平面向量专题讲座PPT优秀课件

中点，点 E, F,G 分别在
BC,CD,DA移动，且
BECF BC CD
DDGA,
P
为
GE与 OF 交点（如图），问：是否存在两个定点，使 P点到这两个
定点的距离和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不
存在，请说明理由。
分析：依据题设条件，求出点 P
的坐标满足的方程，据此再判 断
是否存在两个定点，使得点 P到
4．对向量与解析几何、三角的综合题主要体现在题目的新颖上，教师 要通过对一定例题的分析，使学生实现 以新化旧，以生化熟的转化。
三、典型例题分析
（1）注意平面向量与三角知识的联系； （2）重视以平面向量为背景的解几命题趋势； （3）重视向量为工具处理立体几何问题； （4）构造向量，探索解题新思路。
（1）注意平面向量与三角知识的联系
由于平面向量的数量积 a b a b co ，s使得向量与三
角函数之间有着不可割裂的联系；另一方面，通过定义向量的坐 标运算，可将三角函数的内容与向量内容综合。
例1（ 的 20向 03量 年 ， 南 且 京 a市 质 (c检 o题 ,ssⅢ i） n)已 ,b知 a(,bc是 o两 s,s个 in 不 )共 . 线
又 G 与 G 共 P , 可 E : 4 ( y 4 线 a 4 得 a ) ( x k 2 ) 8 a ( 4 a ) k 0
即 2ay(12k)ax(2)
整理得 x2 ( y a)2 1
由 ( 1 )(2 ,) 消 k 得 :2 去 a 2 x 2 y 2 2 a 0 y
（2）重视以平面向量为背景的解几命题趋势
例3（2001年江西、山西、天津卷）设坐标原点为 O ，抛物线 y2 2x 与过焦点的直线交于 A, B 两点，则 OAOB （ ）
（A） 3 4
（B） 3 4
（C） 3
（D） 3
例4（2002年全国新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，
已知两点 A(3,1)B ,(1,3),若点C满足O C O A O 其 B , 中 R
且1, 则点C的轨迹方程为：
例5（2003年）O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的
三个点，动点 P满足 O PO A (AB AC ),0,
ABAC
则点 P的轨迹一定通过 ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 分析： AB , AC 分别表示与 AB, AC 方向相同的单位向量,
AB AC
AB AC 表示 BAC的平分线为方向的向量。 AB AC 则 P点必在 BAC的平分线上，即轨迹一定通过
ABC的内心，故选 B
例6（200３年上海卷）在以 O为原点的直角坐标系中，点
A(4,3)为OA的B直角顶点。已知 | AB|2|OA| 且点 B的纵坐 标大于零。 （１）求向量 AB的坐标； （２）是否存在实数 ，使抛物线 y ax2 1上总有关于直线 OB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求 的取值范围；
N C
A
B
谢谢大家！
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
（１）求证：ab与ab垂直；
（２） 若(,),， 且ab3， 求si n的值。
44 4
5
例2
已知：A, B
是
ABC的两个内角，m coAsB i
5 AB sin j
222
其中

i
,

j
为相互垂直的单位向量。若|

m
|
3
2.
4
试求 taA ntaB n的值。
A(0, a)
以，

i
2
c为方向向量的直线相交于
P，其中
R。试问：是否存在
两个定点 E, F ，使得 |PE||PF| 为定值。若存在，求出 E, F 的坐
标；若不存在，说明理由。
分析：本题以向量为背景，把解析几何联系起来，立意新，角度 好，既考查向量的坐标运算，又考查直线和圆锥曲线的方程，本 题的关键是求出点 P的轨迹方程。
分析：本题依托向量，既考查向量的长度，数量积和坐标等基 础知识，又考查直线与抛物线的位置关系问题，通过向量和解 析几何间的关系，陈题新组，考查基础知识和基本方法。
解：(1)设 AB (x,y) 则
| AB| 2| OA| ABOA 0
x2 y2 100
4x3y 0
又 P ( x ,y ) 则 令 O , ( x ,y P ) O , ( 2 F 4 k , 4 a )A
O
C E Bx
G ( x 2 P ,y 4 a 4 a ) G k , ( 4 , 8 a E 4 a k ) O与 PO共 F 线 4 a ( 2 x 4 k ) y 0 即 2 a ( 1 x 2 k ) y(1)
1
a2
2
3）运用法向量处理有关线面角、二面角、异面直线之间的 距离等问题
例11 如图，已知正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1的棱长为2，M , N 分
别为 AA1,BB1的中点，求： （1）CM与 D1N 所成角的余弦值； （2）异面直线 CM与D1N 的距离。
D1 A1
MD
C1 B1
2
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C
A1
思路２：向量法１：
B1
C1




