抛物线焦点弦问题.ppt
合集下载
抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
抛物线的焦点弦问题
2
探究1：抛物线焦点弦的性质
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹 角为θ的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准 线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1，如图 方向1：坐标关系. 若A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x0, y0)…… 方向2：长度关系. |AA1|、|AF|、 |AB|、|CC1|……
C1
B1
O
F B
A、O、B1共线
以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切
抛物线的 简单几何性质
复习回顾1:定义与标准方程
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点; 定直线l叫做抛物线准线. 抛物线方程的四种形式： 图 y 形 方 程 焦 点 准 线
p F ( ,0 ) 2 p F ( ,0) 2 p F ( 0, ) 2
•常规思路：设出直线方程，联 立方程，韦达定理……
A1 C1 O B1 B F C
A
•注意：讨论斜率不存在的情况
p 2 x1 x2 , y1 y2 p 4
2
焦点弦：长度关系研究
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ 的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线， 垂足分别为A1、B1、C1. A1
A
C
以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切 AC1平分A1 AF AC1 BC1 BC1平分B1 BF A1 AC1 AFC1 课本81页B7 B1 BC1 BFC1
C1F AB
C1 B1
O
F
B
A1F B1F
C1F C1 A1 C1 B1 以C1为圆心, A1 B1 为直径的圆与AB相切
探究1：抛物线焦点弦的性质
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹 角为θ的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准 线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1，如图 方向1：坐标关系. 若A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x0, y0)…… 方向2：长度关系. |AA1|、|AF|、 |AB|、|CC1|……
C1
B1
O
F B
A、O、B1共线
以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切
抛物线的 简单几何性质
复习回顾1:定义与标准方程
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点; 定直线l叫做抛物线准线. 抛物线方程的四种形式： 图 y 形 方 程 焦 点 准 线
p F ( ,0 ) 2 p F ( ,0) 2 p F ( 0, ) 2
•常规思路：设出直线方程，联 立方程，韦达定理……
A1 C1 O B1 B F C
A
•注意：讨论斜率不存在的情况
p 2 x1 x2 , y1 y2 p 4
2
焦点弦：长度关系研究
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ 的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线， 垂足分别为A1、B1、C1. A1
A
C
以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切 AC1平分A1 AF AC1 BC1 BC1平分B1 BF A1 AC1 AFC1 课本81页B7 B1 BC1 BFC1
C1F AB
C1 B1
O
F
B
A1F B1F
C1F C1 A1 C1 B1 以C1为圆心, A1 B1 为直径的圆与AB相切
抛物线焦点弦的弦长公式.pptx
直线 AB 倾斜角为 ，求弦 AB 的长。
x y x y 解：设 A,B 的坐标为 (
,
),(
,
) ，斜率为 k (k tan ) ，而焦点坐标为(0,
p )
，
11
22
2
故 AB 的方程为 y p kx，将其代入抛物线的方程整理得： 2
x2 2pkx p2 0, 从而 x1 x2 2pk, x1x2 p2 ，
一寸光阴不可轻
关于抛物线焦点弦的弦长公式
在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介 绍 了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：
y (1)已知：抛物线的方程为 2 2 px ( p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A B 两点，
且弦 AB 的倾斜角为 ，求弦 AB 的长。
2
y 而 2 2 px 与（3）的结果一样
x 同理：（4）已知：抛物线的方程为 2 2 py( p 0) ，过焦点的弦 AB 交抛物线于A,B
两点，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，求弦 AB 的长。
x y x y 解：设 A,B 的坐标为 ( , ),( , ) ，若过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即| AB | 2 p 。这个公式
(sin )2
包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应 用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。
3
2
2
2
2
一 寸 光 阴 不 可轻
当倾斜角 , 则 ,cos cos( ) sin
2
2
2
所以| AB | 2 p 恒成立。
(sin )2
当 时， sin 1，|AB|=2p.即为通径。
3.3.2抛物线的简单几何性质(第2课时焦点弦)课件(人教版)
p 2 y0
( x1 x2 ) p y1 y2 p
2p
p 2 y0 ( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
PART
ONE
抛物线的简单几何性质
焦点弦问题
如图，AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，称为焦
点弦．设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，弦 AB 的中点为 M(x0，y0)，过 A，M，B 分别向抛物 线的准线 l 作垂线，垂足分别为 A1，M1，B1，则根据抛物线的定
ONE
课堂小结
抛物线的简单几何性质
8.直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 且与抛物线交于 A，B 两点，若线段|AF|，|BF|
的长分别为 m，n，则m1 ＋1n＝( C )
A.14 C．1
B.12 D．2
由焦点弦性质得 1 ＋ 1 ＝2，即1＋1＝1. |AF| |BF| p m n
03课堂小结
PART抛物线的简单几源自性质（2）分别过 A，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，B1.根据抛物线定义知 |FA|＝|AA1|＝x1＋p2，|FB|＝|BB1|＝x2＋p2， ∴|F1A|＋|F1B|＝x1＋1 p2＋x2＋1 p2
＝2x12＋p＋2x22＋p＝2（（2x22＋ x1＋p）p）＋（22（x22＋x1p＋）p） ＝4x1x42＋（2xp1＋（xx21）＋＋x2）4p＋p2＝24p（（xx11＋＋xx22＋＋pp））＝2p.
