高中数学第一章数列在日常经济生活中的应用课件2北师大版必修5
高中数学第一章数列 数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5
§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。
《数列在日常经济生活中的应用》课件(必修5)
（A）a(1+r)5元
（B）a(1+r)4元
a （C） ［(1+r)5-1］元 r （D） a ［(1+r)5-(1+r)］元 r
【解题提示】属复利计算问题，按等比数列模型计算.
【解析】选D.第1次存入的a元取时本利和为a(1+r)4,第2次的 本利和为a(1+r)3,第3次的本利和是a(1+r)2,第4次的本利和 为 a(1+r), 故 到 2014 年 1 月 1 日 取 回 的 本 利 总 和 为 a(1+r)+a(1+r)2+a(1+r)3+a(1+r)4 =
a(1 r)[1-(1 r) 4 ] a = ［(1+r)5-(1+r)］. 1-(1 r) r
二、填空题（每题4分，共8分）
5.打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第
一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比 前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用_____分钟，打完
b(1-1.15 ) =1.6a-6b. =1.6a1-1.1
由题意有1.6a-6b=1.3a,解得b= a ,所以每年拆除的旧住房 面积为 a (单位：m2). 20
20
9.（10分）选菜问题：学校餐厅每天供应500名学生用餐，每 星期一有A、B两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在这星期 一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，
（A）呈上升趋势
（C）摆动变化
（B）呈下降趋势
（D）不变
【解析】选B.-1<k<0时，1+k∈(0,1),又P0>0，根据指数函数
北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件(共21张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
数列在日常经济生活中的应用第一课时 ppt课件
三个月 半年 一年 二年 三年 五年
整存整取 零存整取 整存零取 存本取息
其他
利率
活期 0.4
3.00 3.90 2.60 2.60 2.60 一天通知
0.85
4.50 5.00 2.80 3.00 2.80 3.00 2.80 3.00 七天通知
1.39
问题3 “整存整取”是怎么回事?
2021/2/5
0.85
4.50 5.00 2.80 3.00 2.80 3.00 2.80 3.00 七天通知
1.39
2021/2/5 你知道银行存款的利息是怎么计算吗?
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
数列在日常经济生活中 的应用
2021/2/5
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§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
最新农业银行存款利率表（更新日期：2016-2-9） 年利率（%） 三个月 半年 一年 二年 三年 五年
整存整取 零存整取 整存零取 存本取息
其他
利率
2.60 2.80
利率
活期 0.4
3.00 3.90 2.60 2.60 2.60 一天通知
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§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月, 试 推导出到期整取是本利和的公式:
第一个月存入的x元,到期利息为: x•r•n 元
第二个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-1）元
第三个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-2）元
……
……
18-19 第1章数列在日常经济生活中的应用
③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定 的期限内按照一定的要求，分期付清．
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(2)常用公式 ①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为 P 元，每期利率为 r，存期为
n P (1 ＋ r ) n，则本利和 S＝ .
10
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
列．
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所以2028年初这个家庭应取出的钱数为 1 a1＋p 1－1＋p10 S10＝ 1 1－ 1＋p
10
当 堂 达 标 • 固 双 基
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②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储 户某日存入一笔存期为 1 年的存款，1 年后，如果储户不取出本利和，则银行自 动办理转存业务，第 2 年的本金就是第 1 年的本利和 ．
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[合 作 探 究· 攻 重 难]
等差数列模型
某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元， 购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月 利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期 付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少 钱？ 【导学号：91022112】
当 堂 达 标 • 固 双 基
高中数学 第一章《数列》等比数列的前n项和课件 北师大必修5
1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到
第10项的和为
S
S10S411221011224
或
Sa51q6 1q
24126 12
2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的 前n项和。
3、求和：(x1 y)(x2y 12) (xny 1n)
▪1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ▪2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ▪5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ▪6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 ▪7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 ▪8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 第第第第 第
一 二 三 四 ……64 格格格格 格
12 122 2 63
= 18446744073709551615(粒)
假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 粒的总质量超过了7000亿吨。
5 5 1 .1 5 1 .1 2 5 1 .1 n 1
解：由题意，从第1年起，每年的产量
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．
北师大版必修5：《数列在日常经济生活中的应用》课件
定期方式 1年定期 2年定期 3年定期
15年期 数 15期 7.5期 5期 1年 3期 2.25 2.25
实
际
取
出
计息按7期算,最后一年按活期计息.
