第5课时：分式及分式方程
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案教学目标学习分式及分式的概念、性质和运算法则，并掌握简单分式的变形和分式方程的解法。
教学重难点重点•分式的概念、性质和运算法则•分式的变形•分式方程的解法难点•分式方程的解法教学过程导入（10分钟）1.调查课前练习，询问学生对分式的了解和学习情况。
2.引入分式的概念，让学生举例说明分式的实际应用。
提高课堂参与度（10分钟）1.通过多项式的例子，引入分式。
2.分小组讨论分式与多项式的联系和区别，并展示讨论成果。
理论课（30分钟）1.分式的定义和性质。
2.分式的约分、通分和加减法。
3.分式与整式的加减法。
实践课（50分钟）1.分式的变形：分解、合并及简化。
2.分式方程的概念及解法。
3.通过实例让学生掌握分式方程的解法。
课堂总结（10分钟）1.小结本节课的重点内容。
2.引导学生对本节课的学习成果进行分享。
作业布置1.抄写本节课的重点内容以及实例。
2.完成课后练习。
教学方法1.演示法2.分组讨论3.实践操作4.个别指导教学资源1.教材：新北师大版八年级数学下册2.PPT：分式与分式方程参考文献1.《初中数学》2.《分式与分式方程教育同行》教学反思本节课通过实例和讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，真正意义上实现了知识与实践相结合。
在教学过程中，我进一步提高了自己的教学能力，尤其是关注学生的理解进程，帮助学生掌握分式方程的解法，提高其数学素养。
第五课时：一元二次方程(分式方程)及应用
知识梳理：知识点1 分式方程的概念及解法1.分式方程的概念;分母中含有 的方程叫做分式方程 【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程根本依据】2.分式方程的解法步骤(1)去分母：给方程两边都乘以________，把它化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)________．3.增根(无解）：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不能省略】提分必练：1.分式方程3x ＝2x －1的解是( )A ．x ＝－3B ．x ＝－35C ．x ＝3D ．无解2.若分式方程x x －1－m 1－x＝2有增根，则这个增根是________．m=___________。
3.解分式方程2x －1＋x ＋21－x＝3知识点 2 分式方程的应用(高频考点) 1．列分式方程解应用题的六个步骤 (1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系，列出方程； (4)解：求出所列方程的解； (5)检：双检验．A .检验是否是分式方程的解； B ．检验是否符合实际问题； (6)答：写出答案． 2．常见关系 分式方程的应用题主要涉及工作量问题，行程问题等常见的公式及数量关系. 知识点3 一元二次方程的概念 1. 概念：只含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____的________方程叫一元二次方程．2.一般形式是：_______________________． ____________________________________。
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正】知识点4 一元二次方程的解法 直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如ax 2=b 或(x ＋m)2＝n(n>0)的方程. 配方法：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项的系数。
分式与分式方程
分式与分式方程概念引入回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x2．看下面的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分式概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A叫做分式．注意：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．（分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式B A 才有意义；当B=0时，分式B A无意义）含分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程注意：分母是否含有末知数是区别分式方程与整式方程的关键。
1、下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？322x x =-，734=+y x ，x x 321=-，1)1(-=-x x x ，23x x =-π，10512=-+x x ，21=-x x ，1312=++x x x分式方程解法例1．解分式方程：1221242+=+-++xx x x x 。
分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。
例2．解方程32215443++-++=++-++x x x x x x x x 。
解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母 解法2：方程两边分别通分，得解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。
例3.解方程：xx 332=- [例24.解方程：)2)(1(311+-=--x x x x 1．解分式方程的基本思想−−−−→−转化2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。
所以，必须验根。
产生增根的原因： 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零．．．．的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。
北师版八年级下册数学精品教学课件 第五章 分式与分式方程 第3课时 异分母分式的加减(2)
3
m
m3
3m
3
2m （m 3）
m 3m 3
m
m3
3m
3
从 1，-3，3 中任 选一个你喜欢的 m 值代入求值.
1. m3
当
m
=
1
时，原式
1 1
3
1 2
做一做
先化简，再求值： 1 x 1
x
2 2
，其中 1
x
2.
