双曲线的参数方程中参数的几何意义

o

H x
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y
二、讨论学案
尝试练习：若6题选择普通方程如何解决？哪 种解法更方便。
巩固提高：6题中的 4 是参数方程中的 。 3，8题的解法
a
Leabharlann Baidu
A B'

•M
A' x
说明：
3 通常规定 [o,2 )且 ， 。 2 2
x a sec (为参数) y b tan
o B
b
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
t2 x 2p y t
t为参数
t为参数
p t2 x 2 y pt
t为参数
（2）抛物线的参数方程中参数的几何意义
y
M(x,y)

o x
• 抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数，t R) y 2pt.
y sin
x a 4t （ 为参数），直线L的参数方程为 y 1 t
（t为参数）. （1）若a=-1，求C与L的交点坐标. （2）若C上的点到L的距离的最大值为 17 ，求a.
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2

y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
一、圆锥曲线的参数方程的推导
圆锥曲线的参数方程 新课标人教版课件系列
（高中数学4—4）
选修4－4
德州二中 葛红
《高中数学》
学习目标：
1、能推导椭圆、双曲线和抛物线的参数方程 2、了解圆锥曲线的参数方程中的参数的几何 意义分别是什么
复习：
三角函数的平方关系？
一、圆锥曲线的参数方程的推导
1、（1）椭圆的参数方程的推导
椭圆参数方程的推导 从几何变换的角度看， 通过伸缩变换 1 x x 2 2 x y a { 则椭圆的方程 2 2 1可以变成 1 a b y y b 2 2 x ＋y 1.利用圆的参数方程 x cos { (为参数)可以得到椭圆的参数 y sin 方程为 { x a cos y b sin
的实质是三角代换.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
x 3sec (为参数)的渐近线方程 1.双曲线 y tan 为_____.
一、圆锥曲线的参数方程的推导
3、（1）抛物线的参数方程
x 2 pt 2 y 2 pt
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
巩固8、如图，在椭圆x2+4y2=4上求一点P，使P到直线
l：x-y-4=0的距离最小.
y
分析1： P(
2 分析2： P(2 cost , sin t ), | 2 cost sin t 4 | d 2
d
4 4 y , y), 2 | 4 4y y 4 |
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
（2）双曲线的参数方程 中参数的几何意义
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
2 2
y
（2）椭圆的参数方程中参数的几何意义
思考： 类比圆的参数方程中参 数的意义，椭圆的参数 方程中参数的意义是什么？
如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求 当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
2、（1）双曲线的参数方程的推导
（2）双曲线的参数方程中参数的几何意义
以原点O为圆心，a,b为半径作同心圆C1，C2，设A 为C1上任一点，作直线OA，过点A作圆C1的切线 AA，与x轴交于A，，过圆C2与x轴的交点B作圆C2 的切线BB，与直线OA交于点B，，过点A，，B，分 别作y轴和x轴的平行线A，M，B，M交于点M，设 ∠AOX=Φ，求点M的轨迹。 双曲线 双曲线1
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 x 1 (2) (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2


把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
2
O x
P
l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 分析 3：平移直线 小结： 借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
三、小结
1、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程 2、参数的几何意义 3、利用参数方程解决问题的本质是三角 函数问题
课堂练习：（2017全国） x 3 cos 在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程
y （2）双曲线的参数方程 中参数的几何意义
设M ( x, y)
a
A
B'
在OAA '中，x
| OA | b | OA ' | cos cos

o B
•M
A' x
b sec ,
b
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan .

x2 y2 1 有一内接矩形ABCD， 尝试6、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
在椭圆的参数方程中， 通常规定参数 的 范围是 [0,2 )
思考： 椭圆的参数方程中参数 的意义与圆的参数方 x r cos 程{ (为参数)中参数的意义类似吗？ y r sin
由图可以看出，参数 是点M所对应的圆的半 径OA(或OB)的旋转角 (称为点M的离心角 )，不 是OM的旋转角，参数 是半径OM的旋转角。
A
B O N
M
设∠XOA=φ 椭圆
x
设以ox为始边，OA为终边的角，点M的坐标 是( x, y )，那么点A的横坐标为x, 点B的纵坐标为 y，由点A, B均在角的终边上，由三角函数 的 定义有 x OA cos a cos y OB sin b sin
当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了 点M 的轨迹，它的参数方程 是 x a cos { (为参数) y b sin 这是中心在原点 O，焦点在x轴上的椭圆。