存 期 5年定期 年利率(%) 期利率(%)
2年 2.79 5.58
3年 3.33 9.99
5年 3.6 18
整存整取 年利率
常见的几种储蓄方法
一、活期储蓄 二、整存整取定期储蓄
例2：某人欲存入银行1000元，准备5年后取出。办 理定期1年自动转存业务，他可取得多少钱?
yn = a(1 + p)n 解：a=1000 p=0.0225 n=5
实际取出 ： 1117.68 元
答：他可取出1117.68元。
探索题：
某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。 为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存 款方式? y = a(1 + p)n
(设1年定期年利率是2.25%)
思考2：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行 等额钱数，使连存15年后能取出10万元现金。问：他 每年至少应存进银行多少钱?(年利率2.25%)
思考3：某人在某银行每年年初去存入6000元钱，计划 若干年后从银行能取出现金12万元钱。问：他至少要 连存多少年?
思考1答案
数 列 在日常经济生活中的应用
储 蓄 问 题
近期内中国人民币储蓄的年利率如下：单位： % 项 目 年利率% 项 目 年利率%
活期存款
整存整取 三个月 半年 一年 两年 三年 五年
0.36 1.71 1.95 2.25 2.79 3.33 3.6
零存整取 整存零取 存本取息
一年 三年 五年
1.71 1.98 2.25
数列在日常经济生活中的应用
分数时，该模型是等比模型，增加(或减少)的百分数就是公
比，其一般形式是：an＋a1－n an×100%＝q(常数)．
【例3】 (本题满分12分)假设某市2012年新建住房400万 m2， 其中有250万 m2是中、低价房．预计在今后的若干年内， 该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新 建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万 m2.那 么，到哪一年底， (1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2012年为累计 的第一年)将首次不少于4 750万 m2? (2)到哪年，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房 面积的比例首次大于85%? 审题指导 第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数 列通项公式求出bn表达式，解不等式an>0.85bn，求得n的最 小正整数解．
2． 数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定 的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是 公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 例如：银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则 本利和y＝a(1＋xr)．
(2)根据上式，5年后本利和为 a5=1×(1+0.027 9)5 ≈1.148(万元).
答：5年后得本利和约为1.148万元.
解题方法
1．解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问 题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤为下框图：
10)．因而数列{an}是首项为 4.公差为－15的等差数列．a5＝4
1.4 数列在日常经济生活中的应用课件 北师大版必修5
银行按规定每经过一定时间结算存(贷)款的利息一次， 结 息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利，现 在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷 款 10 万元，第一年便可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获利 1 万 元， 以后每年比前一年增加 5 千元， 两方案使用期都是 10 年， 到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息 10%的复 利计算，试比较两种方案哪种获利更多？(数据 1.110≈2.594， 1.310≈13.79)
【思路点拨】 这一问题可用等差数列模型解决．
【规范解答】 设在第 n 天达到运送食品的最大量，则 前 n 天每天运送的食品量是首项为 1 000， 公差为 100 的等差 数列． an＝1 000＋(n－1)×100＝100n＋900. 其余每天运送的食品是首项为 100n＋800，公差为－100 的等差数列.4 分
演示结束
1.掌握单利、复利的概念(重点). 课标 2.掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三 解读 种模型及应用(重点). 3.掌握数列在日常经济生活中的应用．(难点)
单利与复利
名称 计算方法 仅在原有本金上计算利息，对本金所产 单利 生的利息不再计算利息， 即利息＝ 本金×利率×存期 把上期末的
依次类推， a10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝(60－0.5×9)(元)， an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)． 所以{an}组成以 60 为首项，－0.5 为公差的等差数列， 20（20－1）d 所以，总数＝S 20＋150＝20a1＋ ＋150 2 ＝1 255(元)， ∴第十个月该交 55.5 元，全部付清实际花 1 255 元．
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：数列在日常经济生活中的应用课件
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点一 三种常见的应用模型 (1)零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约 定日期，可以取出全部__本__利_和___，这是整取，规定每次存入的钱不计 复利(暂不考虑利息税)． (2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例 如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利 和，则银行按存款到期时的1年定期存款利率自动办理转存业务，第2 年的本金就是第1年的_本__利__和___． (3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数
[基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算 应大于使用单利计算所得的本利和．( √ ) (2)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这
两年的平均增长率是 1 + p% 1 + q% －1.( √ )
3．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成
本是( )
A．a(1＋q%)3
B．a(1－q%)3
C．
a 1−q%
3
D．
a 1+q%
3
答案：C
解析：设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a.