解：
1 x 1
2 x2 1
1 x 1
2 (x 1)(x 1)
(x 1)
2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
计算结果要化为最简分式或整式．
例解4：原计式算： （m1）2m22
2m
5 2m
m
5 ••232m3mm4mm;41
2
(m
或
2)(2 2m
m)
9 m2 • 2m 2
先算括号里的
2m 3m
加法，再算括
3 m3 m 22 m
•
号外的乘法
2m
3m
2m 3 2m 6.
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第3课时 异分母分式的加减(2)
复习引入 1. 分式的乘除法则是什么？用字母表示出来：
b d bd a c ac
b d b c bc a c a d ad
2. 分式的加减法则是什么？用字母表示出来：
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 相加减 转化为
分子 (整式) 相加减
2. 分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
考点05 分式、分式方程及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点05 分式、分式方程及其应用分式在中考中的考察难度不大，考点多在于分式有意义的条件，以及分式的化简求值。
浙江中考中，分式这个考点的占比并不太大，其中分式的化简求值问题为主要出题类型，出题多以简答题为主；个别城市会同步考察分式方程的简单应用，多以选择填空题为主，有些城市甚至不会出分式的单独考题；而分式方程的应用也和分式方程一样，较少出题，出题也基本是以选择题或者填空题的形式考察，整体难度较小。
但是，分式的化简方法以及分式方程的解法的全面复习对后期辅助几何综合问题中的计算非常重要！考向一、分式有意义的条件考向二、分式的运算法则考向三、分式方程的解法考向四、分式方程的应用考向一：分式有意义的条件1.分式：一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B中含有分母，那么式子叫做分式，分式中A叫做分子，B 叫做分母。
最简分式：分子分母中不含有公因式的分式2.分式有意义的条件3.分式值=0需满足的条件【易错警示】1．下列四个式子：，x 2+x ，m ，，其中分式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据分式的定义可得．【解答】解：分母上含有字母的式子是分式，题目中所给的式子中只有，两个分母中都含有字母，所以这两个是分式，故选：B ．2．若分式无意义，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据分式无意义的条件可得2x ﹣1＝0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x ﹣1＝0，解得：x ＝，若 ＜故选：C ．3．若分式的值为零，则x 的值为（ ）A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．1【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依题意，得x 2﹣4＝0，且x +2≠0，解得，x ＝2．故选：B ．4．已知＝，则的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【分析】先化简，代入数值计算即可．【解答】解：∵，＝＝＝．故选：C ．考向二：分式的运算法则1.分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
分式与分式方程导学案(全章修改)
第五章 分式与分式方程5.1 从分数到分式一.明确目标，预习交流 【学习目标】1. 了解分式的概念，会判断一个代数式是否是分式；2. 能用分式表示简单问题中数量之间的关系，能解释简单分式的实际背景或几何意义；3. 能分析出一个简单分式有、无意义的条件；4. 会根据已知条件求分式的值。
【重、难点】分式有、无意义的条件。
【预习作业】：1. 什么是整式？ 。
2. 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？a 21；2x+y ；2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 .整式： 。
3. 自主探究：完成p 2的“思考”，通过探究发现，a s 、sV、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。
4. 归纳：分式的意义： 。
上面所看到的a 1 、x y x 2-、a s 、sV 、v +20100、v -2060都是 。
5. 我们小学里学过的分数有意义的条件是 。
那么分式有意义的条件是 。
二.合作探究，生成总结1. 探究分式有意义的条件（1） 分式BA的分母中含有 ，由于 不能为0，所以分式的分母不能为 ，即当B 0时，分式B A才有意义。
（2） 当x 时，分式2+x x有意义。
（3） 当x 时，分式1-x x有意义。
（4） 当x 、y 满足关系 时，分式yx yx +-有意义。
归纳：分式有意义的条件为： 2. 探究分式值等于0的条件（1） 若分式2+x x的值为0，则x= 。
（2） 若分式BA的值为0，则 且 。
归纳：分式的值为0的条件是 3. 探究分式无意义的条件 （1） 当x 时，分式2+x x无意义。
（2） 使分式1-x x无意义，则x 的取值是 。
A.0 B.1 C.-1 D. 1±（3） 对于分式B A，当 时分式有意义，当 时分式BA 无意义。
三、合作探究，小组展示1. 下列各式①x 2 ② yx +5 ③ a -21 ④123-x ,是分式的有（ ） A.①② B.③④ C . ①③ D.①②③④2. 当x 取什么值或范围时，下列分式有意义？①18-x ② 912-x ③12+x y 3. 当a 时，分式242+-a a 的值为0.4. 使分式1-x x无意义，x 的取值是 5. 在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）5x-7 ；（2）3x 2-1 ；（3）123+-a b ；（4）7)(p n m +；（5）—5 ；（6）1222-+-x y xy x ;（7）72；（8）cb +54。
