空间曲线的切线与法平面

即
xz 0
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小结
空间曲线的切线与法平面（向量都在点M 上取值）
x (t ) y ( t ), t [ , ] z (t )
y y( x ) z z( x )
T ( ( t ), ( t ), ( t ))
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0 ;
M ( x 0 x , y 0 y , z 0 z ) 对应于 t t0 t .
z


M
x
o
M
y
割线 MM 的方程为
x x 0 y y0 z z 0 x y z
法平面方程
2 x 12 y 24z 91 0
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二、空间曲线为一般方程的情形
• 曲线视为两个曲面的交线，其方程为：
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
通常假设
F ,G C 。
1
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情形3 空间曲线 为两个曲面的交线
x (t ) 情形1 y ( t ) z (t )
t
y y( x ) 情形2 z z ( x )
a xb
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情形1
设空间曲线的方程
x (t ) y (t ) z (t )
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割线 MM 的方程为
z


M
T
x x 0 y y0 z z 0 x y z
考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 t ,
x
o
M
y
x x0 y y0 z z0 , x y z t t t
x(t0 )
法平面方程为
x x0 y y 0 z z 0 . 1 y( x0 ) z( x0 )
1 (x x0 ) y(x0 )(y y0 ) z(x0 )(z z0 ) 0.
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2 2 在抛物柱面 y 6 x 与 z 12 x 例2 的交线上, 1 求对应x 的点处的切向量.切线方程和法平面方程. 2 解 取 x为参数, 交线的参数方程为 xx 2 y 6x z 12 x 2 1 于是 x 1, y 12 x , z 24 x. 所以交线上与 x 2 对应点的切向量 T (1, 6, 12 ).
切向量
切向量
τ(1, y(x), z(x)) .
T
i Fx Gx j Fy Gy k Fz Gz
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F ( x, y, z ) 0 . G ( x , y , z ) 0
切向量
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
( t0 )( x x0 ) ( t0 )( y y0 ) ( t0 )( z z0 ) 0
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例 1 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 (1,1,1) 处切线 及法平面方程.
2 2 2 x y z 6 , x y z 0 在点 例3. 求曲线
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法1 令
(F ,G) 2y ( y, z ) M 1
则
2z 1 M 2( y z)
M
6 ;
切向量 切线方程
T ( 6, 0 , 6 )
Fz dy G z dx F y Gy Fx Gx , Fz Gz
Fx dz G x Fy dx Gy Fy Gy , Fz Gz
切向量为 (F, G ) (F, G ) (F, G ) (F, G ) ( 1 , y ( x ), z ( x )) 1, , T
( z , x) ( y , z ) ( x, y ) (y, z )
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切向量为
(F, G ) (F, G ) (F, G ) T , , ( y , z ) ( z , x ) ( x, y )
i
j
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F ( x , y( x ), z( x )) 0 将 , 两边对x求全导数: G ( x , y( x ), z( x )) 0 dy dz Fx Fy dx Fz dx 0 , dy dz G x G y Gz 0 dx dx
即
x z 2 0 y20
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法平面方程
即
6 ( x 1) 0 ( y 2) 6 ( z 1) 0
xz 0
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
x z
y x 1 1 dz y z dx 1 1
1 1 z x dy , 解得 y z yz dx 1 1
即 x 2 y 3 z 6.
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情形2 空间曲线 为两个柱面的交线 y y( x ) : z z( x ) 若取x为参变量, 空间曲线 的参数方程为 xx 在M(x0, y0, z0)处, y y( x ) z z( x ) 其切向量 τ(1, y(x0 ), z(x0 )) . 切线方程为
解
2 因为 xt 1, yt 2t , zt 3t ,
而点 (1,1,1) 所对应的参数 t 1, 所以切向量
T (1,2,3).
x 1 y 1 z 1 于是切线方程为 : , 1 2 3
法平面方程为 : ( x 1) 2( y 1) 3( z 1) 0,
:
F ( x, y, z ) 0 . G ( x , y , z ) 0
F , G C1。
根据隐函数微分法知, 此方程组所确定的函数组为 y y( x ), z z ( x ), 若取x为参变量, 仍可用方程组
xx 切向量为 (1, y( x ), z( x )), y y( x ) 表示, z z( x ) F ( x , y( x ), z( x )) 0 将 , 两边对x求全导数: G ( x , y( x ), z( x )) 0
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T (1, 6, 12 ).
y y0 z z 0 x x0 y( x0 ) z( x0 )
2y 3 z 3 切线方程 2 x 1 6 6
( x x0 ) y( x0 )( y y0 ) z( x0 )( z z0 ) 0
k
Fx Gx
Fy Gy
Fz Gz
在 M(x0 , y 0 , z 0 )处 x x y y0 z z0 0 dy dz 1 切线方程 dx M dx M
法平面方程.
dy dz x x0 ( y y0 ) ( z z0 ) 0 dx M dx M
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x y yz
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量
dy dz T 1, , dx M dx M
(1 , 0 , 1 )
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点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0 , 1)
切线方程
即 法平面方程
1 ( x 1) 0 ( y 2) ( 1) ( z 1) 0
y (t0 )
当M M ,即t 0时 ,
z (t0 )
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曲线在M处的切线方程
x x 0 y y0 z z 0 . ( t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 )
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )
第九章 第六节（1） 空间曲线的切线与法平面
一、参数方程的情形
二、一般方程的情形
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空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面
M
T

M




T
M

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一、空间曲线为参数方程的情形