解：设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)，则其准线方程为 x＝－p. 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8， ∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，
抛物线的简单几何性质
抛物线的焦点弦问题
(3)x2 2 py,
| AB | y1 y2 p
(4)x2 2 py, | AB | p y1 y2
例：过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2 ,
求证 : y1 y2 p2.
y
证法 :因直线AB过定点F且与x轴
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px B
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的
直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
|
PF
|
- y0
p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标为__答_案__: P___74_,.
7
2
(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点,
交抛物线于A, B两点, 通过点A
A
和 抛 物线顶点的直线交抛物 o
线的准线于点D ,求 证 :直线
F DB
x
DB平行于抛物线的对称轴.
分析 我们用坐标法证明,即通 过建立抛物线及直线的方程, 借
图2.3 5
助方程研究直线DB与抛物线对
称轴之间的位置关系.
建立如图2.3 5所示的直角坐标系,只要证明 点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
抛物线焦点弦经典性质ppt课件
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
y
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
DA 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
8
性质 7：连接 A1F、B1 F 则 A1F B1F
证明： AA1 AF,AA1F AFA1
AA1 / /OF AA1F A1FO A1FO A1FA
2
设直线 L 的方程为： y k(x p ) 即 x y p
2
k2
代入抛物线方程得 y2 2 p y p2 0 k
由韦达定理
y1 y2
p2, y1
y2
2p k
,
y1
y2
2p
1 1 k2
由弦长公式得 AB
1
1 k2
y1 y2
2
p(1
1 tan2
)
2p
sin2
4
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
抛物线焦点弦经典性质10条
1
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做 抛物线的焦点弦。
y
A ( x1 , y1 )
F
O
x
B ( x2 , y2 )
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
y1 y2 y1
y2
则 BB1 平行于 X 轴，同理可证（4）
10
性质 9： 1 1 2 FA FB p
证明：过 A 点作 AR 垂直 X 轴于点 R，过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S，
抛物线焦点弦的性质ppt中小学教学课件
（课本P123习题第6题）
变：设抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线 上，且BC x轴，证明AC经过原点O。 （01高考）
本节课，我们主要从代数（方程）的角度研究抛物线 的焦点弦的一些性质。而对于从几何观点去研究它的 性质，希望同学们课后完成。
一、复习
⒈焦点弦的定义
⒉焦半径公式
若M (x0, y0 )在焦点为F的抛物线 y2 2 px ( p 0) 上，
则|MF| =
p x0 2
⒊通径
| H1H2 | 2 p
yy
M
H2
OO FF
xx
H1
p x
2
二、抛物线 y2 2 px ( p 0)的焦点弦性质
下记AB为焦点弦，H1H2为通径
作 2p一，条则直B线点与纵抛坐物标线为交__于_4_Ap_、__B_两点，若A点纵坐标为
由
y y
k( 2 2
x px
p)
y2
2p k
y
2 p2
0
y1 y2
2 p2
4.若AB是抛物线 y2 2 px的一条弦，O为坐标原点， 则OA OB 的充要条件是弦AB过点（2p，0）。
5.过抛物线 焦点的一条直线，与它交于P、Q两点， 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直 线MQ平行于抛物线的对称轴。
y2 ) p x1
x2
p 2
直线AB过焦点F
2）若
x1
x2 , 则kAB
y2 x2
y1 x1
y2 y22 2p
y1 y12
2p
2p
y1 y2
k AF
y1
变：设抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线 上，且BC x轴，证明AC经过原点O。 （01高考）
本节课，我们主要从代数（方程）的角度研究抛物线 的焦点弦的一些性质。而对于从几何观点去研究它的 性质，希望同学们课后完成。
一、复习
⒈焦点弦的定义
⒉焦半径公式
若M (x0, y0 )在焦点为F的抛物线 y2 2 px ( p 0) 上，
则|MF| =
p x0 2
⒊通径
| H1H2 | 2 p
yy
M
H2
OO FF
xx
H1
p x
2
二、抛物线 y2 2 px ( p 0)的焦点弦性质
下记AB为焦点弦，H1H2为通径
作 2p一，条则直B线点与纵抛坐物标线为交__于_4_Ap_、__B_两点，若A点纵坐标为
由