北师版八年级下册第五章分式和分式方程复习课件(28张PPT)
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
第五章 分式与分式方程全章教案
第五章 分式与分式方程教学目标：1、了解分式、分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法和步骤2、理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分，会找最简公分母，能进行分式的通分3、能进行简单的分式加减乘除运算4、能解决一些与分式有关的简单的实际问题5、经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识教学重点：分式的加减乘除运算教学难点：能解决一些与分式有关的简单的实际问题知识结构：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧题的一般步骤列分式方程解决实际问解分式方程应注意验根分式方程异分母的分式加减法则同分母的分式加减法则加减分式的除法法则分式的乘法法则乘除运算通分约分应用基本性质基本性质最简分式分式基本概念分式分式与分式方程课时安排：1、认识分式 2课时2、分式的乘除法 1课时3、分式的加减法 3课时4、分式方程 3课时1．认识分式（一）教学目标：1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流．教学重点1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．教学难点分式有意义、无意义、值为零三者的区别教学过程一、温旧而知新问题：下列子中那些是整式？a ，-3x 2y 3，5x -1，x 2+xy +y 2，abc m a a y xy n m ,3,19,,2-- 二、情景引入以一个“土地沙化”的问题情景引入，让学生思考讨论，用式分式表达题目中的数量关系：（1）：面对目前严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前完成一原计划的任务。
北师大版八年级下册数学 第五章 分式与分式方程(知识点)
第五章分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成AB的形式。
如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
分式需要满足的三个条件：（1）是形如AB的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。
分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
字母表示：AB =A·CB·C，AB=A÷CB÷C(C≠0，其中A,B,C均是整式)运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。
3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。
字母表示：AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即A·CB·C =AB（C为整式且C≠0）.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
用字母表示：将AB 和CD通分，AB=A·DB·D，CD=B·CB·D（分母都为B·D）。
通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。
分式及分式方程
《分式及分式方程》教材分析一、课标要求课程总目标和学段目标不再缀述，本章内容《课标》要求如下：1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分，能进行简单的分式加减乘除运算。
2.能根据具本问题中的数量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
3.能理解可化为一元一次方程的分式方程的分式方程。
4.以根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
根据《课标》要求，确定如下学习目标二、学习目标1. 经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程，了解分式、最简分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号意识。
2.经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程，发展合情推理的能力与代数式恒等变形能力，积累类比活动经验。
3.熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会求分式的值，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根，发展运算能力。
4.能解决一此与分式、分式方程有关的实际问题、发展分析问题、解决问题的能力和应用意识。
三、教析分析教材总设计了4节内容第一节：“认识分式”。
通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关系引入分式概念，体会分式的模型作用；通过类比分数的基本性质，理解分式的基本性质。
第二节“分式的乘除法”通过类比分数的乘除法则，获得分式乘除法的法则，并会用法则进行分式运算。
第三节“分式的加减法”。
通过类比分数加减法的法则，获得分式加减法的法则，并会用法则进行分式的运算。
第四节“分式方程”通过列出刻画行程、捐款等实例的方程，分析所列出的方程工共同特征，理解分式方程的概念，进而学习怎样解分式方程，并会用分式方程解决简单的实际问题。
四、教学建议1.要让学生充分经历字母表求实际问题中的数量关系的过程，发展学生的符号意识，体会模型思想。
在《课标》前言中就提到：在数学课程中应发展学生的符号意识，符号意识主要是指能够运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。
北师大版八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 5.2 分式的乘除法 教案
