抛物线焦点弦问题.ppt

证明： x1x2=
p2 4
F
y1y2= p 2
x B
过焦点弦长问题
例2：过抛物线y2=4x的 y
焦点作倾斜角为45度的
A
直线交抛物线与A，B
两点，求∣AB∣
OF
x
B
分析，求出A，B两点坐标，然后利用两点间的距离
公式可得∣AB∣
y
解（法一）由条件可得F（1，0） A
则直线的方程为：y=x-1
由 y x 1
是:(
X0)+p/2
． y M
这就是抛 物线的焦 半径公式!
．
OF
x
过焦点弦与抛物线交点坐标关系 例1：已知F是抛物线y2=6x的焦点， 过焦点任作直线交抛物线与 A(x1,y1),B(x2,y2)两点 ①当直线的斜率k=1时，求 x1x2, y1y2的值 ②当直线的斜率k=2时，求 x1x2, y1y2的值
的直线交抛物线的 准线于点D，
A
求证：直线DB平行于抛物 线的对称轴。
OF
x
DB
小结： 1，过抛物线焦点弦与抛物线交点 坐标关系 2，过抛物线交点弦的弦长问题
及应用
作业
P76，7，9，10
D
C
F
A
B
x
分析：解此题的关键是把四边形面积表示出来
解：如图设直线AC的斜率为k则k≠0
由条件可知直线AC方程为y=kx+1
联立方程组 y kx 1
x
2
4y
可得 x2 4kx 4 0
故xA+xC=4k 所以︱AC︱=yA+yC+2=k(xA+xC)+4
=4k2+4
D
C
F
A
B
同理可得︱BD︱=4（1/k2+1)
分析：关键是联立方程组，利 用根与系数的关系求解。
解:①x1x2=__9_4__
② yx11yx22==___9___49____
上面结 y1y2=___9___
果是巧 合吗？
y A
F x
B
心动 不如行动
已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，
过焦点任作直线交抛物线与
A(x1,y1),B(x2,y2)两点 y A
2，对于其他标准方程，你能
想 一
写出过焦点弦长公式吗？
想
？
？
通径：通过焦点且垂直对称轴 y
的直线，与抛物线相交于两点， A
连接这两点的线段叫做抛物线
OF
x
的通径。
B
通径的长度为 ：2p
此是 2p的几何意义。
例3：设F是抛物线G：x2=4y的焦点，A，B为 G上异于原点的两点，且满足 FA FB 0 的两点，延长AF，BF分别交抛物线G与C， D ，求 四边形ABCD面积的最小值
y
2
4x
OF x B
可得 x2 6x 1 0
解得 A(3 2 2,2 2 2), B(3 2 2,2 2 2)
由两点距离公式可得∣AB∣=8
（法二）利用方程，利用弦长公式同样可的∣AB∣=8
分析：利用抛物线性质解决
问题 解(法三)如图可知设
A’
y
A
A(x1,y1),B(x2,y2)
∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣ =x1+1+x2+1
OF
x
=x1+x2+1+1
B’ B
由上知x1，x2是方程 x2 6x 1 0
的两根，故x1+x2=6，所以 ∣AB∣=6+2=8
一般的:若过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的 直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则
AB x1 x2 p
1,∣AB∣有最小值吗？
若有又为多少？
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py ( p 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
(0,0) e=1
( p 0) x R 对称中心
• 练习1,M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，
若点 M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离
抛物线过焦点弦的性 质及应用
高2012级数学备课组 主备人：何林 ，罗杨雄
复习回顾抛物线性质：
1，抛物线定义 2，抛物线几何性质
图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率
y2 2 px ( p 0)
x 0, yR
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
Biblioteka Baidu
e=1
y2 2 px x 0, ( p 0) y R
故
SABCD=
1 2
AC
BD
8(k 2
1)( 1 k2
1)
8(k 2
1 k2
2)
8(2 2) 32 (当且仅当k2=1时取=)
咱来试一试
1，长为8的线段AB两端点在抛物线
y2=6x上运动，求AB中点M到抛物线准
线的最近距离。（ 4 ）
2，过抛物线焦点F的直线交抛物线
于A,B两点，通过点A和抛物线顶点 y