双曲线的性质 PPT课件

ybx a
N(x,y)
M(x,Y)
A2
a
x
二、双曲线 y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)的简单几何性质
（1）范围: y a, y a
y
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线:
yax b
-b
a
o bx -a
性 双质 曲 线
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
可得:实半轴长a=4
y2 42
x2 32
1
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
渐近线方程: y 4 x 3
例题2、已知双曲线过点P（4，3），它的一条渐近线的 方程为y 1 x,求双曲线的标准方程。
2
试写出下列双曲线的渐近线方程
x2 y2 9 4
x2 y2 2 4
4
X
-3
双曲线 x2 y2 1的渐近线是
a2 b2
y
=
±
b a
x
第一象限的曲线方程 C ：
Y B2
C: y= ba√x 2- a2 ( x＞ a)
直线方程： y=
b a
x
F1 A1
0
设M（x,y) 是C上一点,
B1
N. .M
A2 F2 X
N (x,Y)是直线 y=
b a
x
上一点。
Y
MN
B2
= Y- y
若方程 x2 y2 1表示双曲线，求实数 k的取值范围 2 k k 1
和双曲线的焦点坐标。 若方程 x2 y2 1表示双曲线,求m的 取值范围
m 2 m1
若方程 x2 y2 1表示双曲线,求m的 取值范围 m2 m1
例题1
在相距2000米的两个观察站A、B先后听到远处 传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4秒， 声速是340米/秒，判断爆炸点可能分布在什么样的 曲线上，并求出该曲线的方程。
y
P
A
O
B
x
讨论：如果希望能确定爆炸 点的准确位置，还应 增加什么条件？
求双曲线标准方程的方法是什么？ 待定系数法 求双曲线标准方程的步骤： ①确定焦点的位置，定方程的形式 ②根据条件求a、b(关键)(c2=a2+b2)
双曲线的几何性质
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
图象 范围
y
xa
o
或
x x a
y ya
或
o x y a
对称 性
顶点
渐近 线
关于 坐标
(a,0) y b x
a
轴和
原点
都对 称
(0,a) y a x
b
小试牛刀
例题1 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标, 渐近线方程。 解：把方程化为标准方程
焦点永远在实轴上
以上三个性质的研究方法和椭圆类似， 可以类比得到；请区别异同。
❖下面是双曲线特有的重要性质：
双曲线的渐近线
想一想：怎样较为准确的画出
x2
y2
猜想：16 y= ±
=1 的图象 ？
9
34√ x2- 42
=
±
3 4
x√
1-(
4
x
2
)
y=
±
3 4
x
y= -
3x 4
Y 3
y=
3 4
x
-4 0
x2 y2 1 4
x2 y2 3 4
启发：
不同的双曲线拥有相同的渐近线 渐近线与双曲线焦点位置无关 双曲线的渐近线方程只与a,b的比值有关，与a，
b的大小无关；
思考：怎样更快地写出双曲线的渐近线 方程？
渐近线相同的双曲线可以怎样表示？
1.
双曲线
x2 a2
y2 b2
k k
0
的渐近线方程
0)
的简单几何性质
1、范围
x2 a2
1,即x2
a2
(-x,y)
y (x,y)
x a, x a
2、对称性
-a o a
x
关于x轴、y轴和 原点都对称。
(-x,-y)
(x,-y)
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
是
x2 a2
y2 b2
0
.
2.以
x a
2 2
y2 b2
0为渐进线的双曲线为
x2 a2
y2 b2
kk
0
变式1：与双曲线 x2 y2
9 16
有共同渐近线， 且一个顶点为(0,9)求该双曲线方程
变式2：
x2 求与双曲线 16
yBiblioteka Baidu 9
1
共渐近线
且过 A(3 3,3) 的双曲线的方程。
解:设所求双曲线方程为: x2 y2 k 16 9
焦点，过F2作垂直于x轴的直线，交双曲线于点P，
且PF1F2 300，求双曲线的渐近线方程。
小结
掌握双曲线的简单性质及其应 用
掌握共渐近线的双曲线的求法
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
（3）实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线
x2 a2
y2 a2
1(a b)
（1）双曲y 线bax
2 2
x
y2
2b 2
a12((ax0a, b)
0)
y b x a
a
的渐近线为y
b
x
y
（2）它与y等 ba轴x双 的位曲置线关xa2系: y2 a2
b B2
在(yab0x)的 的下渐方近线为 a
A1
o
y
它与y
b
x
x的位置的变化趋势
:
（3）利用渐a 近线可以较准确的
B1
画出无双限曲趋线近的草图
=
b a
( x - √x –2 a
2
)
F1 A1 0
B1
=
b . ( x - √x –2 a 2 ) ( x +√x –2 a 2 )
a
( x +√x –2 a 2 )
ab
=
x +√x –2 a 2
>0
ab
且当x 时， x +√x –2 a 2 0
N. .M
A2 F2 X
4、渐近线
双曲线在第一象限内的部分方程为：
双曲线的定义、标准方程
x2 a2
y2 b2
1,a
0,b
0
焦点 F1 c,0,F2 c,0.c2 a2 b2
y2 a2
x2 b2
1,a
0,b
0
焦点
F1 0, c, F2 0,c.c2 a2 b2
Ax2 By2 C
A、B、C满足什么条件，方程就表示双曲线？ 答： A、B异号，且C不等于零。
将点 A 3 3, 3 代入上式可求得:
因此,所求双曲线方程为: x2 y2 1 11 99 16
k 11 16
例题3、双曲线 x2 9
y2 16
1的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点Ｐ在
双曲线上，若ＰＦ１ ＰＦ２，求点Ｐ 到ｘ轴的距离。
例题5：已知点F1、F2为双曲线x 2
y2 b2
1(b
0)的