数学八年级下北师大版第五章第二节《分式的乘除法》教学设计一、内容分析1. 教材的地位及作用本节课为北师大版数学教材八年级下册第五章《分式与分式方程》第二节《分式的乘除法》的内容，本节课是学生初中阶段代数部分学习的一个重要内容.在知识的联系上，本节是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的基础上，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础.在能力的培养上，学生的运算能力和逻辑思维能力得到了发展和提高.在数学思想方法上，本节课是培养学生类比的一个好素材，同时培养了学生的探索精神和用数学的意识.2. 学情分析（1）从心理学的分析来说，初二学生处于逻辑抽象的起点，思维发展的转折点，表现从经验型思维向理论型思维转化的特点.他们身心发展较快，对事物发展的好奇心强，有一定的求知欲，需要我们不断引导.（2）经过七年级的学习，学生已经具备了一定的知识储备知识技能和良好的数学学习习惯，并且学生已经学习分式基本性质、分式的约分和因式分解，通过与分数的乘除法类比，促进知识的正迁移.（3）八年级的学生接受能力、思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高，自学能力较强，通过类比学习加快知识的学习.3. 教学目标（1）知识技能：理解分式的乘除运算法则；会进行简单的分式的乘除法运算.（2）数学思考：经历探索分式的乘除法法则的过程，让学生熟悉“数、式通性”“类比、转化”的数学思想方法，感知数学知识具有普遍的联系性.（3）问题解决：会用分式乘除法法则进行分式乘除法运算，并能解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.（4）情感态度：通过师生观察、猜想、讨论、交流、归纳，培养学生合作探究的意识和能力，同时增强学生的创新意识和应用意识，使学生体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣，了解数学的价值，同时化简分式的最简结果也让学生感受到数学的简洁美.4.教学重点难点重点：分式乘除法的法则及应用.难点：分子分母是多项式的分式的乘除法运算.二、教法学法1. 教法分析教育的本质在于引导的艺术，为了充分调动学生学习的积极性，培养学生的运算能力，使本节课教学丰富有效，本课的教法为：在教师的引导下学生经历“类比分数――观察猜想――归纳明晰――理解应用”的活动过程，体会知识的形成和应用，感受学习过程中数学方法的渗透.采用ppt辅助课堂教学，直观呈现教学素材，激发学生的学习兴趣，提高学习效率，体验在数学学习活动中探索的乐趣，体会数学的应用价值.2. 学法指导学习过程中，充分引导学生积极思维，让每个学生都动口、动手、动脑，让学生在自主探索、合作交流中加深理解分式的乘除运算，充分发挥学生学习的主动性.三、教学过程归纳分式的乘法法则：两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积归纳分式的乘法法则：两个分式相除, 把除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘.四、板书设计。
《分式方程》分式PPT
C. 2(x–8)–5x=16(x–7)
D. 2(x–8)–5x=8
解析：原方程可以变形为
x 8
5x
8，两边都乘以2（x–7）得
x 7 2( x 7)
2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).
巩固练习
方法点拨
易错易混点拨：
x 2 3 x 2
x 5 3 x 5
x 8
1 1
1
3x 8
x 11
1
1
3x 3
24
得
1 1
1
1 1
1
3x 1
x 11
3 x 1 8
解得x=–3，
经检验：x=–3是原方程的根.
课堂小结
分式方程Βιβλιοθήκη 巩固练习下列式子中，属于分式方程的是 （2）（3） ，属于整式方
程的是 （1） （填序号）．
x x-1
2
4
（1） +
=1； （2） =
；
2
3
2
1-x 1-x
1
2
1
（3） + 2 =1； （4） ＞5．
3x x
x
探究新知
知识点 2
问题1：
解分式方程
90
60
=
你能试着解分式方程 30+v 30-v
吗？
3.了解解分式方程根需要进行检验的原因．
2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思
分式和分式方程(复习)课件
最简公分母的确定
如果分母是单项式时，最简公分母是：①系数取最 小公倍数；②字母取所有字母；③字母的次数取所 有字母的最高次幂。 如果分母是多项式时，应该先考虑分解因式，再确 定最简公分母。 1 3 2 例： )通分： 与 (1 、 3 2 ax 2b x 3cx x2 x 1 ( 2)通分：2 与 2 x 2x x 4x 4
解：方程两边都乘以 4得： x
2
（x 2) a ( x 2)
2
2
若方程有增根，只能是 2或x 2 x 将x 2和x 2分别代入整式方程可得 ： a 16或a 16
m 1 1、关于x的方程 1 x 1 x 2 1 有增根-1，求m
2、若方程
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 ······ 程的根. ··· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, 而不是分式方程的根.···· ····
x2 a x2 例：若关于x的方程 2 x2 x 4 x2 有增根，求a的值。
ab 1 1 解：由已知可得 3, 即 3(1), ab a b 1 1 1 1 同理得： 4(2), 5 b c c a 1 1 1 6 a b c 1 1 原式 ab bc ac 6 abc
分式 方程
概念：分母中含有未知数的有理方程，叫做 分式方程。 解分式方程的步骤： 将分式方程转化为整式方程（方程两边同时乘 以最简公分母） 解整式方程 检验（验根） 写出方程的解
解分式方程易错点分析
一、去分母时常数漏乘 最简公分母 2 x 1 例1、解方程： 2 x 3 3 x 二、去分母时，分子是 多项式不加括号 5 3 x 例2、解方程： 2 0 x 1 x 1 三、方程两边同时除以 可能为零的整式 3x 2 3x 2 例3、解方程： x4 x3
《分式方程》分式PPT课件 (共18张PPT)
X2-1=0
时,
3 x2 3、分式 2( x 3)与 x 2 3x 的最简公分母 是 2X(x―3) .
