直角三角形全等的判定-HL定理

直角三角形全等的判定

一、教学目标

1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．

2．使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．

指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．

由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法．

二、教学重点和难点

1．重点：“斜边、直角边”公理的掌握．

2．难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用．

三、教学手段

利用投影仪、教具(剪好的三角形硬纸片若干个)．

四、教学过程

(一)复习提问，回忆旧知

1．三角形全等的判定方法有哪几种？

2．三角形按角的分类．

前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．

我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？

我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等.

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？

(二)带着问题，引入新课

出示问题，幻灯片上一个舞台对两边直角三角形判定是否全等。引起学生讨论

1．可作为预习内容(投影仪)

如图3-43，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？

研究这个问题，我们先做一个实验：

把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=Rt∠，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．

三．鼓励动手，提出猜想

2．下面我们再用画图的方法来验证：(同学们一同画图)

例1 已知线段a，c(a＞c)如图3-45，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，一直角边CB=a，斜边AB=c．

画法：(1)画∠MCN=90°如图3-45．

(2)在射线CM上取CB=a．

(3)以B为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A．

(4)连结AB．

△ABC就是所要画的直角三角形．

此例题着重说明，如此画出的Rt△是唯一的(画出的线与射线CN只有一个交点)．

3．把2中画出的三角形剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”公理．

(四)师生讨论，形成结论

斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．

要向学生说明“斜边、直角边”公理的条件，就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，这是Rt△的特有物质所决定的，对于一般三角形并不成立．这就是说，Rt△是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质，以后我们还会遇到它的其它特殊性质．

这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理，其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理．

练习(利用投影仪作练习1、2)

五．拓宽知识，深层思考

1．具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇(其中∠C=∠C＇=Rt∠)是否全等？如果全等在()里填写理由，如果不全等在()里打“×”．

(1)AC=A＇C＇，∠A=∠A＇ ( )

(2)AC=A＇C＇， BC=B＇C＇ ( )

(3)∠A=∠A＇，∠B=∠B＇ ( )

(4) AB=A＇B＇，∠B=∠B＇ ( )

(5) AC=A＇C＇， AB=A＇B＇ ( )

2．如图3-46，已知∠ACB=∠BDA=Rt∠，若要使△ACB ≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)．

理由：( )( )( )( )

3.探讨给出任意两个条件能得到两个直角三角形全等吗？

设计本练习要求学生执果索因，缺什么，找什么，这即可帮助学生熟悉基本定理，又是一种逆向思维的训练．

例2 已知：如图3-47，在△ABC和△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分别是高，并且AC=A＇C＇，CD=C＇D＇，∠ACB=∠A＇C＇B＇．

求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．

分析：要证明△ABC≌△A＇B＇C＇，还缺条件，或证出∠A=∠A＇，或∠B=∠B＇，或再证明边BC=B＇C＇，观察图形，再看已知中还有哪些条件可以利用，容易发现高CD和C＇D＇可以利用，利用它可以证明△ACD≌△A＇C＇D＇或△BCD ≌△B＇C＇D＇从而得到∠A=∠A＇或∠B=∠B＇，BC=B＇C＇．找出书写顺序．

证明：(略)．

*讨论(发展思维)

“边边角”与全等三角形的判定．

我们知道有两边和其中一边对角对应相等的两个三角形未必全等．但是当两个三角形都是直角三角形时，由“边边角”便可断言它们全等(为什么？)，那么除此以外“边边角”是否还适用于其它种类的三角形呢？

事实上，对两个钝角三角形、两个锐角三角形“边边角”也是成立的(验证方法与直角三角形类似)．

这样，一般地我们便有如下结论：

有两边和其中一边的对角对应相等的两个钝角三角形全等．

有两边和其中一边的对角对应相等的两个锐角三角形全等．

具体验证留给学生们，以上两个结论都是在学习“斜边、直角边”公理时引出的思考，而得出的结论．

我们要问的是：既然“边边角”对直角三角形、钝角三角形、锐角三角形都成立，那么，它为什么对一般的三角形却不成立呢？你能说出其中的奥妙吗？

六．归纳总结，形成系统

由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”公理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：“SAS、ASA、AAS、SSS、LH”

(四)练习

教材P．109中练习1、2、3．

(五)作业

教材P．112中习题14.1组8、9、10．

(六)板书设计