序列的Z变换与傅里叶变换

29
部分分式系数的计算
当M＜N且X(z)只有一阶极点时，则
X
(z)

N
k 1 1
Ak dk z1
(2.10)
由留数定理
Ak (1 dk z1)X (z) |zdk
(2.11)
当M≥N且X(z)除有一阶极点外，在z= di处还具有s 阶极点，则
右边序列(或因果序列) 左边序列(或逆因果序列)。
根据x(n) 类型展开X(z)
右边序列: X(z)展成负幂级数，分子分 母应按z的降幂排列
左边序列: X(z)展成正幂级数，分子分 母应按z的升幂排列。
26
例：长除法--X(z) 降幂排列
例2.6
求
X
(z)

3z 1 (1 3z1)2
边界讨论：z= 0及z= ∞两点是否也收敛与n1、n2取
值情况有关。
12
例：求有限长序列的Z变换
例2.2 求序列 x(n) anRN (n) 的Z变换。 解：根据Z变换的定义
X (z)

N 1
an zn
n0

N 1
(az 1)n
n0

1
1
(az 1 ) az1
，|z|＞3的逆Z变换。
解：收敛域是圆外部，对应右边序列。当z→∞时，X(z)趋 近于有限值0，说明收敛域包括∞点，因此是因果序列。 把X(z)的分子分母按z的降幂排列
X
(
z)

1

6
3z z 1
1

9
z
2
长除运算，得

X (z) 0 3z1 2 32 z2 3 33 z3 4 34 z4 L n 3n zn n0
收敛域为环域a＜|z|＜b
22
2.2.3 逆Z变换
逆Z变换: 由X(z)及其收敛域求序列x(n)的变换。
求逆Z变换的方法:
幂级数法(长除法) 部分分式展开法 围线积分法。
23
幂级数法(长除法)
Z变换的定义可知: X(z)是复变量z-1的幂级 数，其系数是序列x(n)的值
nn1
nn1
显然，级数X(z) 收敛。
讨论：级数X(z)中没有正幂项， |z|= +∞时级数收敛，因此收敛 域包括∞点，即为
Rx-＜|z|≤+∞
15
右边序列（非因果）的收敛域
当n1＜ 0时，序列为非因果序列

1

X (z) | x(n)zn | | x(n)zn | | x(n)zn |
收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域
10
2.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域
序列x(n)的性质决定了X(z)的收敛域， 不同形式的序列其收敛域不同 。 有限长序列：0≤|z|＜+∞ 或 0＜|z|≤+∞
右边序列： Rx-＜|z|＜+∞ 左边序列： 0＜|z|＜Rx+ 双边序列： Rx- ＜|z|＜ Rx+
n
n
显然，级数X(z) 收敛。
讨论：级数X(z)中没有负幂项， |z|= 0时级数收敛，因此收敛域 包括0点，即为
0 ≤ |z| ＜ Rx+
18
左边序列（非逆因果）的收敛域
当n2＞0时，序列为非因果序列
n2
1
n2
X (z) | x(n)zn | | x(n)zn | | x(n)zn |
24
例：幂级数法求逆Z变换
例2.5 求 X (z) ln(1 az1)，|a|＜Βιβλιοθήκη Baiduz| 的逆Z变换。
解：利用ln(1+ x)，且|x|＜1的幂级数公式
ln(1 x) x 1 x2 1 x3 L (1)n1 xn L (1)n1 xn
23
n
n1 n
(1＜x ≤1)
X2(z)收敛域为Rx-＜|z|＜+∞。双边序列
Z变换的收敛域是公共部分。
如果满足Rx-<Rx+ ，则X(z)的收敛域为 环状区域，即Rx-＜|z|＜Rx+ ；
如果满足Rx-≥Rx+，则X(z)无收敛域。
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例：求双边序列的Z变换
例2.4 己知序列
x(n)
an , bn ,
n≥0 n＜0
单位圆:
在Z平面上|z|= 1为半径的圆
单位圆上的参数可表示为 z ej
8
例: 求序列的Z变换
例2.1 求序列 x(n) anu(n) 的Z变换。
解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义



X (z) x(n)zn an zn (az1)n
| z |＞| a |
9
Z变换的收敛域
收敛域: 对于给定的任意序列x(n)，使其Z
变换收敛的所有z值的集合组成的区域。 根据级数理论，式(2.1)收敛
的充分必要条件是满足绝对 可和条件，即

| x(n)zn |＜
n
根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域
收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞
20
双边序列
双边序列指n从-∞到+∞都具有非零的有限值， 可看成右边序列和左边序列的和
Z变换

X (z) x(n)zn X1(z) X 2 (z) n
1

x(n)zn x(n)zn
(2.7)
n
n0
讨论：X1(z) 收敛域为0＜|z|＜Rx+；
11
有限长序列
有限长序列只在有限区间n1≤n≤n2内具有非零
的有限值，在此区间外序列值都为零
Z变换
n2
X (z) x(n)zn
nn1
要求：在有限区间内级数的每一项都有界，
则有限项的和有界，级数就收敛。
x(n)有界
开域
| x(n)zn |＜+
| zn |＜+
0＜| z |＜+

