不等式的基本性质 优秀课【一等奖教案】
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方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
【类型二】利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等
如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．
方法总结：“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2
1．理解并掌握不等式的基本性质；(重点)
2．能够运用不等式的基本性质解决问题．(难点)
一、情境导入
小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大了”．小刚的说法对吗？为什么？
二、合作探究
探究点一：不等式的基本性质
【类型一】根据不等式的基本性质判断大小
已知a＜b，用不等号填空：
本节课学习不等式的基本性质
1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；
2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)
3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)
一、情境导入
小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？
性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；源自文库
性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．
2．把不等式化成“x>a”或“x<a”的形式
“移项”依据：不等式的基本性质1；
“将未知数系数化为1”的依据：不等式的基本性质2、3.
解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝DF，BE∥DF.
二、合作探究
探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【类型一】利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形
已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点．
求证：(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；
方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．
探究点三：平行四边形判定和性质的综合
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.
探究点二：不等式性质的运用
【类型一】把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式
把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)2x－2<0；
(2)3x－9<6x；
(3) x－2＞ x－5.
解析：根据不等式的基本性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.
解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边都除以2得x<1，
(2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以－3得x＞－3；
(3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2－ x得－x>－3.根据不等式的基本性质3，两边都除以－1得x<3.
方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现)．然后把未知数的系数化为1，要注意的是：如果两边都乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；如果两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．
方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．
探究点二：平行线间的距离
如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等．
解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝ GH·h，S△FGH＝ GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.
(1)a＋3________b＋3；
(2)－ ________－ ；
(3)3－a________3－b.
解析：(1)两边都加3，a＋3＜b＋3，(2)两边都除以－4，－ >－ ，(3)两边都乘－1，－a＞－b，两边都加3，3－a＞3－b.故答案为：＜，＞，＞.
方法总结：不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质，但性质3中，当不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵ ∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝ OD，OE＝ OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．
【类型二】根据不等式的变形确定字母的取值范围
如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________．
解析：根据不等式的基本性质可判断a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1.
方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．
三、板书设计
1．不等式的基本性质
【类型二】判断变形是否正确
已知a＞b，则下列不等式中，错误的是()
A．3a＞3bB．－ <－
C．4a－3＞4b－3D．(c－1)2a＞(c－1)2b
解析：A.在不等式a＞b的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a＞3b，故本选项正确；B.在不等式a＞b的两边同时除以－3，不等号方向改变，即－ <－ ，故本选项正确；C.在不等式a＞b的两边同时先乘以4、再减去3，不等式号方向不变，即4a－3＞4b－3，故本选项正确；D.当c－1＝0，即c＝1时，该不等式不成立，故本选项错误；故选D.
【类型二】利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等
如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．
方法总结：“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2
1．理解并掌握不等式的基本性质；(重点)
2．能够运用不等式的基本性质解决问题．(难点)
一、情境导入
小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大了”．小刚的说法对吗？为什么？
二、合作探究
探究点一：不等式的基本性质
【类型一】根据不等式的基本性质判断大小
已知a＜b，用不等号填空：
本节课学习不等式的基本性质
1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；
2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)
3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)
一、情境导入
小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？
性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；源自文库
性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．
2．把不等式化成“x>a”或“x<a”的形式
“移项”依据：不等式的基本性质1；
“将未知数系数化为1”的依据：不等式的基本性质2、3.
解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝DF，BE∥DF.
二、合作探究
探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【类型一】利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形
已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点．
求证：(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；
方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．
探究点三：平行四边形判定和性质的综合
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.
探究点二：不等式性质的运用
【类型一】把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式
把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)2x－2<0；
(2)3x－9<6x；
(3) x－2＞ x－5.
解析：根据不等式的基本性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.
解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边都除以2得x<1，
(2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以－3得x＞－3；
(3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2－ x得－x>－3.根据不等式的基本性质3，两边都除以－1得x<3.
方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现)．然后把未知数的系数化为1，要注意的是：如果两边都乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；如果两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．
方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．
探究点二：平行线间的距离
如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等．
解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝ GH·h，S△FGH＝ GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.
(1)a＋3________b＋3；
(2)－ ________－ ；
(3)3－a________3－b.
解析：(1)两边都加3，a＋3＜b＋3，(2)两边都除以－4，－ >－ ，(3)两边都乘－1，－a＞－b，两边都加3，3－a＞3－b.故答案为：＜，＞，＞.
方法总结：不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质，但性质3中，当不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵ ∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝ OD，OE＝ OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．
【类型二】根据不等式的变形确定字母的取值范围
如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________．
解析：根据不等式的基本性质可判断a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1.
方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．
三、板书设计
1．不等式的基本性质
【类型二】判断变形是否正确
已知a＞b，则下列不等式中，错误的是()
A．3a＞3bB．－ <－
C．4a－3＞4b－3D．(c－1)2a＞(c－1)2b
解析：A.在不等式a＞b的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a＞3b，故本选项正确；B.在不等式a＞b的两边同时除以－3，不等号方向改变，即－ <－ ，故本选项正确；C.在不等式a＞b的两边同时先乘以4、再减去3，不等式号方向不变，即4a－3＞4b－3，故本选项正确；D.当c－1＝0，即c＝1时，该不等式不成立，故本选项错误；故选D.