求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的九种常用方法

一、换元法

已知复合函数f [g （ｘ)]的解析式,求原函数f(ｘ）的解析式, 把g （ｘ)看成一个整体t ，进行换元,从而求出f(x)的方法。

例1 已知ｆ(x

x 1+）= x x x 1122++,求ｆ（x)的解析式． 解： 设x x 1+＝ t ,则 x= 1

1-t (t ≠1), ∴f （ｔ）＝ 1

11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(ｔ-１)＝ t 2－t+１ 故 f （x)=x ２

-x ＋1 （x ≠１). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围，即为函数的定义域．

二、配凑法

例2 已知ｆ(x +1)= x+２x ,求f （x)的解析式．

解: f （x +1）= 2)(x +２x +1-1=2)1(+x -1,

∴ ｆ（x +1）＝ 2)1(+x -1 (x ＋1≥1)，将x ＋1视为自变量ｘ，则有

f(x)= x 2

-1 (x ≥１)． 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错.

三、待定系数法

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。

例3 已知二次函数ｆ（x)满足ｆ(0)＝０,ｆ（x+1）＝ f(ｘ）+2x+８,求f （x ）的解析式．

解：设二次函数f(x ）＝ ａx ２+bx+c,则 f(０）= c= 0 ①

f （x+1)= a 2

)1(+x +b （x+1)= ａx 2＋（2a ＋b)ｘ+a+b ② 由ｆ（ｘ+1)= f （x)+2x ＋8 与①、② 得

⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.

7,1b a 故f(x)= x 2+7ｘ.

评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

四、消去法(方程组法）

例4 设函数f （x ）满足ｆ（x ）+2 f(x 1)= x (x ≠０），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求ｆ（ｘ），必须消去已知中的f(x 1)，若用x 1去代替已知中x,便可得到另一个方程,联立方程组求解即可.

解：∵ ｆ(x ）＋2 ｆ(x

1）＝ ｘ (x ≠0） ① 由x 1代入得 ２f(ｘ)+ｆ(x 1)=x

1（x ≠0) ② 解 ①② 构成的方程组，得 ｆ（x ）=x 32-3

x （x ≠０). 评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数

满足,求的解析式。

五、特殊值法

例5 设是定义在R 上的函数,且满足f （0)=1,并且对任意的实数x,y,有

ｆ(x-y ）= ｆ(ｘ)- y （2ｘ－y+1），求ｆ(ｘ)函数解析式．

分析:要f(0)=１，x,y 是任意的实数及ｆ（ｘ-y ）= f （x)- y （2x-y ＋1)，得到

ｆ(x ）函数解析式，只有令x = y.

解： 令x = ｙ ，由ｆ（x －y ）= f(ｘ)－ y （2x －y ＋1) 得

f （０)＝ f （x ）－ x(2x －ｘ+１）,整理得 f （x ）= x ２+x+1.

练习： 已知函数

的定义域为R ，并对一切实数x,y 都有，求

的解析式。

六、对称性法

即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.

例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥０时，f （x)=2x －x ２,求f （x)函数解析式．

解:∵y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴ｙ=ｆ（x ）的图象关于原点对称.

当x ≥0时，ｆ（ｘ）＝2x-ｘ2的顶点（１，1）,它关于原点对称点（－1,—1)， f(x)=⎩⎨⎧+-x

x x x 2222 因此当x<０时，y=2)1(+x －1＝ x 2 +2ｘ.故 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.

七、函数性质法

利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。

例6. 已知函数

是R 上的奇函数，当的解析式。 解析：因为

是R 上的奇函数, 所以

， 当,

所以

八、反函数法

利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。

例7. 已知函数

,求它的反函数。

解:因为，

反函数为

九、“即时定义”法

给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。

例8. 对定义域分别是的函数，规定:函数

x ≥0，

x ＜0.

若,写出函数的解析式。