∴x＝
a 1−q%
3.故选C.
4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年 后共得本息和为__6_._2_46___万元．(精确到0.001)
解析：10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．
题型探究·课堂解透
北师大版必修5高中数学第一章数列小结课件
一、教学目标：
1、知识与技能：⑴进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问
题的方案；⑵进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能 力；⑶加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练
程度；⑷在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题。
2、过程与方法：⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析 的能力；⑵通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础
3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力。
三、教学难点 解题思路和解题方法的优化。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程
知识结构
数列的概念 递推公式 定义 等差数列 数列 等比数列 性质 前n项和公式 定义 性质 前n项和公式 通项公式 通项公式 通项公式 数 列
的
应
用
数列求和
知识归纳
知识的能力；⑶在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的
思想方法。 3、情感态度与价值观：⑴通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题
中的意义和作用，认识数列知识的重要性；⑵感受并认识数列知识的重要作
过程中形成和发展正确的价值观
二、教学重点 1.系统化本章的知识结构； 2.提高对几种常见类型的认识；
得：an 2 3 3 n1 an 3n 2
性质的应用 {an }中, 例5 在 等 差 数 列
10 (1)若a3 50, a5 30, 则a7 ______;
( 2)若a1 a4 a7 39, a 2 a5 a8 33, 则
27 a3 a6 a9 ______ 24 ( 3)若a15 8, a60 20, 则a75 _____;
高中数学第1章数列111数列的概念课件北师大版必修5
3．是否所有的数列都有通项公式？若有，通项公式是否唯 一？
答：①不是，如π的不足近似值组成的数列 1，1.4，1.41， 1.414，……就没有通项公式．
②若一个数列有通项公式，也不一定唯一，如数列：－1，1， －1，1，……的通项公式可以写成 an＝(－1)n，也可以写成 an＝(－ 1)n＋2，也可以写成 an＝－ 1（1n为（偶n为数奇）.数），
(5)将数列各项写为93，939，9399，….
第17页
【解析】 所给五个数列的通项公式分别为 (1)an＝2n2－n 1； (2)an＝n22； (3)an＝1＋（2－1）n； (4)an＝－ 3n 1n（（nn＝＝22kk－）1，）其，中k∈N*
第18页
由于 1＝2－1，3＝2＋1，所以数列的通项公式可合写成 an ＝(－1)n·2＋（n－1）n；
第24页
【解析】 (1)an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以 n＝24. (2)①a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. ②由 3n2－28n＝－49，解得 n＝7 或 n＝37(舍)．所以－49 是 该数列的第 7 项；由 3n2－28n＝68 解得 n＝－2 或 n＝334，均不 合题意，所以 68 不是该数列的项．
B．9
C．6
D．20
答案 C
第32页
3．数列 2， 5，2 2， 11，…，则 2 5是该数列的( )
A．第 6 项
B．第 7 项
C．第 10 项
D．第 11 项
答案 B
第33页
4．数列{n2＋n}中的项不能是( )
A．56
B．72
C．60
D．132
答案 C
第34页
数列在日常经济生活中的应用_PPT课件
[题后感悟] 分期付款问题，其关键是将现实
问题转化为数列问题，化归为等比数列或等差
数列求和．在建立数学模型时，应抓住数量关 系，联想数学方法适当引入参变量，将文字语 言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表 示．
2．某家用电器一件现价2000元，实行分期付 款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一 个月开始付款，每月付款1次，共付12次，购 买后一年还清，约定月利率为0.8%，按复利计 算，那么每期应付款多少？
2．三种应用模型
(1)“零存整取”模型
每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存； 到约定日期，取出全部本利和，这是整取，规 定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．
(2)“定期自动转存”模型
银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转 存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存 款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行 自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的 本利和．
用分期付款购买价格为25万元的住房一套， 如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上 欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再 过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年 利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全
部付清后实际共付多少元？
每次付款数构成数列{an} ―→ 求a1，a2，a3 ―→ 找出规律求an ―→ 判断{an}是等差数列 ―→ 求a5，S10
[题后感悟] 如果容易找到该数列任意一项an 与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式， 那么我们就可以用递推数列的知识求解问题．
解析： 设2010年1月份产值为a， 则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，
则a(1＋r)11＝pa，∴r＝11 p－1.