设 AB i , AC j, AA1 k ，其中，

i j


j

k


0，i j

cos 600

1
，
2



| i || j || k | 1 ，
AN




则 AB1 AB AA1 ＝ i k ，
B
M
C

两个定点的距离之和为定值。
y
DF
P
G
A
O
C E Bx
解：由题意得 A ( 2 ,0 )B ( , 2 ,0 )C ( , 2 ,4 a )D ( , 2 ,4 a ) y
设 B EC FD G k(0k1)则 ,
DF
BC CD DA
P
E ( 2 ,4 a )F k ( ,2 4 k ,4 a )G ( , 2 ,4 a 4 a )kG
《平面向量与空间向量》
专题
向量及运算是现代数学重要标志之一，其引
入给中学数学带来了无限生机和活力，大大拓宽 了解题的思路与方法。它以平面几何、直角坐标 系、三角函数等知识为基础，融数、形于一体， 它已成为中学数学知识的一个交汇点。因此，向 量是高考命题中“在知识网络处设计试题”的很 好载体。
一、考试要求解读 1．平面向量：（考试要求）
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并 且能熟练运用，掌握平移公式；
2．空间向量：（考试要求）
（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘法； （2）了解空间向量的基本定理，理解空间向量的坐标的概念；掌握空间向量
的坐标运算； （3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量
例9（2000年全国高考题）椭圆
x2 9

y2 4
1
的焦点为
F1, F2
，
点 P为椭圆上的动点，当 F1PF2为钝角时，点 P横坐标取值范
围是
解：F 1(5,0)F ,2( 5,0) 设 P(x0, y0) 则
P 1 ( F 5 x 0 ,y 0 )P ,2 ( F 5 x 0 ,y 0 )F1PF2为钝角
系，
则

AB1
(1,0,1)
，

1 31


1
31
MN ( , 4
4
, 4) AB1 MN
0 4
4
0 4
z


AB1


MN
,
即
AB1

MN
Ａ１
Ｂ１
Ｃ１
方法小结：
1）作、证、算 2）设、求、证 3）建、求、证
Ｂ x
Ａ
Ｎ
Ｍ
Ｃ
Ｄ
y
（4）构造向量，探索解题新思路
1）运用向量的数量积处理有关长度、角度、垂直等问题
2．平面向量与空间向量的数量积的性质和坐标运算是备考的重点，复习中 要注意培养准确的运算能力和熟练运用知识的能力。
3．空间向量，给传统的立体几何内容注入了新的活力，为几何推理运算化 开辟了新的途径．而空间向量的坐标运算，更使得繁杂的立体几何问题 解决变得 思路顺畅，运算简捷。重视基础模型：直三棱柱正三棱柱、正 四棱锥、长方体；掌握基底法、坐标法。
解： i(1,0) c , (0,a)

ci (,a)


i2c(1,2a)
因此直线 OP和AP的方程分别为
ya和 xya 2ax
消去参数 ，得点 P的轨迹方程为
y(ya)2a2x2
整理得 : x2
(ya)2 2
1(a0)
1 (a)2
82
MN


AN

AM


1
AC CN ( AB

AC)

＝ j
1

k
1

(i

j)
2
42
1 1 1 i j k
224


AB1 MN

1
( i k)( i
2
1

j
1

k)



22
0 ， AB1

MN
向量法２：
如
图
，
建立
空
间
直
角
坐
标
1
AM 面BCC B AM MN 11
又B 1
BM
和MCN
中，tan1

1 2
,
tan2

1 2
1 2 1 3 900


2

3

900
B MN 900
B1
1
MN

BM 1

MN
面AB1 M
，
1
AB MN
1
B
A1 C1
AN
3
设


a(x1,y1)b , (x2,y2)，则

a与

b共线或平行的充分必要条件为
存在唯一的实数
，使

ab x1y2x2y10
运用向量共线的条件处理有关平行或共线问题比用斜率研究 这类问题简捷的多，可免去对斜率是否存在的讨论；而且思路 清晰，近乎程序化。
例10 已知常数 a0，在矩形ABCD中 A B4,B C 4a,O 为 AB的
（3）重视向量为工具处理立体几何问题
例8 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都等于 1，M是底棱 BC的
中点，N是侧棱 CC 1上的点，且
CN NC 1

1 3
（1）求异面直线 AA1 与 MN之间的距离；
A1
（2）求证：AB1 MN
B1
C1
1
AN
B
3
2
M
C
思路１：连B M, B N
1
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念； （2）掌握向量加法与减法； （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件； （4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量
的坐标运算； （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处
理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；
P 1 P F 2 0 F ,即 ( 5 x 0 )5 ( x 0 ) y 0 2 0即9x029y02 45
又 x9 0 2y4 021即 9y0 23 64x0 2 于是5x可 0 29,3得 55x0355
2）运用向量共线的充要条件处理有关平行、共线的问题
解得：xy68或xy68 又 O O B A A ( x B 4 , y 3 )
y 3 故 AB(6,8)


例7(2003全国新课程卷）已知常数 a0 向量 c(0,a),i (0,1)
经过原点 O
，以

c


i 为方向向量的直线与经过定点
数量积的公式；掌握空间两点间距离公式；
（4）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念；
（5）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对 于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。
二、复习迎考策略
1．重视教材的基础作用，加强基本知识复习，做到概念清楚， 运算准确，书写规范。