的系数K i 为

(2)

由于 故F(s)单边拉普拉斯逆变换可表示为 f(t)=-1[F(s)]= (3)一，单极点的情况

【例1】已知，求F(s)的单边拉氏逆变换（原函数）f(t)。 解 F(s)的分母多项式A(s)=0的两个根分别为s 1=-2,s 2=-3。因此，F(s)的部分分式展开为

由式(4.3-2)求K 1和K 2，得:

所以， 3223)(+-+=s s s F

于是得 f(t)=￡-1[F(s)]=(3e -2t -2e -3t )ε(t)

二，重极点的情况【例2】已知，求的单边拉氏逆变换。 解 F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3。因此，F(s)可展开为

由式(4.3-5)和式(4.3-2)得：

于是得 根据式(4.3-4)和式(4.3-6)可得 f(t)=￡-1[F(s)]=(te -t +e -t -e -3t )ε(t)再看一般情况1

121)1(111121111)()()()()(p s k p s k p s k p s k p s s A k k k k k -+-++-+-=--- 求k 11，方法同第一种情况：

11)()()(1111p s k p s s F p s s F k ==-==求其它系数，用下式 k i s F ds d i k p s i i i ,3,2,1 )()!1(111111=-==-- 注意：k 次重根，要设k 项 当11212, ()s p d i K F s ds ===当1

2131213, ()2s p d i K F s ds ===【例3】已知31()(2)(1)F s s s =++，求其逆变换。解：

2)1()1()1()1)(2(121132123113+++++++=++s K s K s K s K s s 1

)2(121 11211211-=+-=+==-=-=s s s ds s d K K 2212112213=+=-=s ds s d K 1)1(12

32-=+=-=s s K )()(2)()(21)(22t u e t u e t u te t u e t t f t t t t -----+-=三，复数极点的情况[例4]已知，求F(s)的单边拉斯逆变换f(t)。 解 F(s)可以表示为

F(s)有一对共轭单极点s1,2=-2±j2，可展开为

根据式(4.3-2)求K1、K2 ,得:

于是得

根据式(4.3-7)和式(4.3-8)，,,α=2,β=2。于是得

f(t)=￡-1[F(s)]=

运行结果：

F =2*exp(-2*t)*cos(2*t)+2*exp(-2*t)*sin(2*t)