2221
21
12212
2
22221212
1211sin y
x y
x y x y x y x y x y y x x A ++-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++-=
又ABC ∆
的面积A S 2
1
⋅=
12212
2
2221211
2212
22221212
1
2
1y x y x y x y x y x y x y x y x S ABC -=
++-++=
∴∆ 用上述结论可以解决很多问题。
例1、ABC ∆的三个顶点是()0,5-A ，()3,3-B ，()2,0C ，求ABC ∆的面积。 解：由()3,8-=AB ，()2,5=AC ， 得()2
31532821211221=⨯--⨯=-=
∴∆y x y x S ABC 结论2：在ABC ∆中，m AC AB =⋅
，且θ=，则三角形ABC 的面积：
θtan AC S ABC
⋅=∆
证明：θθsin 21==∆S ABC
θθθθtan cos sin cos 21AC =⋅=
例2：已知O 是ABC ∆内部一点，0=++OC OB OA ，32=⋅AC AB
且0
30=，则AOB ∆的面积为（ ）
（A ）2 （B ）1 （C ）
21 （D ）3
1 解：因32=⋅AC AB
30=
则ABC ∆
的面积：13
33221tan =⨯=⋅=
∆θAC S ABC 又0=++OC OB OA ，可得O 为ABC ∆的重心
∴AOB ∆的面积3
1
31==
∆∆ABC AOB S S 故选D 引申：在ABC ∆中，3=⋅BC AB ，ABC ∆的面积⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈23,23S ，则AB
和BC 夹角的取值范围是（ ）
（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ （D ）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,3ππ
θ=⋅
，由θθθtan 2
3
tan 321tan =⨯⨯=⋅=
∆AC S ABC 由题意得
23tan 2323≤≤θ 1tan 33≤≤∴θ 解得4
6π
θπ≤≤，故选B 结论3：平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ∆的面积等于
证明：设a ，b 的夹角为θ
，由条件得b a =
θcos
2
cos 1sin ==-=∴θθ
S
OAB
⋅
=
⋅
=
∴
∆
θ
=
例3、已知ABC
∆中，向量()0
066
sin
,
24
sin
=
BA，()0
032
sin
,
58
sin
3
=
BC，求ABC
∆的面积。
解：由()0
066
sin
,
24
sin
=
BA
1
=，
由()0
036
sin
3,
54
sin
3
=
BC3
=
BC
BA⋅()2
3
3
60
sin
3
36
sin
24
cos
36
cos
24
sin
30
0=
=
+
=
4
3
2
3
3
3
1
2
12
2
2=
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⨯
=
=
∴
∆
S
ABC
新课程增加了新的现代数学内容——平面向理，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题"。因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜"深挖洞"。我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平
以上是平面向量在中学数学中的几点应用，也是我教学中的一点体会，由于向量表示形式的多样化及直观性使解题更加简洁，可以省略大量繁琐的过程，本文难免有许多浅薄及不足之处，恳请批评指正。