y y
k( 2 2
x px
p)
y2
2p k
y
2 p2
0
y1 y2
2 p2
4.若AB是抛物线 y2 2 px的一条弦，O为坐标原点， 则OA OB 的充要条件是弦AB过点（2p，0）。
5.过抛物线 焦点的一条直线，与它交于P、Q两点， 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直 线MQ平行于抛物线的对称轴。
y2 ) p x1
x2
p 2
直线AB过焦点F
2）若
x1
x2 , 则kAB
y2 x2
y1 x1
y2 y22 2p
y1 y12
2p
2p
y1 y2
k AF
y1
（完整版）抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点两点结论1：px x AB ++=21p x x px px BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证:(1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(px y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p pp AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p yx ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111ABBF AF BBAA MM =+=+=故结论得证故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1Θ11FB A ∆为直角三角形，为直角三角形，M 1 是斜边A 1 B 1 的中点的中点 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 ΘAM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM︒=∠∴90FB A 11所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线 （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oAk p y y p p k =-=-=所以三点共线。
上课抛物线的焦点弦性质PPT课件
y
B
A
M
x
y2=2
因 为 y 2 1 2 p x 1 ， y 1 y 2 = - 2 p s 代 入 上 式 得l
px
x s 直 线 A B 必 过 点 （ s ， 0 ）
抛物线对称轴上的重要结论
若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则
直线过定点 M(s,0)，(s>0)
p 2
，
p） ，
B（
p 2
，
-p）
，
θ OF
x
A
B
=2P=
2p sin 2 900
B
（ 2） 900时 ， 斜 率 ktan， 直 线 方 程 为 ytan（ xp 2）
然 后 联 立 方 程 组 用 韦 达 定 理 得 ABpx1x2si2np2
思考：焦点弦何时最短？ 过焦点的所有弦中，通径最短
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两
抛物线的焦点弦 问题
例.过抛物线y2=4x的焦点F的一条直线L和 抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2) 1，求证（1）x1x2为定值（2） y1y2为定值
y
A
OF
x
B
例.过抛物线y2=4x的焦点F的一条直线L和抛物线 相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),
2，AO交准线于 B 称轴.
1
,求证直线
,
B
1B
平行于抛线的对
y
A
OF
x
B1 B
过抛物线y2=4x的焦点的F一条直线L和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2)
3，焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
高中数学《抛物线的简单几何性质》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
探究 3 抛物线中的定值、定点问题 例 3 已知抛物线 x2＝2py(p>0)，其焦点 F 到准线的距离为 1.过 F 作抛物 线的两条弦 AB 和 CD(点 A，C 在第一象限)，且 M，N 分别是 AB，CD 的中 点． (1)若 AB⊥CD，求△FMN 面积的最小值； (2)设直线 AC 的斜率为 kAC，直线 BD 的斜率为 kBD，且 kAC＋4kBD＝0，求 证：直线 AC 过定点，并求此定点．
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋ x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以 x1＋x2＝6.于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x＝ －32，所以 M 到准线的距离等于 3＋32＝92.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
解析
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
探究 1 抛物线的简单几何性质 例 1 (1)已知抛物线 y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称 轴、变量 x 的范围； (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直 线，抛物线的焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
又 F32，0，
所以直线 l 的方程为 y＝ 3x－32.
