沪教版(上海)数学高二下册-11.1 坐标平面上的直线 课件
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A(17， 6)在直线l上， B(2， 2)不在直线l上，
练习2、
求过点P且和d平行的直线l 的点方向式方程．
(1) P(3， 5)，d
(3,4)
x3 3
y5 4
(2) P(0，3)，d (3,4)
x y3 3 4
练习3、求过点A和B的直线l 的点方向式方程．
(1) A(3， 2)，B(3,7) (2) A(0，3)，B(2,4)
借助平面坐标系用代数方法研究平面上图 形性质的学科称为平面解析几何.
一、复习引入：
在初中平面几何中，经过已知直线外一
点 P ，作一条直线 l 与已知直线平行，这
样的直线 只能作一条。
P•
P•
d
由此可知，如果在平面上做一条直线 l ， 使它通过某个已知点P，且与已知的非零向量
d 平行，那么这样的直线 l 是唯一的。
那么我们把方程 f (x, y) 0 叫做直线l 的方程.
五、直线的点方向式方程
v(x x0 ) u( y y0 ) 0 (1)如果u 0，v 0,则方程可化为
x x0 y y0
u
v
直线l的点方 向式方程
(2)如果u 0，v 0,则方程可化为
x - x0 0 (3)如果v 0，u 0,则方程可化为
二、直线的方向向量
定义:
与直线l平行的非零向量叫做直线 l 的方向向量
通常用 d 表示直线 l 的一个方向向量
问题:直线 l 的方向向量有几个，它们之间有联系吗？
观察下列哪些向量是图中直线的方向向量
l
b
a
不唯一
c
d
e
互相平行
d d '( R, 0).
三、直线的点方向式方程的推导
我们知道平面上过定点P，且与已知非零向量d平行
或 x x0 y y0 0
u
v
1.直线上任意一点Q(x ，y)都满足方程
v(x x0 ) u( y y0 )（1）
2.反之，方程 v(x x0 ) u( y y0 )任意一
解(x1，y1)所对应的点Q1(x1，y1)，可知PQ1 / /d ,
即Q1在直线上.
y
这样就建立了直线 l 上所有
y - y0 0
yl
P0 ( x0 , y0 ) o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd(u, v)
x
l
P0 ( x0 , y0 )
y
d(u, v)
ox
yl
P0 ( x0 , y0 )
o
d(u, v)
x
六、例题解析
例1.观察下列直线方程，并指出各直线
必过的点和它的一个方向向量。
(1) x 3 y 5 ; (2) 4( x 4) 7( y 6);
例2（. 1）已知点A(4, 6)、d (2, 1),求过点A与d 平行的直线l 的点方向式方程； (2)已知A(4, 6)、B(-3, -1)、C(4, -5)三点，求 过A且与BC平行的直线 l 的点方向式方程.
变式1：求经过B、C两点的直线l 的点方向式方程. 解：BC （7，- 4），x 3 y 1. 思考：还有其它 7 4 表达方式么？
3
4
(3)x 1;
(4) y 2
解：（1）经过点（3，- 5），一个方向向量是d (3, 4);
(2)化简得：x - 4 y 6 ,可见直线过点(4,6), 7 4
一个方向向量是d (7, 4);
(3)经过点(1,0),它的一个方向向量是d （0,1）；
(4)经过点(0, -2),它的一个方向向量是d （1, 0）.
x3 y2
6
5
x y3
21
八、课堂小结
(1)过直点线P的(x点0 ,方y0向)且式方方向程向x 量x0d
(u, v)的
y y0
u
v
(2)过点P(x0，y0 )且垂直于x轴的直线方程：
x x0
(3)过点P(x0 , y0 )且平行于x轴的直线方程：
y y0
九、拓展研究
课后思考：求过点P(x0, y0),且与非零向量 n (a,b)垂直的直线方程.
点组成的集合与方程（1）的解 的集合之间的对应关系。我们
P(x 0，y0 ) • Q( x, y) •d
把方程（1）叫做直线 l 的方程，
o
x
直线 l叫做方程（1）的图形。
四、直线的方程
直线方程的定义：对于坐标平面内的一条直线l ， 如果存在一个方程 f (x, y) 0,满足
（1）直线 l 上的点的坐标 (x, y) 都满足方程 f (x, y) 0; (2) 以方程 （f x，y）=0的解（x，y）为坐标的点 都在直线 l上.
作业
练习册：习题11.1A 组1,2,3,4；B 组1,2.
变一式般2：地，在经过A点BCP中(x1， , y1)求和平点行Q(x于2, yB2C)的边直的线中位线 M的N所点方在向直式线方程的为点：x方x2向xx11 式 yy方2程yy11（.x1 x2，y1 y2）.
