第八章 8.6空间向量及运算-学生版

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )

(5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0.( )

题型一 空间向量的线性运算

例1 (1)如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →

＝________.(用a ，b ，c 表示)

(2)三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →

表示MG →，OG →.

进门测

阶段训练

如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →

＝

b ，AD →

＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：

(1)AP →； (2)MP →＋NC 1→.

题型二 共线定理、共面定理的应用

例2 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；

(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14

(OA →＋OB →＋OC →＋OD →

)．

已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13

(OA →＋OB

→

＋OC →)．

(1)判断MA →，MB →，MC →

三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．

题型三 空间向量数量积的应用

例3 已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°. (1)求线段AC 1的长；

(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .

如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且

两两夹角为60°.

(1)求AC 1→

的长；

(2)求BD 1→与AC →

夹角的余弦值．

1.空间向量的有关概念

名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b

相反向量

方向相反且模相等的向量

a 的相反向量为－a

共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

a ∥b

共面向量

平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理

空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理

第3课时

阶段重难点梳理

如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π

2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．

(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).

夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝

a 1

b 1＋a 2b 2＋a 3b 3

a 21＋a 22＋a 23·

b 21＋b 22＋b 23

【知识拓展】

(1)向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →

(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．

(2)向量四点共面定理：在空间中P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．

典例 如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．

(1)求BN →

的模；

(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→

〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .

重点题型训练