(整理)二次函数与距离最小值.

二次函数与距离最小值

１.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；

（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．

参考答案： ①42

-=x y

②BD ：2-=x y ；M （0，)2-

③2=?ABM S ；)4,0(),4,22(),4,22(321--P P P

２.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由.

参考答案： ①B （1，3）

②x x y 3

3

2332+= ③AB ：3

3

233+=

x y ；C （3,1-） ④839)21(232++-=x y ；)4

35,2

1(--P

３.（05深圳）已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）求点A 、E 的坐标；

（2）若y=c bx x 7

362

++-

过点A 、E ，求抛物线的解析式。 （3）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及L 的最

小值，并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

参考答案： ①A(1,23),E(0，3)

②37

3

137362++-=x x y ③AC ：333+-=x y ；D ′(4，3)；

BD ′：5353+=

x y ；P （)3

3

2,37；周长为27+2.

４．如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；

（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，

求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

参考答案：

①．Ｅ(３,１),Ｆ(１,２)； ②．Ｐ(０,３),3

22

+-=x x y ③．55+ x

５.如图1，抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点为C （1,4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3,0）。 ⑴求抛物线的解析式

⑵如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E,交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2。若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使点D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理

参考答案： ①322

++-=x x y

②E （2,3）； AE ：1+=x y ；G(1,1) ； 12-=x y ； 2+25.

6. 如图，在平面直角坐标系中放置一矩形

ABCO,其顶点为

A(0,1),B(-33,1),C(-33,0),O(0,0).将此矩形沿着过E （-3，1）、F(-3

3

4,0)的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B '

、C '

. (1) 求折痕所在直线EF 的解析式；

(2) 一抛物线经过B 、E 、B '

三点，求此二次函数解析式；

(3) 能否在直线EF 上求一点P ，使得⊿PBC 周长最小？如能，求出P 点坐标；若不能，说

明理由。

参考答案： ①43+=x y

②23

3

4312--

-=x x y ③ＢＢ′：233--

=x y ；Ｐ（)2

1

,233--

7.如图，一元二次方程2

230x x +-=的二根12x x ，（12x x <）是抛物线2

y ax bx c =++与

x 轴的两个交点B C ，的横坐标，且此抛物线过点(36)A ，．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标．

8（09济南）已知：抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，

与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

①23

4

322-+=x x y ②ＡＣ：232--=x y ；Ｐ)34

,1(--

③Ｓ=4

3)1(432

+--m

x

）

9.如图，在平面直角坐标系中，直线y =-与轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛

物线2

(0)y ax x c a =+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；

若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点

的坐标；若不存在，请说明理由．

10.如图，已知二次函数y ＝－

2

1x

2

＋bx ＋c （c ＜0）的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且OC 2

＝OA ·OB ． （1）求c 的值；

（2）若△ABC 的面积为3，求该二次函数的解析式；

（3）设D 是（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC 上是否存在一点P ，使 △PBD 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

１１.如图，在直角坐标系中，以点A （3，0）为圆心，以23为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E. (1)若抛物线y=

3

1x 2

+bx+c 经过C 、D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上。

(2)在(1)中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得⊿PBD 的周长最小。

(3)设Q 为(1)中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得以B 、C 、Q 、M 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理

由。

１２．如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 的正半轴上，OA=5，OC=3.

(1) 在AB 上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求点D 、E 的

坐标；

(2) 若过点D 、E 的抛物线与x 轴相交于点F(-5,0),求抛物线的解析式和对称轴方程；

(3) 若（2）中的抛物线与y 轴交于点H ，在抛物线上是否存在点P ，使⊿PFH 的内心在坐

标轴上？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；

(4) 若（2）中的抛物线与y 轴交于点H ，点Q 在线段OD 上移动，作直线HQ,当点Q 移动

到什么位置时，O 、D 两点到直线HQ 的距离之和最大？请直接写出此时点Q 的坐标及直线HQ 的解析式。

13.（08福建莆田）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案： ①43

1

312++-=x x y

②725=t ③)41

28,21(M