答案： 11 p－1.
§4 数列在日常经济生活中的应用
第一章 数 列
此类问题在计算利息时，每次存入的钱不计复利，即对应等差 数列模型．
栏目 导引
第一章 数 列
Hale Waihona Puke 1.(1)某人在一年 12 个月中，每月 10 日向银 行存入 1 000 元，假设银行的月利率为 5‰(按单利计算)，则到 第二年的元月 10 日，此项存款一年的利息之和是( A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 )
栏目 导引
第一章 数 列
(2)有一批影碟机原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家商场均 有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两 台单价为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减 少 20 元，但每台最低价不能低于 440 元；乙商场一律都按原 价的 75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商 场购买花费较少？
栏目 导引
第一章 数 列
解：(1)选 A.存款利息是以 5 为首项，5 为公差的等差数列，12 个月的存款利息之和为 5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选 A. (2)设某单位需购买影碟机 n 台， 在甲商场购买每台售价不低于 440 元时，售价依台数 n 成等差数列，设该数列为{an}， an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n， 解不等式 an≥440，即 800－20n≥440，得 n≤18， 当购买台数小于 18 时，每台售价为(800－20n)元， 当台数大于或等于 18 时，每台售价为 440 元．
第一章 数 列
§4
数列在日常经济生活中的应用
第一章 数 列
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经济生活中的应用
单利
单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本
金所产生的利息不再计算利息.其公式为 利息=本金×利率×存期
若以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本
金和利息和(简称本利和),则有
S=P(1+nr)
复利
把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算
时每一期的本金,在计算时每一期的数额是不同的.复
例1.零存整取模型
银行有一种叫做零存整取的储
蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零 存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定 每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).
(2)若每月初存入500元,月利率为0.5%,到第24个月末
整取时的本利和是多少?
例1.零存整取模型
银行有一种叫做零存整取的储
蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零 存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定 每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税). (3)若每月初存入一定金额,月利率是0.5%,希望 到
第12个月末整取时取得本利和为2000元.那么每月初应 存入的金额是多少?
例2.定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期 存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务, 第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转 存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:
问题2:你能设计出更好的存款方案吗?
利的计算公式是
S=P(1+r)n
例1.零存整取模型
银行有一种叫做零存整取的储
Байду номын сангаас
蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零 存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定 每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).
(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n
个月,试推导出到期整取时本利和的公式.
思考交流:银行整存整取定期储蓄年利率如表所示: 存期 年利率/% 1年 1.98 2年 2.25 3年 2.52 5年 2.79
某公司欲将10万元存入银行5年,可按以下方案办理 (不考虑利息税): (1)直接存入5年定期; (2)先存2年定期,取出本利和后再存3年定期.
问题1:计算出不同存法到期后的本利和,哪种存款方 式更合算?
(1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, 连存n年后,再取出本利和.试求出储户年后所得的本利 和的公式;
例2.定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期 存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务, 第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转 存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题: (2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率为1.98%, 那么5年后共得本利和多少万元?