解分式方程
例1 解分式方程
x11 x1 2
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转 ● ● ● ● ● 化 x 1 1 得 2(x＋1) · x1 2 · 2(x＋1) 整式方程 ① 化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 · · · · · · 程的根. · · · 使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, · · · · 而不是分式方程的根. · · · ·
练 x(x 2) 解 : 方程两边同乘以最简公分母 , 一 2+ x -6=0 或x(x+1)-6=0 x 化简 , 得 . 练① ② 解得 x1= -3 , x2= 2 . ③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
概 念 观察下列方程： 一元一次方程
1、2(x－1)=x＋1;
一元二次方程
x2＋x-20=0;
x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
1 x 1 1 1 1 x 1 5 x 9 x 0 ; ; 1 ; 2、 y 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1
· · · · · · · · · x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0; 把x2= 2 ,代入最简公分母,
x 1 6 0 (填空)1、解方程: x 2 2 x 2 x
7
x(x-2)= 2(2-2) =0
北师大版初二数学下册第五章 分式与分式方程 回顾与思考
北师大版八年级（下）数学第五章回顾与思考（一）教学设计西安高新第一学校车大鹏一、教材分析本节是第五章《分式与分式方程》的最后一节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生回顾在学习分式的基本概念与分式的运算时用到的几种法则，熟练掌握分式的运算法则，通过螺旋式上升的认识，让学生逐步熟悉运用分式运算的基本技能，培养学生的代数表达能力，通过本节课的教学使学生对分式的运算能有更深的认识．二、教学目标●知识与技能（1）学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；（2）提高学生分式的基本运算技能．●过程与方法（1）通过制作思维导图，将头脑中零散的知识点用思维导图有机地组合起来，形成知识网络。
（2）通过典例分析，学生在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用。
●情感、态度与价值观（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．三、教学重点、难点教学重点：进一步熟悉分式的意义及分式的运算；教学难点：提高学生分式的基本运算技能．四、教学方法●学生学习现状分析学生的技能基础：学生已经学习了分式及分式的运算等有关概念，对分式及其运算有了初步的认识，但对技巧性较高的运算题还不熟悉．学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．●教法分析在本章的学习中，学生已经掌握了分式的概念与分式加减乘除法的运算，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用。
因此采用“回顾、反思、应用”有机结合的教学法。
分式及分式方程知识点总结
分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解一、分式1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则;;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n ba b a n n n = ;cb ac b c a ±=± bdbc ad d c b a ±=± 二、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类考点典例一、分式的值【例1】（2015·黑龙江绥化）若代数式6265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=_________.【点睛】分式6265x 2-+-x x 的值为零则有x 2-5x+6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】1.要使分式x 1x 2+-有意义，则x 的取值应满足（ ） A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=-2.（2015·湖南常德）若分式211x x -+的值为0，则x ＝考点典例二、分式的化简 【例2】化简：2x x x 1x 1---=（ ） A 、0 B 、1 C 、x D 、1x x -【点睛】观察所给式子，能够发现是同分母的分式减法。
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程课件
X=-3
(4) X2 -1 X2 +2x+1 X=1
6.当x为何值时,分式 2x (x-2) 5x (x+2)
(1) 有意义
(2) 值为 0
X≠0且x≠-2
X=2
7.要使分式 -2 的值为正数,则x的取值范围是 X>1 1-x
8.当x <-2 时,分式 X2+1 的值是负数. X+2
9.当x ≥7
依题意得：
180
240
=
x
x5
请完成下面的过程
甲：15 乙：20
1
x2
的值.