X (z) x(n)zn x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2 (2.8) n
显见: 只要在给定的收敛域内，把X(z)展开 成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)
X(z)展开成幂级数的方法 :
log，sin，cos等函数: 利用幂级数公式 有理分式: 直接用长除法
Z变换
n2
X (z) x(n)zn n
(2.6)
假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z2|上绝对收敛
n2
| x(n)z2n | ＜
n
17
左边序列（逆因果）的收敛域
假设：z是圆内任意一点，即|z|＜|z2|
当n2≤ 0时，序列为逆因果序列
n2
n2
| x(n)zn | ＜ | x(n)z2n | ＜
如果0＜a＜b，求其Z变换及其收敛域。
解： X (z)

x(n)zn
1

bn zn an zn
n
n
n0
z z z(2z a b) z a z b (z a)(z b)
讨论：
极点为z1= a和z2= b
零点为z1= 0和z2= (a+b)/2
第二章 序列的Z变换与傅里叶变换
本章目录
序列的Z变换 序列的傅里叶变换 序列的Z变换与连续时间信号的拉普拉斯
变换、傅里叶变换的关系 Matlab实现
2
2.1 引言
信号与系统的分析方法:
时域分析 变换域分析
连续时间信号与系统
信号用时间 t的函数表示 系统用微分方程描述
展开X(z)得
X (z) ln(1 az1) (1)n1 an zn
n1 n
由收敛域|a|＜|z|知x(n)为右边序列
x(n) (1)n1 anu(n) n
注: X(z)的闭合形式加上收敛域，才能唯一确定x(n)。
25
长除法: 展开有理分式X(z)
使用前判定对应x(n) 类型: 由收敛域确定
离散时间信号与系统
信号用序列表示 系统用差分方程描述
3
时域与频域分析
连续时间信 号与系统
时间域
傅里叶变换
推 广
拉普拉斯变换
频率域
(复频域 )
离散时间信 号与系统
离散时间傅里叶变换
时间域
推 广
Z变换
频率域
(复频域 )
4
本章主要内容
序列的Z变换 Z变换的主要性质 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的主要性质
变换，再相加得到x(n)。
M
M
X (z) P(z) Q(z)

bk zk
k 0
N
ak zk

b0 a0
(1 ck z1)
k 1
N
(1 dk z1)
k 0
k 1
式中，
(2.9)
ck是X(z)的非零零点，dk是X(z)的非零极点
P(z)和Q(z)的阶次分别为M和N。
N
讨论：
假设|a|是有限值，且|a|＜1。
X(z)有一个z= a的极点，但也有 一个z= a的零点，将零极点对消。
收敛域为0＜|z|≤+∞。
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右边序列
右边序列只在有限区间n≥n1 内具有非零的有 限值，在此区间外序列值都为零
Z变换

X (z) x(n)zn nn1
长除运算，得
X
(z)

9z
2
3z 1 6z1

1
X (z) 1 z 2 z2 1 z3 4 z4 L 1 (n) 3n zn
3 9 9 81
n
由此得到
x(n) n 3n u(n 1)
28
部分分式展开法
方法：如果有理分式X(z) 是两个实系数多项式P(z) 和Q(z)的比，展开成部分分式，求各简单分式的逆Z

X1(z) 1[x(n)] x(n)zn n0
(2.1) (2.2)
因果序列的Z变换: 单边Z变换可以看成因 果序列情况下的双边Z变换
7
Z平面与单位圆
Z平面: Z变换定义式中z所在的复平面，
z是一个连续复变量，具有实部和虚部
变量z的极坐标形式
z | z | ej
(2.5)
假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z1|上绝对收敛

| x(n)z1n |＜
nn1
14
右边序列（因果）的收敛域
假设：z是圆外任意一点，即|z|＞|z1|
当n1≥0时，序列为因果序列


X (z) | x(n)zn | ＜ | x(n)z1n | ＜
n
n
n0
X1(z) X2(z)
显然，当z取0外的有限值时，级数X2(z) 的值 有限，而级数X1(z) 收敛。所以，级数X(z)的收 敛域是以Rx+为半径的圆的内部区域，即
0＜|z|＜ Rx+
19
例：求左边序列的Z变换
例2.3 求序列 x(n) anu(n 1) 的Z变换。
解：
1

X (z) an zn (az)n
n
n1
讨论：
az(1 az a2 z2 )
当|az|＜1，即|z|＜1/|a|时，级 数收敛。X(z)可用封闭形式表示
X (z) az , | z |＜1/ | a | 1 az
X(z)有一个z= 1/a的极点，但也 有一个z= 0的零点 。
5
2.2 序列的Z变换
Z变换及其收敛域的定义 几种序列的Z变换及其收敛域 逆Z变换 Z变换的性质和定理 利用Z变换求解差分方程
6
2.2.1 Z变换及其收敛域的定义
序列的Z变换定义
双边Z变换

X (z) [x(n)] x(n)zn n
单边Z变换
由此得到
x(n) n 3n u(n)
27
例：长除法--X(z) 升幂排列
例2.7
求
X
(z)

3z 1 (1 3z1)2
，|z|＜ 3的逆Z变换。
解：收敛域是圆内部，对应左边序列。当z=0时，X(z)趋 近于有限值0，说明收敛域包括0点，因此是逆因果序列。 把X(z)的分子分母按z的升幂排列
nn1
nn1
n0
X1(z) X2(z)
显然，当z取有限值时，级数X1(z) 的值有限， 而级数X2(z) 收敛。所以，级数X(z)的收敛域是 以Rx-为半径的圆的外部区域，即
Rx-＜|z|＜+∞
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左边序列
左边序列只在有限区间n≤n2内具有非零的有限 值，在此区间外序列值都为零
n
n0
n0
1 az1 (az1)2 (az1)3
分析收敛性：X(z)是无穷项幂级数。
当|z|≤a时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。 X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为
X (z)


(az 1 ) n
n0

1

1 az
1

z, za