y2＝6x， 联立y＝ 3x－32，
消去 y 得 x2－5x＋94＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2，对于其他标准方程，你能
想 一
写出过焦点弦长公式吗？
想
？
？
通径：通过焦点且垂直对称轴 y
的直线，与抛物线相交于两点， A
连接这两点的线段叫做抛物线
OF
x
的通径。
B
通径的长度为 ：2p
此是 2p的几何意义。
例3：设F是抛物线G：x2=4y的焦点，A，B为 G上异于原点的两点，且满足 FA FB 0 的两点，延长AF，BF分别交抛物线G与C， D ，求 四边形ABCD面积的最小值
故
SABCD=
1 2
AC
BD
8(k 2
1)( 1 k2
1)
8(k 2
1 k2
2)
8(2 2) 32 (当且仅当k2=1时取=)
咱来试一试
1，长为8的线段AB两端点在抛物线
y2=6x上运动，求AB中点M到抛物线准
线的最近距离。（ 4 ）
2，过抛物线焦点F的直线交抛物线
于A,B两点，通过点A和抛物线顶点 y
OF
x
=x1+x2+1+1
B’ B
由上知x1，x2是方程 x2 6x 1 0
的两根，故x1+x2=6，所以 ∣AB∣=6+2=8
一般的:若过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的 直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则
AB x1 x2 p
1,∣AB∣有最小值吗？
若有又为多少？
y
2
4x
OF x B
可得 x2 6x 1 0
解得 A(3 2 2,2 2 2), B(3 2 2,2 2 2)
由两点距离公式可得∣AB∣=8
（法二）利用方程，利用弦长公式同样可的∣AB∣=8
分析：利用抛物线性质解决
问题 解(法三)如图可知设
A’
ห้องสมุดไป่ตู้
y
A
A(x1,y1),B(x2,y2)
∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣ =x1+1+x2+1
的直线交抛物线的 准线于点D，
A
求证：直线DB平行于抛物 线的对称轴。
OF
x
DB
小结： 1，过抛物线焦点弦与抛物线交点 坐标关系 2，过抛物线交点弦的弦长问题
及应用
作业
P76，7，9，10
抛物线过焦点弦的性 质及应用
高2012级数学备课组 主备人：何林 ，罗杨雄
复习回顾抛物线性质：
1，抛物线定义 2，抛物线几何性质
图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率
y2 2 px ( p 0)
x 0, yR
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
y2 2 px x 0, ( p 0) y R
D
C
F
A
B
x
分析：解此题的关键是把四边形面积表示出来
解：如图设直线AC的斜率为k则k≠0
由条件可知直线AC方程为y=kx+1
联立方程组 y kx 1
x
2
4y
可得 x2 4kx 4 0
故xA+xC=4k 所以︱AC︱=yA+yC+2=k(xA+xC)+4
=4k2+4
D
C
F
A
B
同理可得︱BD︱=4（1/k2+1)
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py ( p 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
(0,0) e=1
( p 0) x R 对称中心
• 练习1,M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，
若点 M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离
是:(
X0)+p/2
． y M
这就是抛 物线的焦 半径公式!
．
OF
x
过焦点弦与抛物线交点坐标关系 例1：已知F是抛物线y2=6x的焦点， 过焦点任作直线交抛物线与 A(x1,y1),B(x2,y2)两点 ①当直线的斜率k=1时，求 x1x2, y1y2的值 ②当直线的斜率k=2时，求 x1x2, y1y2的值
分析：关键是联立方程组，利 用根与系数的关系求解。
解:①x1x2=__9_4__
② yx11yx22==___9___49____
上面结 y1y2=___9___
果是巧 合吗？
y A
F x
B
心动 不如行动
已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，
过焦点任作直线交抛物线与
A(x1,y1),B(x2,y2)两点 y A
证明： x1x2=
p2 4
F
y1y2= p 2
x B
过焦点弦长问题
例2：过抛物线y2=4x的 y
焦点作倾斜角为45度的
A
直线交抛物线与A，B
两点，求∣AB∣
OF
x
B
分析，求出A，B两点坐标，然后利用两点间的距离
公式可得∣AB∣
y
解（法一）由条件可得F（1，0） A
则直线的方程为：y=x-1
由 y x 1