变:已知 x+ 1 =3 ,求
x
x2 x4+x2+1
的值.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
后再与被除式相乘。
用符号语言表达：
(1)
4 3
x y
y 2x
3
ab3 5a2b2 (பைடு நூலகம்) 2c2 4cd
4
2
2
x
1
解：原方程可化为 1 4x 2 1
NNoox 2 (x 2)(x 2) x 2
两边都乘以 (x 2)(x 2) ，并整理得；
IImmaaggee x2 3x2 0 解得 x1 1, x2 2
检验：x=1是原方程的根，x=2是增根
∴原方程的根是x=1
例2
已知
x3 (x 2)2
1.约分： 把分子、分母的最大公因式(数)约去。 2.通分:
把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5课：分式的运算、分式方程及应用
主备：蔡文娟 审核：羊淑霞
一、中考要求：
1.了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．
2.理解分式方程的概念，会解分式方程；
3.会用分式方程解决实际问题。
二、知识要点： 1．分式有关概念
（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。
对于一个分式来说：
①当____________时分式有意义。
②当____________时分式没有意义。
③同时满足___________________________条件时，分式的值是零。
（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。
（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。
（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的
通分。
通分的关键是确定几个分式的___________ 。
2.分式方程的定义：___________________的方程，叫做分式方程.
3.解分式方程步骤：1.去分母，转化成整式方程：方程两边同乘最简公分母;
2.解整式方程；
3.检验（检查求出的根是否是增根）。
4．分式方程的增根：分式方程的增根是原分式方程去分母后转化为整式方程的根，它使得最简公
分母为0，所以原分式方程无解或者说分式方程有增根、
四、典型例题：
1. 在22
21123,0,
,13,,,,323x y x x x x x x y π
+--中，整式有_____个，分式有_____个。
2. 分式x x 312-与9
2
2-x 的最简公分母是 。
3. 当x 取何值时，分式（1）2
1
x
x x ++； （2）3221x x -+； （3）24x -有意义。
4. 当x 取何时，分式（1）2
21x x x --+； （2）33
x x -+的值为零。
5.（1）若关于x 的分式方程13
1=---x
x a x 无解，求a 的值.
（2）关于x 的方程11
2=-+x a
x 的解为正数，求a 的取值范围.
6.某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？
7.（1）计算: x y x y x x
y x y x x -÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛--++-3232；
（2）先化简，再求值：（+2﹣x ）÷
，其中x 满足x 2﹣4x +3=0．
8.解分式方程：（1）2631132-=--x x （2）x
x x -=
--23
124 （3）
1112112+=---+x x x x (4)14
16
222-=-+-+x x x
随堂演练： 1. 若将分式
a b
ab
+ (a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的2倍 ； B ．缩小为原来的12； C ．不变； D ．缩小为原来的1
4
2.对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1
a
.若2⊕(2x －1)＝1，则x 的 值为 ( )
A.56
B.54
C.32 D ．－16
3.甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x 天．则可列方程为（ ）
A ．
183010=+x B ．30810=++x C ．1)1301(83010=++x D ．8)30
10
1(=+-x 4. 已知分式25,45
x x x ---当x ≠______时，分式有意义；当x=______时，分式的值为0．
5. 已知分式
a
x x x +--53
2，当2=x 时，分式无意义，则=a _______；
6. 已知
113x y -=。
则分式2322x xy y
x xy y
+---的值为 。
7.已知0346
x y z ==≠，则x y z
x y z +--+的值为___________.
8. 当a 时，方程
01
2=--x a
x 有解。
9．当x =_________时，分式3－x 2－x 的值比分式1
x －2的值大3.
10.若
2
1)2)(112+++=+++x B
x A x x x （恒成立，则A+B=_______.
11．若关于x 的方程
)
2(4
22--=-x x x x a 无解，则a=_____________. 12.若关于x 的方程2
x －2＋x ＋m 2－x
＝2有增根，则m 的值是________．
13. 在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米／时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 ．
14．当m 为何值时，关于x 的方程
213
x m
x +=--的解是非负数？
15.解方程：（1）x x x x 3-6104-124-5+=- （2）
12
6
2=++-x x x
16.先化简，再求值：1
21)23-12+-
+-÷+x x
x x x x （，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0．
17.几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
18.马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
19．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？。