七、巩固与练习
练习1.已知直线l 的方程5x 12 y 13 0， 判别点A(17， 6)，B(2,-2)是否在直线上
的直线是唯一确定的．
y
设定点P(x0，y0 )，非零向量 d (u, v)，则过P且和d平行的直
P(x 0，y0 ) •
线l如右图所示:
o
设直线上任意一点Q的坐标为(x, y),可得向量
• Q( x, y)
d x
PQ (x x0, y y0 ).由PQ / /d 的充要条件，得：
则 v(x x0 ) u( y y0 ) （1）
练习2、
求过点P且和d平行的直线l 的点方向式方程．
(1) P(3， 5)，d
(3,4)
x3 3
y5 4
(2) P(0，3)，d (3,4)
x y3 3 4
练习3、求过点A和B的直线l 的点方向式方程．
(1) A(3， 2)，B(3,7) (2) A(0，3)，B(2,4)
借助平面坐标系用代数方法研究平面上图 形性质的学科称为平面解析几何.
一、复习引入：
在初中平面几何中，经过已知直线外一
点 P ，作一条直线 l 与已知直线平行，这
样的直线 只能作一条。
P•
P•
d
由此可知，如果在平面上做一条直线 l ， 使它通过某个已知点P，且与已知的非零向量
d 平行，那么这样的直线 l 是唯一的。
那么我们把方程 f (x, y) 0 叫做直线l 的方程.
五、直线的点方向式方程
v(x x0 ) u( y y0 ) 0 (1)如果u 0，v 0,则方程可化为
x x0 y y0
u
v
直线l的点方 向式方程
(2)如果u 0，v 0,则方程可化为
x - x0 0 (3)如果v 0，u 0,则方程可化为
二、直线的方向向量
定义:
与直线l平行的非零向量叫做直线 l 的方向向量
通常用 d 表示直线 l 的一个方向向量
问题:直线 l 的方向向量有几个，它们之间有联系吗？
观察下列哪些向量是图中直线的方向向量
l
b
a
不唯一
c
d
e
互相平行
d d '( R, 0).
三、直线的点方向式方程的推导
我们知道平面上过定点P，且与已知非零向量d平行
或 x x0 y y0 0
u
v
1.直线上任意一点Q(x ，y)都满足方程
v(x x0 ) u( y y0 )（1）
2.反之，方程 v(x x0 ) u( y y0 )任意一
解(x1，y1)所对应的点Q1(x1，y1)，可知PQ1 / /d ,
即Q1在直线上.
y
这样就建立了直线 l 上所有
y - y0 0
yl
P0 ( x0 , y0 ) o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd(u, v)
x
l
P0 ( x0 , y0 )
y
d(u, v)
ox
yl
P0 ( x0 , y0 )
o
d(u, v)
x
六、例题解析
例1.观察下列直线方程，并指出各直线
必过的点和它的一个方向向量。
(1) x 3 y 5 ; (2) 4( x 4) 7( y 6);
例2（. 1）已知点A(4, 6)、d (2, 1),求过点A与d 平行的直线l 的点方向式方程； (2)已知A(4, 6)、B(-3, -1)、C(4, -5)三点，求 过A且与BC平行的直线 l 的点方向式方程.
变式1：求经过B、C两点的直线l 的点方向式方程. 解：BC （7，- 4），x 3 y 1. 思考：还有其它 7 4 表达方式么？
3
4
(3)x 1;
(4) y 2
解：（1）经过点（3，- 5），一个方向向量是d (3, 4);
(2)化简得：x - 4 y 6 ,可见直线过点(4,6), 7 4
一个方向向量是d (7, 4);
(3)经过点(1,0),它的一个方向向量是d （0,1）；
(4)经过点(0, -2),它的一个方向向量是d （1, 0）.
x3 y2
6
5
x y3
21
八、课堂小结
(1)过直点线P的(x点0 ,方y0向)且式方方向程向x 量x0d
(u, v)的
y y0
u
v
(2)过点P(x0，y0 )且垂直于x轴的直线方程：
x x0
(3)过点P(x0 , y0 )且平行于x轴的直线方程：
y y0
九、拓展研究
课后思考：求过点P(x0, y0),且与非零向量 n (a,b)垂直的直线方程.
点组成的集合与方程（1）的解 的集合之间的对应关系。我们
P(x 0，y0 ) • Q( x, y) •d
把方程（1）叫做直线 l 的方程，
o
x
直线 l叫做方程（1）的图形。
四、直线的方程
直线方程的定义：对于坐标平面内的一条直线l ， 如果存在一个方程 f (x, y) 0,满足
（1）直线 l 上的点的坐标 (x, y) 都满足方程 f (x, y) 0; (2) 以方程 （f x，y）=0的解（x，y）为坐标的点 都在直线 l上.
作业
练习册：习题11.1A 组1,2,3,4；B 组1,2.
变一式般2：地，在经过A点BCP中(x1， , y1)求和平点行Q(x于2, yB2C)的边直的线中位线 M的N所点方在向直式线方程的为点：x方x2向xx11 式 yy方2程yy11（.x1 x2，y1 y2）.
七、巩固与练习
练习1.已知直线l 的方程5x 12 y 13 0， 判别点A(17， 6)，B(2,-2)是否在直线上
的直线是唯一确定的．
y
设定点P(x0，y0 )，非零向量 d (u, v)，则过P且和d平行的直
P(x 0，y0 ) •
线l如右图所示:
o
设直线上任意一点Q的坐标为(x, y),可得向量
• Q( x, y)
d x
PQ (x x0, y y0 ).由PQ / /d 的充要条件，得：
则 v(x x0 ) u( y y0 ) （1）