数学分析(上)2-2收敛数列的性质

| an bn a b| | an a | | bn b | 2 ,
由 的任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn
.
证明 (2) 因 { bn} 收敛, 故 {bn} 有界, 设 | bn | M .
对于任意 0, 当n N时, 有
| an
a
|
,
M 1
| bn
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三、保号性
定理 2.4
设
lim
n
an
a
,
对于任意两个实数
b,
c
,
b a c , 则存在 N, 当 n > N 时, b an c.
证 取 min{ a b, c a } 0, N , 当 n N 时,
b a an a c, 故 b an c.
b |
，
| a | 1
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于是 | anbn ab | | anbn abn abn ab |
| bn | | an a | | a | | bn b | 2 ,
由 的任意性, 证得
lim
n
anbn
ab
lim
n
an
lim
n
bn
.
证明 (3)
因为
an bn
lim
n
cn
a.
证
对任意正数 , 因为
lim
n
an
limbn
n
a,
所以分
别存在 N1, N2, 使得当 n N1 时, a an;
当n
N
时,
2
bn
a .
取
N
max{
N0, N1, N2
},
当 n N 时，a an cn bn a . 这就证得
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§2 收敛数列的性质
本节首先考察收敛数列这个新概念有哪
些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.
一、惟一性 二、有界性 三、保号性 四、保不等式性 五、迫敛性(夹逼原理) 六、极限的四则运算 七、一些例子
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一、惟一性
定理 2.2 若 {an } 收敛, 则它只有一个极限.
证 设 a 是 {an } 的一个极限. 下面证明对于任何 定数 b a, b 不能是 {an} 的极限 .
ab, 2
由保号性定理,存在 N N0,当 n N 时,
an
a
a
2
b
a
2
b
,
bn
b
a
2
b
a
2
b
,
故 an bn, 导致矛盾. 所以 a b .
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注 若将定理 2.5 中的条件 an bn 改为 an bn ,
也只能得到
lim
n
an
lim
n
bn
.
这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定
注 若 a 0 (或a 0), 我们可取 b a ( 或 c a ) ,
则 an
a 2wenku.baidu.com
0
( 或 an
a 0). 2
2
2
这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.
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例1
证明
lim
n
n
1 n!
0.
证 对任意正数 , 因为 lim (1 )n 0 ,
n n!
所以由
定理 2.4, N 0, 当 n N 时,
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n
2 n
,
但 lim n
1 n
lim
n
2 n
0
.
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五、迫敛性 (夹逼原理)
定理 2.6 设数列{an }, {bn }都以 a 为极限, 数列{cn}
满足: 存在 N0 ,当 n N0 时, 有 an cn bn , 则
{cn } 收敛，且
lim
n
cn
a.
例2 求数列 { n n }的极限.
解 设 hn n n 1 0, 则有
n
(1
hn
)n
n(n 2
1)
hn2
n 2 ,
故 1 n n 1 hn 1
2 . 又因 n1
lim 1 lim1 2 1 ,
n n
n1
所以由迫敛性，求得 lim n n 1 . n
lim
n
c
bn
c
lim
n
bn;
(3)
若 bn lim an n bn
0,
lim
n
bn
lim
n
an
0, 则
lim
n
bn
.
abnn
也收敛，且
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证明 (1)
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
0,
存在
N,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
1 n
1, n!
即
1 n n!
.
这就证明了
lim
n
1 n n!
0.
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四、保不等式性
定理 2.5 设 { an}, { bn} 均为收敛数列, 如果存在正
数 N0,当
n
N0
时,
有 an
bn ,则
lim
n
an
lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
若 b a, 取
若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 >0,
N1, 当 n N1 时，有
| an a | ;
(1)
N2, 当 n N2 时，有
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| an b | .
(2)
令 N max{ N1, N2}, 当 n > N 时 (1), (2)同时成立,
a, 对于正数
1,
N,
n
N 时,有
| an a | 1, 即 a 1 an a 1 .
若令 M max{ | a1 |,| a2 |, ,| an |,| a 1 |,| a 1 | },
则对一切正整数 n , 都有| an | M .
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注 数列 {(1)n} 是有界的, 但却不收敛. 这就说 明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条 件.
an
1 bn
,
由(2),
只要证明
lim 1 1 .
n bn
lim
n
bn
由于 b 0, 据保号性, N1, 当 n N1 时 ,
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从而有
| a b | | an a | | an b | 2 .
因为 是任意的，所以 a b .
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二、有界性
定理 2.3 若数列 {an} 收敛, 则 {an} 为有界数列，
即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2, .
证
设
lim
n
an
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六、四则运算法则
定理2.7 若 {an }与{bn } 为收敛数列， 则 {an bn},
{ an bn}, { an bn} 也都是收敛数列, 且有
(1) lim n
an bn
lim
n
an
lim
n
bn;
(2)
nliman
bn
lim
n
an
lim
n
bn
,
当 bn为常数 c 时,